Fresnel-Integral

Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.

Definition

Die beiden Integrale

\int_{- \infty}^{\infty} \cos (t^{2}) d t = \int_{- \infty}^{\infty} \sin (t^{2}) d t = \frac{1}{2} \sqrt{2 π}

heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.

Geschichte

Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale

\int_{- \infty}^{\infty} e^{(a^{2} - 1) t^{2}} \cos (2 a t^{2}) d t = \frac{\sqrt{π}}{1 + a^{2}}, - 1 \leq a \leq 1

und

\int_{- \infty}^{\infty} e^{(a^{2} - 1) t^{2}} \sin (2 a t^{2}) d t = \frac{a \sqrt{π}}{1 + a^{2}}, - 1 \leq a \leq 1.

Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik

Sie spielen eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

ℱ^{(j)} \equiv 𝒩 \int_{- \infty}^{\infty} e^{i α ξ^{2}} ξ^{j} d ξ .

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante $𝒩$ ist

𝒩 \equiv \sqrt{\frac{α}{i π}}

,

$j$ ist eine ganze natürliche Zahl. Für $j = 0$ ist das Integral

ℱ \equiv ℱ^{(0)} \equiv 𝒩 \int_{- \infty}^{\infty} e^{i α ξ^{2}} d ξ

und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.

Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch

\int_{- \infty}^{\infty} \cos (α ξ^{2}) d ξ = \sqrt{\frac{π}{2 | α |}}

und

\int_{- \infty}^{\infty} \sin (α ξ^{2}) d ξ = \sqrt{\frac{π}{2 | α |}} \cdot sign (α) .

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von $α$ , der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit $\sqrt{i} = e^{i \frac{π}{4}}$ und $- 1 = e^{i π}$ und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals

ℱ \equiv ℱ^{(0)} \equiv 𝒩 \int_{- \infty}^{\infty} e^{i α ξ^{2}} d ξ = \sqrt{\frac{α}{i π}} \cdot \sqrt{\frac{i π}{α}} = 1 .

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

Literatur

Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-59075-7, S. 178 f.
Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, S. 47.

Weblinks

Commons: Fresnel integrals – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien