Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei $(A, \leq)$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

f : A \to A

heißt extensiv, falls gilt:

a \leq f (a)

für alle

a \in A

.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

f (a) \leq a

für alle

a \in A

.

Beispiele

Auf $(A, \leq)$ ist die Identität ${id}_{A} : a \mapsto a$ extensiv und intensiv, da $a \leq a$ immer gilt.
Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung $f : A \to A$ bereits dann einen Fixpunkt, falls $A$ streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u. a., Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 120). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8.
Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.