„Freier Fall“ – Versionsunterschied

Freier Fall eines Basketballs: Aufgenommen sind 20 Bilder pro Sekunde. Die zwischen zwei Bildern zurückgelegte Strecke wächst quadratisch mit der Zeit.

Als freier Fall ist die durch die Erdanziehungskraft, der sogenannten Schwerkraft, bewirkte Bewegung eines Körpers frei vom Einfluss weiterer Kräfte definiert. Dieser Zustand wird auch als Schwerelosigkeit bezeichnet.

Auf der Erde wird neben der Fallbeschleunigung in der Regel auch der Luftwiderstand wirksam. Diesem kann man im Vakuum eines Fallturms entgehen oder ihn bei einem Parabelflug durch eine mitfliegende „Luftwiderstandsabschirmung“ (Flugzeug) ausschalten. Einen längeren Fall mit Luftwiderstand kann ein Mensch beim Fallschirm- oder Bungee-Springen erfahren.

Geschichte

Demonstration des freien Falls auf dem Mond (Feder und Hammer werden fallen gelassen durch David Scott, Apollo 15)

Der griechische Philosoph Aristoteles (384–322 v. Chr.) beschäftigte sich mit der Bewegung von Körpern. Nach seiner Meinung bewegten sich im Wasser schwere Körper nach unten, leichte wegen „ihrer Leichtigkeit“ nach oben. Schwere Körper müssten daher schneller zu Boden fallen als weniger schwere. Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) widerlegte 1554 in seinem Werk Demonstratio proportionum motuum localium contra Aristotilem et omnes philosophos in einem simplen Gedankenexperiment diese Annahme: Zwei gleiche Kugeln, die durch eine (masselose) Stange fest verbunden werden, fallen mit derselben Geschwindigkeit wie jede der beiden Kugeln allein.

SUPERE GESCHWINDIGKEIT MEGA POWE>R SONIC X CORNIS UWE DADDY HUNDGeschwindigkeit. Diese Auffassungen wurden sowohl bei den spätantiken Gelehrten als auch bei den arabischen und denen der Scholastik nicht ernsthaft in Zweifel gezogen. Galileo Galilei (1564–1642) erkannte 1590 die Gesetze des freien Falls: Alle Körper fallen im Vakuum unabhängig von ihrer Gestalt, Zusammensetzung und Masse gleich schnell. Ihre Fallgeschwindigkeit ist proportional zur Fallzeit, der Fallweg proportional zum Quadrat der Fallzeit. Die Beschleunigung ist dabei am selben Ort für alle Körper gleich groß. Er versuchte durch Experimente die Schwerebeschleunigung festzustellen. Er hatte jedoch noch keinen genauen Zeitmesser und „verlangsamte“ deshalb die Bewegungen, indem er eine Kugel eine sogenannte Fallrinne hinab rollen ließ. Als Zeitmesser diente ein Eimer voll Wasser. Ein kleiner Wasserstrahl ergoss sich in einen Becher, und die Wassermenge während der Fallzeit wurde auf einer genauen Waage gewogen. Dass er den freien Fall auch dadurch untersuchte, dass er zwei Objekte vom Turm zu Pisa fallen ließ, ist eine Legende.

Erst Robert Boyle bestätigte 1659 experimentell, dass Körper unterschiedlicher Masse im Vakuum gleich schnell fallen.

Isaac Newton (1643–1727) formulierte dann das Gravitationsgesetz, welches nicht nur den freien Fall auf der Erde erklärt, sondern auch die Umlaufbahnen von Mond und Planeten als Fallphänomene beschreibt.

