Fußpunkt-Transformation

Die Fußpunkt-Transformation ist in der Mathematik eine Operation, die aus einer Kurve in der Ebene eine neue Kurve – ihre Fußpunktkurve – bildet.

Mathematische Darstellung

Für die Konstruktion der Fußpunktkurve wird in der Ebene ein Punkt (der sogenannte Pol) $O$ gewählt. Eine gegebene Kurve $c$ wird dann wie folgt abgebildet: Einem Punkt $P \in c$ wird der Fußpunkt $F$ des Lotes von $O$ auf die Tangente von $c$ in $P$ zugeordnet.^[1]

Die Konstruktion des Bildpunktes lässt sich elementar beschreiben: $F$ ist der Schnittpunkt der Tangente zu $c$ in $P$ mit dem Thaleskreis über $\overline{O P}$ . Die Tangente an die Fußpunktkurve in $F$ ist die Tangente an den Thaleskreis in $F$ . Daraus ergibt sich auch die wichtige Erkenntnis, dass nicht die gesamte Kurve bekannt sein muss, um den Bildpunkt zu konstruieren, sondern nur der Punkt selber sowie die Richtung der Tangente.

Die Konstruktion des Bildpunktes lässt sich analytisch beschreiben: Wir legen dazu ein kartesisches Koordinatensystem durch den Pol $O$ und denken uns den Punkt $P$ durch Koordinaten $(x, y)$ gegeben. Die Tangentenrichtung ist durch $y^{'}$ festgelegt. Gesucht sind nun die Koordinaten $(x_{F}, y_{F})$ des Fußpunktes $F$ . Wir werden außerdem die Tangentenrichtung ${y_{F}}^{'}$ der Fußpunktkurve in $F$ bestimmen.^[1]

Da der Punkt $F$ auf der Tangenten zu $c$ durch $P$ sowie auf der Normalen durch $O$ liegt, erfüllen seine Koordinaten $(x_{F}, y_{F})$ die beiden folgen Gleichungen. Die erste Gleichung ergibt sich dabei durch Einsetzen des Punktes $F$ in die Punktsteigungsform der Tangente mit Steigugung $y^{'}$ und Punkt $P$ . Die zweite Gleichung folgt aus der Orthogonalität der Vektoren $(x_{F}, y_{F})^{t}$ (Lot) und $(1, y^{'})^{t}$ (Tangente).^[1]

(x_{F} - x) y^{'} - (y_{F} - y) = 0

x_{F} + y_{F} y^{'} = 0

Daraus ergeben sich

x_{F} = - \frac{y^{'} (y - x y^{'})}{1 + y'^{2}}

und

y_{F} = - \frac{(y - x y^{'})}{1 + y'^{2}}

.

Weiterhin lässt sich mit der Differentialrechnung ${y_{1}}^{'}$ bestimmen:

{y_{F}}^{'} = \frac{d y_{F}}{d x_{F}} = \frac{x y'^{2} - x - 2 y y^{'}}{y y'^{2} - x + 2 x y^{'}}

Liegt der Pol $O$ nicht im Ursprung oder lässt sich die Tangentensteigung nicht einfach für einen beliebigen Punkt $P$ der Kurve $c$ bestimmen, so kann man die folgende allgemeinere Form verwenden. Der Pol $O$ besitzt hier die Koordinaten $(x_{O}, y_{O})$ und die Kurve $c$ die Parameterdarstellung $(x (t), y (t))$ . Für die Koordinaten $(x_{F}, y_{F})$ des Fußpunktes $F$ gilt dann:^[2]

x_{F} = \frac{x_{O} x^{'} (t)^{2} + x (t) y^{'} (t)^{2} + (y_{O} - y (t)) x^{'} (t) y^{'} (t)}{x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}}

y_{F} = \frac{y_{O} y^{'} (t)^{2} + y (t) x^{'} (t)^{2} + (x_{O} - x (t)) x^{'} (t) y^{'} (t)}{x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}}

Eigenschaften

Beispiele

Im Folgenden ist der Begriff „Kurve“ in einem erweiterten Sinn zu verstehen, z. B. soll auch ein Punkt als Kurve verstanden werden.

