Euler-Theorem

Das Euler-Theorem (manchmal auch Eulersche Identität oder Satz von Euler über homogene Funktionen) ist ein Satz aus der Analysis, der den Zusammenhang einer (total) differenzierbaren und (positiv) homogenen Funktion mit ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Das Theorem findet vielfach Anwendung in der Volkswirtschaftslehre, insbesondere in der Mikroökonomie. Dort ist es auch unter den Namen Wicksteed-Euler-Theorem oder Ausschöpfungstheorem bekannt.

Geschichte

Der Satz ist nach Leonhard Euler (1707–1783) benannt. Das Euler-Theorem wurde in die Wirtschaftswissenschaften durch den Ökonomen Philip Wicksteed integriert. Er benutzte Eulers Theorem in seinem 1894 veröffentlichten Buch The Co-ordination of the Laws of Distribution.

Aussage

Sei die Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {C}$ (total) differenzierbar und (positiv) homogen vom Grad $\lambda \in \mathbb {R}$. Letzteres bedeutet $f(tx)=t^{\lambda }f(x)$ für alle $t\in \mathbb {R} _{>0}$ und $x\in \mathbb {R} ^{k}$. Dann gilt für alle $x\in \mathbb {R} ^{k}$:

$\lambda \cdot f(x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x)\cdot x_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x)\cdot x_{k}$

Herleitung

Betrachte die Funktion $\mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {C} ,\;t\mapsto f(tx)$. Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt

$\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\mathrm {d} f(tx)}{\mathrm {d} t}}{\bigg \vert }_{t=1}={\frac {\mathrm {d} t^{\lambda }f(x)}{\mathrm {d} t}}{\bigg \vert }_{t=1}=\lambda t^{\lambda -1}f(x){\bigg \vert }_{t=1}=\lambda f(x)$,

wobei die zweite Gleichheit aus der vorausgesetzten Homogenität von $f$ folgt.

Anwendung in der Volkswirtschaftslehre

Sei $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}^{k}\to \mathbb {R}$ die (total) differenzierbare Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen einer Firma. Mathematisch bedeutet dies, dass $f$ (positiv) homogen vom Grad 1 ist. Dann folgt aus Eulers Theorem:

$f(x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x)\cdot x_{1}+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x)\cdot x_{k}$

Unter der Annahme des perfekten Wettbewerbs auf allen Faktormärkten wird jeder Produktionsfaktor $x_{1},\dotsc ,x_{k}$ im Marktgleichgewicht $x^{*}\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{k}$ gemäß seinem Grenzertrag entlohnt. Das bedeutet für alle $i=1,\dotsc ,k$, dass die Faktorentlohnung des $i$-ten Produktionsfaktors ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}^{*}}}(x^{*})$ entspricht. Dies impliziert, dass die betrachtete Firma im Marktgleichgewicht $x^{*}$ keinen Gewinn erwirtschaften kann, da die komplette Produktion $f(x^{*})$ für die Entlohnung der Produktionsfaktoren, $\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x^{*})\cdot x_{i}^{*}$, aufgewendet wird.

Ein konkretes Beispiel: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion $f\colon \mathbb {R_{\geq 0}^{2}} \to \mathbb {R} ,\;(K,L)\mapsto {\sqrt {KL}}$, wobei $K$ und $L$ hier die Faktoren Kapital bzw. Arbeit darstellen. $f$ ist offensichtlich differenzierbar und homogen vom Grad 1, da $f(\alpha K,\alpha L)=\alpha f(K,L)$ für alle $\alpha \in \mathbb {R} _{>0}$ gilt. Laut Eulers Theorem folgt:

$K{\frac {\partial f}{\partial K}}(K,L)+L{\frac {\partial f}{\partial L}}(K,L)=K\cdot {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {L}}{\sqrt {K}}}+L\cdot {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {K}}{\sqrt {L}}}={\sqrt {KL}}=f(K,L)$

Euler-Theorem in der klassischen Mechanik

Die kinetische Energie $E_{\mathrm {kin} }$ eines abgeschlossenen Systems aus $N$ Massenpunkten mit den Massen $m_{a}$