Die allgemeine Formel für den freien Fall lautet (falls der Körper in der Höhe $h_{0}$ ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird, ohne Berücksichtigung der Luftreibung):

$h(t)=h_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

wobei h die Höhe des Körpers zur Zeit t bezeichnet, $h_{0}$ die Ausgangshöhe und g die Fallbeschleunigung durch die Erdanziehungskraft. (Das Minuszeichen bezieht sich auf einen abwärts fallenden Körper.) Die Strecke s, die der Körper fallend zurückgelegt hat, ist demnach

$s(t)=|h(t)-h_{0}|={\frac {1}{2}}gt^{2}$

Erdnaher freier Fall

Auf der Erdoberfläche schwankt der Betrag der Fallbeschleunigung wegen der Erdabplattung und der Erdrotation in Meereshöhe zwischen ca. 9,78 m/s² (Äquator) und 9,83 m/s² (Pole). Zusätzlich ist sie von der Höhe über Normal-Null abhängig (siehe auch Ortsfaktor). Die „Normal-Fallbeschleunigung“ legt DIN 1305 als g = 9,80665 m/s² fest. Der Wert für die Erdschwerebeschleunigung wird allgemein mit g = 9,81 m/s² angegeben.

• Beim freien Fall in Erdnähe würde die Geschwindigkeit v eines fallenden Körpers - bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes - um 9,81 m/s pro Sekunde steigen. Dann wäre der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ein Fallschirmspringer, der sich aus einem stationären Ballon fallen lässt, wird zunächst immer schneller, seine Geschwindigkeit nimmt stetig zu. Seine Beschleunigung entspricht dabei der Erdschwerebeschleunigung und ist größer als die eines Autos: Nach einer Sekunde hat er theoretisch eine Geschwindigkeit von v = 9,81 m/s (ca. 35 km/h), nach zwei Sekunden 19,62 m/s (ca. 71 km/h), nach drei Sekunden 29,43 m/s (ca. 106 km/h). In einem echten freien Fall, d. h. im Vakuum, würde die Geschwindigkeit linear weiter entsprechend ansteigen.
• Tatsächlich wirkt auf den Fallschirmspringer jedoch auch der Luftwiderstand, welcher quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt. Die resultierende Beschleunigung entspricht daher nur am Anfang der Erdschwerebeschleunigung, nachher nimmt sie ab, bis nach ca. 7 Sekunden die Beschleunigung Null wird — der Fallschirmspringer fällt nun mit der Fallgrenzgeschwindigkeit des menschlichen Körpers von ca. 55 m/s (ca. 198 km/h). Diese Geschwindigkeit ist allerdings nicht die maximale Geschwindigkeit, sondern diejenige, die bei Einnahme der stabilen quer zum Fall ausgerichteten Lage mit gespreizten Armen und Beinen erreicht wird. In einer geraden, senkrechten Haltung mit dem Kopf voran ist der Luftwiderstand deutlich geringer und es werden Geschwindigkeiten knapp über 500 km/h erreicht.
• Die höchste Geschwindigkeit die ein Mensch jemals im freien Fall erreichte, betrug aufgrund der dünnen Luftschicht 988 Km/h. Am Morgen des 16. August 1960 stieg der Testpilot Joseph Kittinger im Rahmen des Projekt Excelsior mit einem Druckanzug in einem Stratosphärenballon in eine Höhe von 30 Kilometern auf und sprang aus einer am Ballon befestigten Kapsel ab. Erst nach 4,5 Minuten freiem Fall erreichte Kittinger die oberen Wolkenschichten. Aufgrund der Gefahr der Bildung von Stickstoffbläschen in seinem Blut, aufgrund des geringen Luftdrucks, musste Kittinger vor Beginn des Fluges für 2 Stunden reinen Sauerstoff atmen. Am Rand der Kapsel war der Text "The highest step of the world / Die Höchste Stufe der Welt" angebracht.