Geraden
Fußpunktkurve einer Geraden ist ein Punkt: Zu jedem Punkt auf der Geraden ist die Tangente diese Gerade selbst. Es gibt genau einen Fußpunkt des Lotes der Geraden durch den Pol $O$ .
Kreise
Fußpunktkurve eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Pol $O$ ist, ist der Kreis selber. Falls der Pol vom Zentrum des Kreises verschieden ist, sind die Fußpunktkurven komplizierter.
Punkte
Fußpunktkurve eines Punktes $P$ ist der Kreis mit $\overline{O P}$ als Durchmesser. Tangenten an einen Punkt sind alle möglichen Geraden durch diesen Punkt. Dass diese Definition Sinn ergibt, kann man sich erklären, indem Punkte als „degenerierte Kreise“ aufgefasst werden.
Parabeln, Kegelschnitte
Fußpunktkurve einer Parabel mit dem Pol $O$ als Brennpunkt ist die Tangente an die Parabel durch deren Scheitelpunkt. Generell werden Kegelschnitte mit dem Pol $O$ als Brennpunkt auf Kreise, deren Durchmesser die Hauptachse des Kegelschnitts ist, abgebildet.

Erhaltung von Linienelementen

In der Mathematik wird ein Tripel $(x, y, y^{'})$ als Linienelement bezeichnet. Die analytischen Formeln der Fußpunkt-Transformation zeigen, dass Linienelemente ein-eindeutig aufeinander abgebildet werden.

Berühren sich zwei Kurven (d. h., sie haben neben einem Punkt auch die Tangente gemeinsam), so berühren sich die Fußpunktkurven im Bildpunkt.

Bedeutung

Da die Fußpunkt-Transformation Linienelemente ein-eindeutig aufeinander abbildet, lässt sie sich als „Übertragungsprinzip“ im Sinne von Klein’s Erlanger Programm nutzen: Aus gewissen Sätzen über Punkte, Geraden und Kegelschnitte lassen sich direkt Sätze über Punkte, Geraden und Kreise beweisen und umgekehrt. Einige Beispiele von Sätzen, die durch Anwenden der Fußpunkt-Transformation übertragen lassen:

Fußpunkt-Transformation als Übertragungsprinzip
Sätze über Punkte, Geraden und Kegelschnitte	Sätze über Punkte, Geraden und Kreise
Zwei Punkte bestimmen eine Gerade	Zwei sich schneidende Kreise, die einen Punkt gemeinsam haben, haben noch einen weiteren Punkt gemeinsam.
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt	Drei Punkte bestimmen einen und nur einen Kreis.
Ein Kegelschnitt ist durch einen Brennpunkt und drei Tangenten eindeutig bestimmt.	Drei Punkte bestimmen einen und nur einen Kreis.
Es gibt acht Kegelschnitte mit dem gemeinsamen Brennpunkt $O$ , die drei Kegelschnitte mit demselben gemeinsamen Brennpunkt berühren	Es gibt acht Kreise, die drei gegebene Kreise berühren.

Literatur

Sophus Lie, Georg Scheffers: Geometrie der Berührungstransformationen. Chelsea Publishing Company, ISBN 0-8284-0291-4, S. 17–21; google.de/books
Fußpunktkurve. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 7: Franzensbad–Glashaus. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1907, S. 233 (Digitalisat. zeno.org).

Weblinks

Commons: Fußpunkkurven – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Fußpunktkurven. mathematische-basteleien.de
Interaktive Illustrationen von Fußpunktkurven (geogebra.org): Parabel – Hyperbel – Ellipse – allgemeiner Kegelschnitt

Einzelnachweise

1 2 3 Sophus Lie, Georg Scheffers: Geometrie der Berührungstransformationen. Chelsea Publishing Company, ISBN 0-8284-0291-4, S. 17–21; google.de/books
↑ Eric W. Weisstein: Pedal Curve. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 24. Oktober 2026

[Lie-1] 1 2 3 Sophus Lie, Georg Scheffers: Geometrie der Berührungstransformationen. Chelsea Publishing Company, ISBN 0-8284-0291-4, S. 17–21; google.de/books

[2] Eric W. Weisstein: Pedal Curve. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 24. Oktober 2026

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