Papyrusfragment aus der Grabungsstätte Oxyrhynchos. Es zeigt eine Behauptung aus den Elementen (Buch II, § 5). Aus (P. Oxy. I 29).Seite aus der mutmaßlich ältesten vollständigen Überlieferung der Elemente von 888 n. Chr.[1] Euklid, Elemente 10, Appendix, Oxford, Bodleian Library, MS. D’Orville 301, fol. 268r
Die Elemente (im Original ΣτοιχεῖαStoicheia „Anfangsgründe“) sind eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden.
Die Elemente wurden zweitausend Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur.[2][3]
Euklids Elemente bestanden ursprünglich aus 13 Teilen in altgriechischer Schrift, welche Euklid damals als Bücher bezeichnete und nach heutigem Verständnis Kapiteln entsprechen.[4] Später kamen zwei weitere Teile anderer Autoren hinzu.[5]
In den Teilen werden eine Reihe von Behauptungen (Propositionen) aufgestellt und je anschließend bewiesen. Zu diesem Zweck werden zu Beginn des ersten Teils 23 Definitionen angegeben, und sogenannte Postulate (5 Stück) und Axiome (5 Stück) formuliert. Die folgenden Teile ergänzen weitere Definitionen, argumentieren ansonsten aber mit den Postulaten und Axiomen aus dem ersten Teil.
Heute unterscheidet man bei den Propositionen zwischen Lehrsätzen und Konstruktionsaufgaben, was noch im Originaltext nicht explizit geschah. Ebenfalls nachträglich, wurden die Propositionen durchnummeriert und für Querverweise in anderen Propositionen verwendet (im Original wurden die Ergebnisse vorangegangener Propositionen stattdessen komplett wiederholt). Zum Ende eines Beweises bediente sich Euklid zudem an den zwei Schlussformeln „was zu beweisen war“ für Lehrsätze bzw. „was auszuführen war“ für Konstruktionen.[6]
Übersicht zu den ursprünglichen 13 Teilen von Euklids Elemente[7]
Wesentlich am historischen Wert der Elemente, ist die axiomatische Methode zur Begründung mathematischen Wissens. Anstatt Aussagen intuitiv logisch zu begründen, hat das Werk den Anspruch, Behauptungen systematisch durch logische Schlussfolgerungen aus einer Sammlung von Grundannahmen (den 10 Postulaten bzw. Axiomen) herzuleiten und war damit wegweisend für weitere Anstrengungen zur Axiomatisierung mathematischer Teilgebiete bzw. der Mathematik als Ganzes – Wie sie insbesondere Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts intensiv verfolgt wurde.
Obwohl im Werk zwischen Postulaten und Axiomen unterschieden wird, haben beide axiomatischen Charakter. Während erstere geometrische Grundannahmen zum Ausdruck bringen, sind letztere Annahmen zu logischen Zusammenhängen.
Für die Axiomatisierung des mathematischen Teilgebiets der Geometrie sind die fünf geometrischen Grundannahmen am wichtigsten, die in diesem Kontext daher heute als „Theorieaxiome“ bezeichnet werden und ins Deutsche übersetzt wie folgt lauten:[8]
Postulat: „Es ist möglich, eine und nur eine gerade Linie von einem beliebigen Punkt zu einem beliebigen anderen Punkt zu zeichnen.“
Postulat: „Es ist möglich, eine begrenzte gerade Linie an jedem Ende zusammenhängend gerade zu verlängern, und zwar um einen Beitrag, der größer ist als eine beliebige vorgegebene Länge.“
Postulat: „Es ist möglich, einen und nur einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und Radius zu zeichnen.“
Postulat: „Alle rechten Winkel sind einander gleich.“
Graphische Darstellung der 5 Postulate der Elemente. V stellt das Parallelenaxiom in originaler, V' in moderner Formulierung dar.Postulat: „Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass die innen auf derselben Seite entstehenden Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann treffen sich die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei rechte sind.“
Das 5. Postulat, welches in einer abgewandelten Formulierung auch als Parallelenaxiom bekannt ist, sticht hierbei heraus. Es wurde historisch versucht, aus den anderen Postulaten herzuleiten (was es dann zu einem Theorem gemacht hätte, das Bemühen darum ist auch als Parallelenproblem bekannt), was später als unmöglich erkannt wurde. Stattdessen eröffnet eine Abwandlung des 5. Postulats das Tor zu den sogenannten nichteuklidischen Geometrien.
