Garbe (Mathematik)

Eine Garbe ist ein Begriff aus verschiedenen Gebieten der Mathematik, insbesondere der algebraischen Geometrie und der Funktionentheorie. Allgemein ordnet eine Garbe den offenen Teilmengen eines topologischen Raumes mathematische Objekte aus einer Kategorie zu und beschreibt, wie sich diese Objekte auf kleinere offene Teilmengen einschränken lassen. Dabei erfüllen die Einschränkungen bestimmte Verträglichkeitsbedingungen und zusammenpassende lokale Daten lassen sich eindeutig zu globalen Daten verkleben.

Das einfachste Beispiel einer Garbe ist die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf offenen Teilmengen eines topologischen Raumes zusammen mit der Einschränkung der Funktionen auf kleinere offene Teilmengen. Eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum besteht aus je einer abelschen Gruppe zu jeder offenen Teilmenge des Basisraumes und kompatiblen Einschränkungshomomorphismen zwischen diesen abelschen Gruppen. Entsprechend besteht eine Garbe von Ringen aus einem Ring für jede offene Teilmenge und Ringhomomorphismen.

Der mathematische Begriff ist metaphorisch von einer Getreidegarbe abgeleitet.

Prägarben lassen sich auf einer beliebigen Kategorie definieren. Garben lassen sich auf einem beliebigen Situs (das ist eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist) definieren.

Definitionen

Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Garbe ${\mathcal {F}}$ ordnet den offenen Mengen $U\subseteq X$ jeweils ein mathematisches Objekt ${\mathcal {F}}(U)$ zu, so dass

• die Einschränkungen konsistent und verträglich mit der Komposition sind
• lokale Daten, die auf den Überlappungen übereinstimmen, sich eindeutig zu globalen Daten verkleben lassen.

Erfüllt ${\mathcal {F}}$ nur die erste Eigenschaft, so spricht man von einer Prägarbe. Die mathematischen Objekte ${\mathcal {F}}(U)$ können dabei ganz unterschiedlich sein, zum Beispiel Mengen, Gruppen, Ringe, Moduln, Funktionenräume oder andere algebraische und geometrische Strukturen.

Um die Definition der Garbe zu verstehen, ist es ratsam, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen gewärtig zu halten:

• ${\mathcal {F}}(U)$ ist dann die Menge der stetigen Funktionen $f:U\to \mathbb {R}$,
• die Einschränkungsabbildungen (Bilder der Inklusionsabbildungen unter dem Funktor ${\mathcal {F}}$) sind die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.

Die Kategorie der offenen Teilmengen $\mathbf {Ouv} (X)$ von $X$ ist definiert durch:

• Die Objekte von $\mathbf {Ouv} (X)$ sind die offenen Teilmengen von $X$.
• Für zwei offene Teilmengen $U,V\subseteq X$ gibt es genau dann einen Morphismus $U\to V$, wenn $U\subseteq V$. Dieser Morphismus ist durch die Inklusion $U\hookrightarrow V$ gegeben.

Definition der Prägarbe

Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ ordnet jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$

• ein mathematisches Objekt ${\mathcal {F}}(U)$ aus einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ zu (z. B. eine Menge, eine abelsche Gruppe, ein Modul usw.)
• zusammen mit Einschränkungsmorphismen $\rho _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)$ für alle Inklusionen offener Teilmengen $V\subseteq U$.

Dabei müssen die Einschränkungsmorphismen folgende Bedingungen erfüllen:

• Der Einschränkungsmorphismus $\rho _{U}^{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(U)$ ist die Identitätsmorphismus

$\rho _{U}^{U}=\mathrm {id} _{{\mathcal {F}}(U)}$

• Für offene Teilmengen $W\subseteq V\subseteq U$ gilt

$\rho _{W}^{V}\circ \rho _{V}^{U}=\rho _{W}^{U}$

Sofern die mathematischen Objekte ${\mathcal {F}}(U)$ mit einer zusätzlichen Struktur versehen sind, müssen die Einschränkungsmorphismen entsprechende strukturerhaltende Abbildungen (z. B. Homomorphismen im Fall von abelschen Gruppen oder Moduln) sein.