Berechnung mit Differentialgleichungen

Kräfte am fallenden Körper ohne Reibung

Freier Fall (ohne Reibung)

Die Differentialgleichung für den freien Fall eines Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands folgt aus den Bewegungsgleichungen (2. Newtonsches Axiom):

$m{\ddot {z}}=-mg$

Durch Integration erhält man

$v(t)={\dot {z}}(t)=-gt+v_{0}$

mit der Integrationskonstante $v_{0}$ als Anfangsgeschwindigkeit. Nochmalige Integration ergibt schließlich

$z(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+z_{0}$

Dabei bezeichnet $z(t)$ die momentane Höhe, $z_{0}$ die Anfangshöhe und $v_{0}$ die Anfangsgeschwindigkeit. $z(t)$ und $v(t)$ haben positives Vorzeichen nach oben.

Kräfte am fallenden Körper mit Stokes-Reibung

Fall mit Stokes-Reibung

→ Hauptartikel: Gesetz von Stokes

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

$F_{\mathrm {R} }=-\beta v$

mit einem Reibungskoeffizienen $\beta$. Die Bewegungsgleichung in z-Richtung (vertikal) lautet daher

$m{\ddot {z}}=-mg-\beta {\dot {z}}$

bzw.

$m{\dot {v}}=-mg-\beta v.$

Diese Gleichung führt zu den Ausdrücken

$v(t)={\frac {-mg}{\beta }}\left(1-e^{-\beta t/m}\right)+v_{0}e^{-\beta t/m}$

für die Geschwindigkeit und

$z(t)=\left(v_{0}+{\frac {mg}{\beta }}\right)\left({\frac {m}{\beta }}\right)\left(1-e^{-\beta t/m}\right)-{\frac {mg}{\beta }}t+z_{0}$

für die Höhe. Sowohl die Geschwindigkeit als auch die Höhe des fallenden Gegenstands hängt von seiner Masse ab, was der Alltagserfahrung entspricht. Die Grenzgeschwindigkeit, welche sich für einen freien Fall mit Stokes-Reibung einstellen würde, beträgt

$\lim _{t\to \infty }v(t)=v_{\infty }=-{\frac {mg}{\beta }}$

Kräfte am fallenden Körper mit Newton-Reibung

Fall mit Luftwiderstand: Newton-Reibung

Aus der Bewegungsgleichung $m{\ddot {z}}=-mg+kv^{2}$ für eine Bewegung nach unten (d.h. v<0) folgt die Differentialgleichung

$m{\frac {dv}{dt}}=-mg+kv^{2}$.

Diese Differentialgleichung ist vom Riccatischen Typus und somit bei Kenntnis einer partikulären Lösung analytisch lösbar. Eine partikuläre Lösung entspricht dem stationären Zustand

$v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }=-{\sqrt {mg/k}}$.

Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit

$v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}-\operatorname {artanh} \left({\frac {v_{0}}{v_{\infty }}}\right)\right)$

wobei tanh(x) der Tangens Hyperbolicus, artanh(x) der Areatangens Hyperbolicus und $v_{0}:=v(t=0)$ ist.

Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm

Der Weg ergibt sich dann direkt als Integral der Geschwindigkeit über der Zeit zu

$s(t)=-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln {\Biggl (}\cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}-\operatorname {artanh} \left({\frac {v_{0}}{v_{\infty }}}\right)\right){\Biggr )}+s_{0}$

wobei ln(x) der Logarithmus Naturalis, cosh(x) der Cosinus Hyperbolicus und $s_{0}:=s(t=0)$ ist.

Da die Geschwindigkeit quadratisch in die Bewegungsgleichung eingeht, muss der Vorzeichenwechsel bei Bewegungsumkehr im Reibungsterm explizit durch Fallunterscheidung berücksichtigt werden. Die allgemeine Bewegungsgleichung lautet daher

$m{\ddot {z}}=-mg-\operatorname {sgn}(v)kv^{2}$.

Die Lösungen für Zeiten mit $v(t)>0$ (momentane Bewegung nach oben) folgen aus obigen Lösungen durch die Substitution $k\rightarrow -k$. Die Konstante $k$ ist von der Form des Körpers und von der Dichte des strömenden Mediums (etwa der Luft) abhängig. Es gilt:

$k={\frac {1}{2}}c_{\mathrm {w} }A\rho$,

wobei $c_{\mathrm {w} }$ der Widerstandsbeiwert, $A$ die Körperquerschnittsfläche und $\rho$ die Dichte des umgebenden Mediums (Luft) ist.