Die Elemente sind trotz ihres auf den ersten Blick erscheinenden stringenten Formalismus weniger formal, als modernere Ansätze zur Axiomatisierung (vgl. Begriffsschritt von Frege, Principia Mathematica von Russell und Whitehead oder ZF-Mengenlehre von Zermelo und Fraenkel). Zwar werden Theoreme zur Geometrie aus 10 definitiven Annahmen gewonnen, die verwendeten Schlussregeln (die nach modernem Verständnis für jedes Formale System notwendig sind) werden allerdings nirgends eingeführt und nach intuitivem Verständnis angewandt. Auch greifen die Elemente auf keine Formelsprache zurück, stattdessen werden Annahmen, Theoreme und Schlussfolgerungen umgangssprachlich ausgedrückt.[8]
Buch 15: Ein nur arabisch und hebräisch erhaltenes Buch eines späteren unbekannten Autors, arabisch in Kommentaren von Muhyi al-Dīn al-Maghribī erhalten. Es behandelt die fünf regulären Polyeder. Möglicherweise geht es auf griechische Überlieferung zurück.
Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst.
Euklids Elemente enthalten zahlreiche bedeutende mathematische Resultate. Zum Teil sind die Elemente die älteste Quelle für diese Resultate. Bekannt sind zum Beispiel:
Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der Elemente (1570)
Die älteste erhaltene griechische Handschrift stammt aus dem Byzanz des Jahres 888 und wird in der Bodleian Library (Oxford) aufbewahrt (MS. D’Orville 301) und entspricht der Ausgabe in der Bearbeitung von Theon von Alexandria. Von besonderer Bedeutung ist eine griechische Handschrift aus dem 10. Jahrhundert in der Vatikanbibliothek (Vaticanus Graecus 190, von Heiberg P genannt), die einen Text vor der Bearbeitung durch Theon enthält und auf der alle neueren Ausgaben beruhen. Sie enthält Buch 1 bis 15 (sowie die Data, den Kommentar von Marinos zu den Data und einige Texte von Theon). Es gibt auch ein 1897 in Oxyrhynchus gefundenes Papyrusfragment (Oxyrhynchus 29, Bibliothek der University of Pennsylvania) wahrscheinlich aus der Zeit von 75 bis 125 n. Chr., das aber nur die Proposition 5 aus Buch 2 enthält, und ein Papyrusfragment aus Herculaneum (Nr. 1061) mit der Definition 15 aus Buch 1.
Sowohl die Version von Theon als auch Vatikan 190 enthalten Erläuterungen bzw. kleinere Zusätze älterer Bearbeiter, die sogenannten Scholia.
Eine Übersetzung des Boethius aus dem Griechischen ins Lateinische (um 500) ist nur teilweise und auch nur in späteren Bearbeitungen erhalten. Frühere Übersetzungen ins Lateinische (vor Boethius) sind verloren.
Von den zahlreichen arabischen Übersetzungen und Kommentaren waren für die Überlieferung besonders die beiden nur fragmentarisch bekannten Übersetzungen des al-Haggag (oder al-Haddschadsch) gegen Ende des 8. Jahrhunderts und diejenigen von Ishaq ibn Hunayn / Thabit ibn Qurra (Ende 9. Jahrhundert) bzw. von Nasir Al-din al-Tusi (1248) von Bedeutung. Al-Nayrizi schrieb Anfang des 10. Jahrhunderts einen Kommentar, basierend auf der Übersetzung von Al-Haggag.[9]
Die erste mittelalterliche Übersetzung der Elemente ins Lateinische stammt von dem EngländerAdelard von Bath.[10] Dieser durchstreifte im 12. Jahrhundert Europa auf der Suche nach Handschriften und übertrug so um 1120 auch dieses Werk aus dem Arabischen. Unabhängig davon wurden die Elemente im gleichen Jahrhundert in Spanien von mindestens zwei weiteren berühmten Übersetzern aus dem Arabischen übertragen: von Hermann von Kärnten und von Gerhard von Cremona.[11] Die einflussreichste der frühen Übersetzungen war die von Campanus von Novara (um 1260) ins Lateinische (er benutzte die Übersetzung von Adelhard von Bath und andere Werke), die auch später die Grundlage der ersten Drucke der Elemente war und bis ins 16. Jahrhundert die dominierende Ausgabe war, als Übersetzungen direkt aus dem Griechischen diese ablösten. Insgesamt sind die Elemente eine der häufigsten in Handschriften überlieferten Texte des Mittelalters in zahlreichen unterschiedlichen, meist ziemlich freien Versionen.