Die Elemente von ${\mathcal {F}}(U)$ heißen (lokale) Schnitte von ${\mathcal {F}}$ über $U$, die Elemente von ${\mathcal {F}}(X)$ globale Schnitte.

Statt ${\mathcal {F}}(U)$ schreibt man auch $\Gamma (U,{\mathcal {F}}).$ Für die Einschränkung $\rho _{V}^{U}(f)$ eines Schnittes $\,f\in {\mathcal {F}}(U)$ auf eine offene Teilmenge $V\subseteq U$ schreibt man auch $\,f|_{V}$.

Definition einer Garbe von Mengen

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $\mathbf {Ouv} (X)$ die Kategorie der offenen Teilmengen von $X$.

Eine Garbe von Mengen ist eine Prägarbe ${\mathcal {F}}:\mathbf {Ouv} (X)\to \mathbf {Set}$, bei der die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• (Lokalität:) Sei $U$ eine offene Teilmenge von $X$ und $\{V_{i}\}_{i\in I}$ eine offene Überdeckung von $U$. Sind $f,g\in {\mathcal {F}}(U)$ Schnitte und gilt $f|_{V_{i}}=g|_{V_{i}}$ für alle $i\in I$, so gilt $f=g$.
• (Verkleben:) Sei $U$ eine offene Teilmenge von $X$ und $\{V_{i}\}_{i\in I}$ eine offene Überdeckung von $U$. Sind Schnitte $f_{i}\in {\mathcal {F}}(V_{i})$ gegeben und gilt $f_{i}|_{V_{i}\cap V_{j}}=f_{j}|_{V_{i}\cap V_{j}}$ für alle $i,j\in I$, so gibt es einen Schnitt $f\in {\mathcal {F}}(U)$ mit $f|_{V_{i}}=f_{i}$ für alle $i\in I$.

Mit anderenen Worten, bei einer Garbe sind die Daten „lokal“:

• Lokale Übereinstimmung impliziert globale Übereinstimmung,
• Zusammenpassende lokale Daten lassen sich „verkleben“.

Aus der ersten Bedingung folgt, dass $f$ in der zweiten Bedingung durch die $f_{i}$ eindeutig bestimmt ist.

Kategorientheoretische Definition einer Garbe auf einem topologischen Raum

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $\mathbf {Ouv} (X)$ die Kategorie der offenen Teilmengen von $X$.

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ mit Werten in einer Kategorie $C$ ist ein kontravarianter Funktor

${\mathcal {F}}\colon \mathbf {Ouv} (X)\to C$.

$C$ kann Produkte besitzen.

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ heißt Garbe, falls für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede Überdeckung $\{V_{i}\}_{i\in I}$ von $U$ das folgende Diagramm

${\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(V_{i})\rightrightarrows \prod \limits _{(i,j)\in I\times I}{\mathcal {F}}(V_{i}\cap V_{j})$

so beschaffen ist, dass ${\mathcal {F}}(U)$ zusammen mit dem ersten Pfeil den Differenzkern der beiden rechten Pfeile bildet.

Erläuterungen

Der erste Pfeil entsteht aus dem Produkt der Einschränkungsmorphismen

$\operatorname {res} _{U,V_{i}}\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V_{i}),$

Er bildet einen Schnitt $s\in {\mathcal {F}}(U)$ auf die Familie seiner Einschränkungen $s\mapsto (s|_{V_{i}})_{i\in I}.$

Die beiden rechten Pfeile sind für eine Familie $(s_{i})_{i\in I}\in \prod \limits _{i\in I}{\mathcal {F}}(V_{i})$ durch

$(s_{i})_{i\in I}\to {\bigl (}s_{i}|_{V_{i}\cap V_{j}}{\bigr )}_{(i,j)\in I\times I}$ und $(s_{i})_{i\in I}\to {\bigl (}s_{j}|_{V_{i}\cap V_{j}}{\bigr )}_{(i,j)\in I\times I}$

gegeben.