Beispiel: Meteoroid

Bremsbeschleunigung, welche ein in die Erdatmosphäre eindringender Meteoroid erfährt. Bei einer höheren Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich auch ein höherer Peak.

Geschwindigkeitsverlauf des Meteoroiden.

Im Folgenden wird angenommen, dass ein kugelförmiger Meteoroid mit dem Querschnitt $A$ und der Masse $m$ in die Erdatmosphäre eindringt und dabei abgebremst wird. Gesucht sind die Geschwindigkeit und Bremsbeschleunigung des Meteoroiden als Funktion der Höhe über dem Erdboden. Die Gravitationsbeschleunigung der Erde wird mit zunehmender Höhe $h(t)$ über der Erdoberfläche kleiner. Es gilt

$a_{\mathrm {grav} }=-g\cdot \left({\frac {r}{r+h(t)}}\right)^{2}$,

wobei $r$ den Erdradius bezeichnet. Nach der barometrischen Höhenformel beträgt die Luftdichte in dieser Höhe

$\rho (h)=\rho _{0}\cdot e^{-{\frac {Mg}{RT}}h(t)}.$

Dabei ist $\rho _{0}$ die Luftdichte am Erdboden, $M$ die mittlere molare Masse der Atmosphärengase (0,02896 kg mol⁻¹), $R\,$ die universelle Gaskonstante (8,314 J K⁻¹ mol⁻¹) und $T\,$ die absolute Temperatur. Der Strömungswiderstand der Luft $F_{L}$ bei der Geschwindigkeit $v(t)$ ist von dieser Dichte abhängig:

$F_{L}={\frac {1}{2}}\rho (h)C_{w}Av^{2}(t).$

Die effektive Beschleunigung auf den Meteoroid der Masse m entspricht der Gravitationsbeschleunigung abzüglich der Bremsbeschleunigung:

$a_{\mathrm {eff} }={\ddot {h}}(t)=a_{\mathrm {grav} }+{\frac {F_{L}}{m}}$

Setzen wir die obigen Formeln in diese Gleichung ein, so ergibt sich die Bewegungsgleichung des Meteoroiden:

${\ddot {h}}(t)+g\left({\frac {r}{r+h(t)}}\right)^{2}-{\frac {1}{2m}}\rho _{0}\ \cdot e^{-{\frac {Mg}{RT}}h(t)}C_{w}A\cdot {\dot {h}}^{2}(t)=0$

In den nebenstehenden Diagrammen wurde die Bewegungsgleichung für einen Eisen-Meteoroid mit dem Volumen V=1 cm³ und der Masse m=7.874 g numerisch gelöst. Dabei verfügt der Meteoroid jeweils die Anfangsgeschwindigkeiten v₀=15 km/s, v₀=25 km/s oder v₀=35 km/s. Es stellt sich heraus, dass ein solcher Körper stets im selben Höhenbereich abgebremst wird, wobei eine größere Masse bei gleichbleibender Dichte alle Kurven in den Diagrammen lediglich nach links verschiebt. Da eine Beschleunigung von 1 km/s² etwa der 102-fachen Erdbeschleunigung entspricht, sind schnelle Meteoroiden einer enormen Kraft ausgesetzt, welche diese in Fragmente zerreißt und ob der hohen Reibungswärme verglühen lässt. Das so entstehende Licht macht einen kleinen Teil der Leuchterscheinung einer Sternschnuppe aus.

Siehe auch

• Wurfparabel

Weblinks

• Freier Fall eines Bleizylinders und einer Feder im Vakuum im Vergleich (Experiment mit Video)
• Video aus der Sendung „Anderthalb“ über den freien Fall (1,5 Minuten): schnelle Verbindung langsame Verbindung