Faxén-Integral

In der Mathematik ist das Faxén-Integral (auch Faxén-Funktion) folgendes Integral^[1]

Fi (α, β; x) = \int_{0}^{\infty} \exp (- t + x t^{α}) t^{β - 1} d t, (0 \leq Re (α) < 1, Re (β) > 0) .

Das Integral ist nach dem schwedischen Physiker Olov Hilding Faxén benannt, der es 1921 in seiner Doktorarbeit publizierte.^[2]

n-dimensionales Faxén-Integral

Allgemeiner definiert man das $n$ -dimensionale Faxén-Integral als^[3]

I_{n} (x) = λ_{n} \int_{0}^{\infty} \dots \int_{0}^{\infty} t_{1}^{β_{1} - 1} \dots t_{n}^{β_{n} - 1} e^{- f (t_{1}, \dots, t_{n}; x)} d t_{1} \dots d t_{n},

mit

f (t_{1}, \dots, t_{n}; x) := \sum_{j = 1}^{n} t_{j}^{μ_{j}} - x t_{1}^{α_{1}} \dots t_{n}^{α_{n}}

und

λ_{n} := \prod_{j = 1}^{n} μ_{j}

für $x \in ℂ$ und

(0 < α_{i} < μ_{i}, Re (β_{i}) > 0, i = 1, \dots, n) .

Der Parameter $λ_{n}$ wurde nur aus rechnerischen Gründen eingeführt, man kann auch auf ihn verzichten.

Es gilt folgende Beziehung zur Gammafunktion

Für $α = β = \frac{1}{3}$ erhält man folgende Beziehung zur Scorer-Funktion

Fi (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}; x) = 3^{2 / 3} π Hi (3^{- 1 / 3} x) .

Für $x \to \infty$ haben wir folgende Entwicklungen^[4]

$Fi (α, β; - x) \sim \frac{Γ (β / α)}{α y^{β / α}},$
$Fi (α, β; x) \sim {(\frac{2 π}{1 - α})}^{1 / 2} (α x)^{(2 β - 1) / (2 - 2 α)} \exp ((1 - α) (α^{α} y)^{1 / (1 - α)}) .$

↑ Frank W. J. Olver: Asymptotics and Special Functions. Hrsg.: A K Peters/CRC Press. 1997, S. 332, doi:10.1201/9781439864548.
↑ Hilding Faxén: Einwirkung der Gefässwände auf den Widerstand gegen die Bewegung einer kleinen Kugel in einer zähen Flüssigkeit. Hrsg.: Universität Uppsala. 1921 (kb.se – Doktorarbeit).
↑ Richard Bruce Paris: Asymptotic expansion of n-dimensional Faxén-type integrals. In: A K Peters/CRC Press (Hrsg.): European Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 3, Nr. 6, 2010, S. 1006–1031 (ejpam.com).
↑ D. Kaminski und Richard B. Paris: Asymptotics via iterated Mellin–Barnes integrals: Application to the generalised Faxén integral. In: Methods and applications of analysis. Band 4, 1997, S. 311–325 (intlpress.com).