Dabei bezeichnet $s_{i}|_{V_{i}\cap V_{j}}$ die Einschränkungen auf den Schnittmengen $V_{i}\cap V_{j}$. Zu jedem Indexpaar $(i,j)$ hat man zwei Inklusionen:

$\iota _{1}^{(i,j)}:V_{i}\cap V_{j}\rightarrow V_{i}$ und $\iota _{2}^{(i,j)}:V_{i}\cap V_{j}\rightarrow V_{j}$.

Aufgrund der Kontravarianz von ${\mathcal {F}}$ induzieren diese die Morphismen

${\mathcal {F}}(\iota _{1}^{(i,j)}):{\mathcal {F}}(V_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(V_{i}\cap V_{j})$ und ${\mathcal {F}}(\iota _{2}^{(i,j)}):{\mathcal {F}}(V_{j})\rightarrow {\mathcal {F}}(V_{i}\cap V_{j})$.

Prägarbe auf einer Kategorie, Garbe auf einem Situs

Eine Prägarbe auf einer Kategorie C ist ein kontravarianter Funktor ${\mathcal {F}}$: C $\rightarrow$ A in eine Kategorie A, etwa die Kategorie der Mengen oder die Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn C eine Grothendieck-Topologie besitzt, so nennt man eine Prägarbe eine Garbe, wenn für jede überdeckende Familie {φ_i: V_i $\rightarrow$ U}_i$\in$I die Sequenz

${\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod {\mathcal {F}}(V_{i})\rightrightarrows \prod {\mathcal {F}}(V_{i}\times V_{j}),$

exakt ist, d. h. wenn ${\mathcal {F}}(U)$ der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

Wie im Fall eines topologischen Raumes kann man Prägarben vergarben. Ebenso kann man verschiedene Kohomologietheorien entwickeln, etwa Čech-Kohomologie.

Die Gesamtheit aller Garben auf einem Situs bildet einen Topos.

Morphismen

So wie eine Garbe eine Sammlung von Objekten ist, ist ein Morphismus zwischen Garben eine Sammlung von Morphismen dieser Objekte. Diese muss mit den Einschränkungsabbildungen verträglich sein.

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben auf $X$ mit Werten in derselben Kategorie. Ein Morphismus $\varphi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ besteht aus einer Sammlung von Morphismen $\varphi (U)\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$, einer für jede offene Teilmenge $U$ von $X$, so dass für jede Inklusion $V\subseteq U$ offener Teilmengen die Bedingung ${\tilde {\rho }}_{V}^{U}\circ \varphi (U)=\varphi (V)\circ \rho _{V}^{U}$ erfüllt ist. Hierbei bezeichnet $\rho _{V}^{U}$ die Einschränkungsabbildung von ${\mathcal {F}}$ und ${\tilde {\rho }}_{V}^{U}$ die von ${\mathcal {G}}$.

Fasst man die Garben wie oben beschrieben als Funktoren auf, so ist ein Morphismus zwischen den Garben dasselbe wie eine natürliche Transformation der Funktoren.

Für jede Kategorie $C$ bilden die $C$-wertigen Garben mit diesem Morphismenbegriff eine Kategorie.

Halme und Keime

Es sei $C$ eine Kategorie algebraischer Strukturen (beispielsweise die Kategorie der (abelschen) Gruppen, Ringe oder Moduln). Damit der Halm als Kolimes definiert werden kann, setzt man technisch voraus, dass die benötigten Kolimiten in $C$ existieren. Genauer müssen pseudofiltrierende Kolimiten in $C$ existieren, und ihre zugrundeliegenden Mengen müssen mit den Kolimiten der zugrundeliegenden Mengen der Einzelobjekte übereinstimmen.

Für jeden Punkt $x\in X$ ist der Halm ${\mathcal {F}}_{x}$ einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ im Punkt $x$ definiert als

${\mathcal {F}}_{x}=\operatorname {colim} _{x\in V}{\mathcal {F}}(V).$

Der Kolimes wird über alle offenen Umgebungen $V$ von $x$ gebildet. Dabei werden Schnitte aus verschiedenen Umgebungen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer kleineren offenen Umgebung von $x$ übereinstimmen.