$E_{\mathrm {kin} }=\sum _{a=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}m_{a}{\vec {v}}_{a}\!^{2}$

ist eine homogene Funktion zweiten Grades der Geschwindigkeiten ${\vec {v}}_{a}$. Nach dem Eulerschen Satz für homogene Funktionen gilt daher

$2\,E_{\mathrm {kin} }=\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial E_{\mathrm {kin} }}{\partial {\vec {v}}_{a}}}\cdot {\vec {v}}_{a}$

Mit den Impulsen ${\vec {p}}_{a}={\tfrac {\partial E_{\mathrm {kin} }}{\partial {\vec {v}}_{a}}}$ erhält man

$2\,E_{\mathrm {kin} }=\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial E_{\mathrm {kin} }}{\partial {\vec {v}}_{a}}}\cdot {\vec {v}}_{a}=\sum _{a=1}^{N}{\vec {p}}_{a}\cdot {\vec {v}}_{a}={\frac {\mathrm {d} \,\,\,}{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{a=1}^{N}{\vec {p}}_{a}\cdot {\vec {r}}_{a}\right)-\sum _{a=1}^{N}{\dot {\vec {p}}}_{a}\cdot {\vec {r}}_{a}$

Dabei kennzeichnet ein Punkt über einer Größe die Ableitung nach der Zeit.

Für gebundene Bewegungen in einem begrenzten Raumbereich bei endlichen Geschwindigkeiten bleibt die Größe

$F=\sum _{a=1}^{N}{\vec {p}}_{a}\cdot {\vec {r}}_{a}$

beschränkt. Daher verschwindet der Zeitmittelwert ihrer Zeitableitung:

$\left\langle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}\right\rangle =\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {F(T)-F(0)}{T}}=0.$

Nach zeitlicher Mittelung folgt somit

$\langle 2\,E_{\mathrm {kin} }\rangle =\left\langle {\frac {\mathrm {d} \,\,\,}{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{a=1}^{N}{\vec {p}}_{a}\cdot {\vec {r}}_{a}\right)\right\rangle -\left\langle \sum _{a=1}^{N}{\dot {\vec {p}}}_{a}\cdot {\vec {r}}_{a}\right\rangle =\left\langle \sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial E_{\mathrm {pot} }}{\partial {\vec {r}}_{a}}}\cdot {\vec {r}}_{a}\right\rangle$

wobei die Newtonschen Bewegungsgleichungen

${\dot {\vec {p}}}_{a}=-{\frac {\partial E_{\mathrm {pot} }}{\partial {\vec {r}}_{a}}}$

verwendet wurden.

Ist die potentielle Energie $E_{\mathrm {pot} }$ eine homogene Funktion vom Grad $\lambda$ der Ortsvektoren ${\vec {r}}_{a}$, so ergibt sich mit dem Eulerschen Satz für homogene Funktionen

$2\langle E_{\mathrm {kin} }\rangle =\lambda \langle E_{\mathrm {pot} }\rangle$

Dies ist die allgemeine Form des Virialsatzes für Potentiale, die homogene Funktionen der Koordinaten sind.

Für kleine Schwingungen um eine stabile Gleichgewichtslage ist das Potential quadratisch in den Auslenkungen, also $\lambda =2$. In diesem Fall folgt

$\langle E_{\mathrm {kin} }\rangle =\langle E_{\mathrm {pot} }\rangle$

Die zeitlich gemittelten kinetischen und potentiellen Energien sind somit gleich.

Für die Newtonsche Gravitationswechselwirkung ist das Potential eine homogene Funktion vom Grad $\lambda =-1$. Daraus ergibt sich

$2\langle E_{\mathrm {kin} }\rangle =-\langle E_{\mathrm {pot} }\rangle$

Dies ist die für gravitativ gebundene Systeme wichtige Form des Virialtheorems.

Siehe auch

• Homogene Funktion
• Virialsatz

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Euler’s Homogeneous Function Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Eulersches Theorem in Gablers Wirtschaftslexikon