Ebenfalls im 12. Jahrhundert entstand in Süditalien oder auf Sizilien eine weitere Übersetzung der Elemente aus dem Griechischen, deren Autor jedoch unbekannt ist. Wegen des Stils der Übersetzung liegt die Vermutung nahe, dass es sich bei diesem Autor um denselben handelt, der um 1160 auch den Almagest des Ptolemäus übersetzte. Sie wurde 1966 von John E. Murdoch identifiziert.[12][13]
Titelblatt von Bartolomeo Zambertis lateinischer Übersetzung der Elemente (1505)
Natürlich gehörten Die Elemente zu den ersten Werken, die man gedruckt haben wollte. Die erste lateinische Ausgabe, beruhend auf der Übersetzung von Campanus von Novara, erschien 1482 in Venedig. Die vorbereitende Bearbeitung des Regiomontanus blieb in den 1460er Jahren unvollendet. Eine vollständige Übersetzung aus dem Griechischen von Bartolomeo Zamberti (oder Zamberto, 1473 bis nach 1543) konnte dann 1505 gedruckt werden. Aus dieser Zeit nach der Erfindung des Buchdrucks werden hier nur noch einige wichtige Werke hervorgehoben: die Übersetzung des Federicus Commandinus (1509–1575) aus dem Griechischen (1572), die ausführlich kommentierte Ausgabe von Christoph Clavius (1574) und die Oxford-Ausgabe der Werke Euklids von David Gregory 1703 (Griechisch/Lateinisch). All dies waren Übersetzungen ins Lateinische. Die erste Übersetzung in eine moderne westliche Sprache veröffentlichte Niccolò Tartaglia 1543. Die erste deutsche Übersetzung erschien 1555 (Johann Scheubel)[14] und Simon Marius veröffentlichte 1609 die erste deutsche Übersetzung (der ersten sechs Bücher) direkt aus dem Griechischen. Die erste englische Übersetzung erschien 1570 (Henry Billingsley),[15] die erste französische 1564 (Pierre Forcadel),[16] die erste spanische 1576 (Rodrigo Zamorano)[17] und die erste niederländische 1606 (Jan Pieterszoon Dou).[18] Die erste Übersetzung ins Chinesische (der ersten Teile) erfolgte von Xu Guangqi und Matteo Ricci (1607). In den volkstümlichen Ausgaben ab dem 16. Jahrhundert wurden allerdings häufig Vereinfachungen und Bearbeitungen vorgenommen, die Beweise durch Beispiele ersetzt und es wurden auch meist nicht alle Bücher der Elemente herausgegeben, sondern typischerweise nur die ersten sechs.
Die erste gedruckte Ausgabe des griechischen Textes (Editio Princeps) erfolgte bei Simon Grynaeus 1533 in Basel.
Bekannte Kommentare schrieben in der Antike Proklos und Theon von Alexandria, der in seiner Ausgabe der Elemente eigene Bearbeitungen vornahm.[19] Alle im Westen bekannten Ausgaben beruhten bis ins 19. Jahrhundert auf Text-Versionen, die von Theon und seiner Schule abstammten. Erst Johan Ludvig Heiberg rekonstruierte eine Originalfassung aufgrund einer Handschrift (Vaticanus Graecus 190), die nicht auf der Überlieferungslinie von Theon beruhte, und die François Peyrard unter den von Napoleon aus dem Vatikan beschlagnahmten Büchern entdeckte. Daraus veröffentlichte Peyrard 1804 und 1814–1818 eine französische Übersetzung, die in Deutschland von Johann Wilhelm Camerer und Karl Friedrich Hauber für ihre lateinisch-griechische Ausgabe der ersten sechs Bücher 1824/25 benutzt wurde. Nach der Ausgabe von Heiberg veröffentlichte Clemens Thaer eine deutsche Übersetzung (1933–1937).