Elemente des Halms heißen Keime. Keime sind also Äquivalenzklassen von lokalen Schnitten über offenen Umgebungen von $x$, wobei Schnitte äquivalent sind, wenn sie bei Einschränkung auf eine kleinere Umgebung gleich werden.

Erläuterungen

Für zwei offene Umgebungen $V_{2}\subseteq V_{1}$ von $x$ gibt gemäß der Definition der Prägarbe eine Einschränkungsabbildung

${\mathcal {F}}(V_{1})\to {\mathcal {F}}(V_{2}).$

Auf diese Weise entsteht für eine Kette $\cdots \subseteq V_{3}\subseteq V_{2}\subseteq V_{1}$ ein System von Schnitten

${\mathcal {F}}(V_{1})\to {\mathcal {F}}(V_{2})\to {\mathcal {F}}(V_{3})\to \cdots$

auf immer kleineren Umgebungen von $x$. Der Kolimes fasst dieses System zu einem einzigen Objekt zusammen, das nur das Verhalten der Schnitte in beliebig kleinen Umgebungen von $x$ berücksichtigt.

Vergarbung

Ist ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$, so gibt es eine Garbe $\mathbf {a} {\mathcal {F}}$, die Vergarbung von oder assoziierte Garbe zu ${\mathcal {F}}$, so dass für jede Garbe ${\mathcal {G}}$

$\mathrm {Hom} _{\mathrm {(Garben)} }(\mathbf {a} {\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=\mathrm {Hom} _{\mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} }({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$

gilt. $\mathbf {a}$ ist also linksadjungiert zum Vergissfunktor $\mathrm {(Garben)} \to \mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} .$

Es gibt keine einheitliche Notation für den Vergarbungsfunktor.

Direkte Bilder und Urbildgarben

Ist ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung, so ist

$U\mapsto {\mathcal {F}}(f^{-1}(U)),\quad U\subseteq Y\ {\text{offen}}$

eine Garbe auf $Y$, die mit $f_{*}{\mathcal {F}}$ bezeichnet wird und direktes Bild oder auch Bildgarbe von ${\mathcal {F}}$ unter $f$ heißt.

Ist ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $Y$, so ist die assoziierte Garbe zu

$U\mapsto \operatorname {colim} _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V)$

eine Garbe auf $X$, die Urbildgarbe, die mit $f^{-1}{\mathcal {G}}$ bezeichnet wird.

Ist $g\colon Y\to Z$ eine weitere stetige Abbildung, so sind die Funktoren

$\,(gf)_{*}$ und $\,g_{*}f_{*}$

sowie die Funktoren

$\,(gf)^{-1}$ und $\,f^{-1}g^{-1}$

natürlich äquivalent.

Die Funktoren $\,f_{*}$ und $\,f^{-1}$ sind adjungiert: Ist ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $\,Y$, so ist

$\operatorname {Hom} (f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} ({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}}).$

Halme sind spezielle Garbenurbilder: Bezeichnet $i_{y}$ die Inklusion $\{y\}\to Y$ eines Punktes, so ist

${\mathcal {G}}_{y}=i_{y}^{-1}{\mathcal {G}};$

dabei wurde die Garbe $i_{y}^{-1}{\mathcal {G}}$ auf dem einpunktigen Raum $\,\{y\}$ mit ihren globalen Schnitten identifiziert. Infolgedessen ist das Garbenurbild kompatibel mit Halmen:

$\,(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}.$

Diese Beziehung ist auch der Grund dafür, dass $\,f^{-1}$ trotz der komplizierteren Definition der einfacher zu verstehende Funktor ist: in einem gewissen Sinn ist Kohomologie das Studium des Funktors $\,f_{*}$.

