Exponentialsumme

Eine Exponentialsumme ist in der analytischen Zahlentheorie eine endliche Summe der Form

S_{f} (N) = \sum_{1 \leq n \leq N} e (f (n))

für ein $N \in ℕ$ , wobei $f : [1, N] \to ℝ$ eine (üblicherweise glatte) Funktion und $e (x) := e^{2 π i x}$ ist.

Exponentialsummen werden insbesondere in der russischen Literatur (z. B. bei Iwan Winogradow) auch als trigonometrische Summen bezeichnet.

Ist $f$ ein reelles Polynom, so bezeichnet man $S_{f} (N)$ auch als Weyl-Summe, benannt nach Hermann Weyl.^[1]

Eigenschaften

Die Funktion $e (x)$ nennt man additiver Charakter auf $ℝ$ , $f$ nennt man Amplitudenfunktion und $N$ Länge der Summe.

Der Shift des Argumentes wird mit

S_{f} (N, M) := \sum_{M < n \leq N + M} e (f (n)) = \sum_{1 \leq n \leq N} e (f (n + M))

notiert, wobei $f$ nun auf dem Interval $[M + 1, M + N]$ definiert sein muss.

Komplexe Verallgemeinerung

Exponentialsummen können für eine reelle Folge $(a_{n})_{1 \leq n \leq N}$ auch auf

\sum_{1 \leq n \leq N} a_{n} e (f (n))

verallgemeinert werden. Dies entspricht der obigen Definition der Exponentialsumme mit einer komplexen Funktion $g : [1, N] \to ℂ$ , denn es gilt

e (g (n)) = e^{2 π i g (n)} = e^{2 π i Re (g (n)) - 2 π Im (g (n))}

und somit gilt

a_{n} = e^{- 2 π Im (g (n))} .

Noch allgemeiner definiert man

S_{Φ, F} (N_{1}; \dots; N_{r}) = \sum_{1 \leq x_{1} \leq N_{1}} \dots \sum_{1 \leq x_{r} \leq N_{r}} Φ (x_{1}, \dots, x_{r}) e (F (x_{1}, \dots, x_{r}))

für eine beliebige komplex-wertige Funktion $Φ$ und eine reell-wertige Funktion $F$ .^[2]

Geschichte

Weyl veröffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie (siehe Gleichverteilung modulo 1).^[3] 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl-Summen abzuschätzen, welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird.^[4]

1921^[5] und 1922^[6] veröffentlichte Johannes van der Corput zwei Arbeiten, aus der eine weitere Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird.

1935^[7] und 1936^[8] veröffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschätzung von Weyl-Summen.^[9] Zusätzlich veröffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen mit Primzahlen.^[10]^[11] Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet.

Literatur

Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.
Arkhipov, G. I. und Chubarikov, V. N. und Karatsuba, A. A.: Trigonometric sums in number theory and analysis. Transl. from the Russian. In: Berlin: Walter de Gruyter (Hrsg.): De Gruyter Expo. Math. Band 39, 2004, ISBN 3-11-019798-7, doi:10.1515/9783110197983.

Einzelnachweise

↑ B. M. Bredikhin: Weyl sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.
↑ A. A. Karatsuba: Trigonometric sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.
↑ Hermann Weyl: Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. In: Math. Ann. Band 77, 1916, S. 313–352.
↑ Hermann Weyl: Zur Abschatzung von $ζ (1 + t i)$ . In: Math. Zeit. Band 10, 1921, S. 88–101.
↑ J. G. van der Corput: Zahlentheoretische Abschätzungen. In: Mathematische Annalen. Band 84, 1921, S. 53–79 (eudml.org).
↑ J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. Band 87, 1922, S. 39–65, doi:10.1007/BF01458035.
↑ I. M . Winogradow: On Weyl's sums. In: Mat. Sbornik. Band 42, 1935, S. 521–530.
↑ I. M . Winogradow: A new method of estimation of trigonometrical sums. In: Mat. Sbornik. Band 43, Nr. 1, 1936, S. 175–188.
↑ Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.
↑ I. M . Winogradow: The representation of an odd number as a sum of three prime numbers. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR. Band 15, Nr. 2, 1937, S. 291–294.
↑ I. M . Winogradow: Some theorems concerning the theory of prime numbers. In: Mat. Sb. Band 44, Nr. 2, 1937, S. 179–196.

[1] B. M. Bredikhin: Weyl sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.

[2] A. A. Karatsuba: Trigonometric sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.

[3] Hermann Weyl: Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. In: Math. Ann. Band 77, 1916, S. 313–352.

[4] Hermann Weyl: Zur Abschatzung von $ζ (1 + t i)$ . In: Math. Zeit. Band 10, 1921, S. 88–101.

[5] J. G. van der Corput: Zahlentheoretische Abschätzungen. In: Mathematische Annalen. Band 84, 1921, S. 53–79 (eudml.org).

[6] J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. Band 87, 1922, S. 39–65, doi:10.1007/BF01458035.

[7] I. M . Winogradow: On Weyl's sums. In: Mat. Sbornik. Band 42, 1935, S. 521–530.

[8] I. M . Winogradow: A new method of estimation of trigonometrical sums. In: Mat. Sbornik. Band 43, Nr. 1, 1936, S. 175–188.

[9] Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.

[10] I. M . Winogradow: The representation of an odd number as a sum of three prime numbers. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR. Band 15, Nr. 2, 1937, S. 291–294.

[11] I. M . Winogradow: Some theorems concerning the theory of prime numbers. In: Mat. Sb. Band 44, Nr. 2, 1937, S. 179–196.

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