Der Étalé-Raum einer Garbe

Zu einer Garbe ${\mathcal {F}}$ von Mengen sei ein topologischer Raum $E$ über $X$ wie folgt definiert:

• Die zugrundeliegende Menge ist die disjunkte Vereinigung aller Halme von ${\mathcal {F}}$; die Abbildung $E\to X$ bilde ${\mathcal {F}}_{x}$ auf $x\in X$ ab.
• Die Topologie auf $E$ ist die stärkste Topologie, für die die Abbildungen

$U\to E,\quad x\mapsto f_{x}$

für jeden Schnitt $f\in {\mathcal {F}}(U)$ über einer offenen Menge $U\subseteq X$ stetig sind.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Schnitten von ${\mathcal {F}}$ über einer offenen Menge $U\subseteq X$ und den Schnitten von $\pi \colon E\to X$ über $U$, d. h. den stetigen Abbildungen $s\colon U\to E$, für die $\pi \circ s$ gleich der Inklusion $U\subseteq X$ ist.

Dieser Raum $E$ heißt der Étalé-Raum (frz. étalé = ausgebreitet) oder, in deutschsprachiger Literatur auch ohne Akzente geschrieben, der etale Raum.

Beispiele

• Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bilden keine Prägarbe, weil die Einschränkung einer Funktion mit kompaktem Träger auf eine offene Teilmenge im Allgemeinen nicht wieder kompakten Träger hat.

• Die Prägarbe, die jeder nicht-leeren offenen Teilmenge von $\mathbb {R}$ die abelsche Gruppe $\mathbb {Z}$ sowie der leeren Menge die triviale Untergruppe $\{0\}$ zuordnet, ist keine Garbe: Ist $U=U_{1}\cup U_{2}$ mit $U_{1}=(1,2)$ und $U_{2}=(3,4)$, so lassen sich der Schnitt $5$ über $U_{1}$ und der Schnitt $7$ über $U_{2}$ nicht zu einem Schnitt über $U$ „verkleben“.

• Die Garbe ${\mathcal {O}}$ der holomorphen Funktionen auf $\mathbb {C}$ ist eine Garbe von Ringen (eine Ringgarbe): der Halm im Nullpunkt kann mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen $\mathbb {C} \{z\}$ identifiziert werden, d. h. der Potenzreihen, deren Konvergenzradius nicht Null ist. Die anderen Halme entstehen durch Koordinatenwechsel (d. h. ersetze $z$ durch $z-a$).

• Es sei $X=\{\eta ,s\}$ der topologische Raum mit zwei Punkten, von denen $s$ abgeschlossen ist und $\eta$ nicht, d. h. der Sierpiński-Raum. Dann ist eine Garbe durch die zwei Mengen $M=\Gamma (X,{\mathcal {F}})$ und $N=\Gamma (\{\eta \},{\mathcal {F}})$ zusammen mit einer Abbildung $\rho \colon M\to N$ bestimmt, und umgekehrt kann man diese Daten beliebig vorgeben und erhält eine Garbe. Die Halme von ${\mathcal {F}}$ sind

${\mathcal {F}}_{\eta }=N$ und ${\mathcal {F}}_{s}=M$.

• Es sei $X=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}$ ausgestattet mit der Quotiententopologie und zu offenem $U\subseteq X$ sei ${\mathcal {F}}(U)$ die Menge aller Funktionen, die lokal Steigung 1 haben, das sind alle $f\colon U\to \mathbb {R}$ mit $f(x+\varepsilon +\mathbb {Z} )=f(x+\mathbb {Z} )+\varepsilon$, sofern beide Seiten definiert sind und $|\varepsilon |$ hinreichend klein ist. Dies ist eine Garbe, bei der jeder Halm ${\mathcal {F}}_{x}$ isomorph zu $\mathbb {R}$ und auch $\Gamma (U,{\mathcal {F}})\cong \mathbb {R}$ für jede zusammenhängende offene echte Teilmenge $U\subsetneq X$. Es gibt jedoch keine globalen Schnitte, $\Gamma (X,{\mathcal {F}})=\emptyset$. Dadurch ist dies „nur“ eine mengenwertige und keine abelsche-Gruppen-wertige Garbe.

Verallgemeinerung

Der Begriff der Garbe lässt sich allgemeiner im Kontext von Grothendieck-Topologien fassen.

Siehe auch

• Garbenkohomologie

Literatur

• Francisco Miraglia: An Introduction to Partially Ordered Structures and Sheaves. Polimetrica, Mailand 2006, ISBN 88-7699-035-6 (Contemporary Logic).