1996 kritisierte Wilbur Richard Knorr Heibergs Textausgabe, die der griechischen Überlieferungslinie folgt und als Standardausgabe gilt, anhand der arabischen Überlieferungslinie (mit der sich Heiberg 1884 anlässlich der Untersuchungen zum arabischen Euklid von Martin Klamroth auseinandergesetzt hatte).[20]
Johan Ludvig Heiberg, Heinrich Menge (Hrsg.): Euclidis Opera Omnia. Leipzig, Teubner, ab 1888, Band 1–5 mit den Elementen (davon die Scholia in Band 5), neu herausgegeben bei Teubner 1969 bis 1977 als Euclidis Elementa (griechisch, lateinisch).
Euklid: Die Elemente. Bücher I–XIII. Hrsg. u. übers. v. Clemens Thaer. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt a. M. 2003 (= Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235, 236, 240, 241, 243). Die Übersetzung erschien zuerst 1933–1937. ISBN 3-8171-3413-4.
Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der „Elemente“ des Euklid (um 365–300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke 16. Jahrhundert. Textkritische Editionen des 17.–20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.–20. Jahrhundert). Nachdruck, hrsg. v. Menso Folkerts. Gerstenberg, Hildesheim 1981.
Benno Artmann: Euclid – The Creation of Mathematics. Springer, New York / Berlin / Heidelberg 1999, ISBN 0-387-98423-2 (englische Einführung in Aufbau und Beweistechnik der Elemente).
The thirteen books of Euclid’s elements. Hrsg. und übers. v. Thomas Heath, 3 Bände, Cambridge University Press 1908, Nachdruck Dover 1956 (englische Übersetzung mit ausführlichem Kommentar und Einleitung zu Euklid).
Max Simon: Euklid und die sechs planimetrischen Bücher. Teubner, Leipzig 1901 (Übersetzung der ersten sechs Bücher).
Martin Klamroth: Über den arabischen Euklid. In: Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft. Band 35, 1881, S. 270–326 (Online).
Benjamin Wardhaugh: Encounters with Euclid. How an Ancient Greek Geometry Text Shaped the World. Princeton University Press, 2021, ISBN 978-0-691-21169-5 (englische Hardcover Ausgabe als The Book of Wonders – The Many Lives of Euclid’s Elements, Harper Collins 2020).
deutsche Ausgabe: Begegnungen mit Euklid: Wie die »Elemente« die Welt veränderten. Harper Collins, Hamburg 2022, ISBN 978-3-7499-0209-5.
Isaac Todhunter: The Elements of Euclid for the Use of Schools and Colleges. Macmillan, London 1872 (englisch); Volltext (Wikisource).
↑Belegt wird die Bedeutung des Euklid und der Elemente unter anderem durch den Mathematiker und Philosophen Paul Lorenzen, der in der Einleitung seiner Elementargeometrie schreibt (S. 9):
„Euklid ist der berühmteste Geometer der Welt. Die Bibel und Euklids ‚Elemente‘ waren fast 2000 Jahre lang bei weitem die meistgelesenen Bücher. Was bei uns im Schülerjargon ‚Mathe‘ heißt, heißt im englischen Sprachraum immer noch ‚Euclid‘. Aber während sich die Leser des Alten Testaments zerstritten in Leser des Neuen Testaments und des Korans, hat Euklid das gleiche Interesse bei jüdischen, christlichen und islamischen Gelehrten behalten. Obwohl man von seinem Leben (um 300 ante in Alexandrien am Hof des ersten Ptolemäers) fast nichts weiß, gibt es seit der Spätantike lateinische, seit etwa 800 arabische Übersetzungen. In der Scholastik war die Übersetzung von Campanus (13. Jh. nach arabischer Vorlage) maßgebend – sie wurde 1482 gedruckt. Bis weit ins 19. Jahrhundert wurden die Elemente als Schulbuch gebraucht.“
↑In gleicher Weise äußert sich der Geometer und Mathematikhistoriker Howard Whitley Eves in An Introduction to the History of Mathematics (S. 115):
“[…] No work, except the Bible, has been more wideley used, edited or studied, and probably no work has exercised a greater influence on scientific thinking. Over a thousand editions of Euclid's Elements have appeared since the first one printed in 1482, and more than two millennia this work has dominated all teaching of geometry.”
↑Dirk W. Hoffmann: Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2013, ISBN 978-3-8274-2999-5, S.14: „Sein Werk bestand aus 13 Teilen, die wir heute als Kapitel bezeichnen würden und die bei Euklid Bücher heißen.“
↑Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik. 2. Auflage. Springer Spektrum, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-61394-8, S.144: „Die um 325 v. Chr. verfassten Elemente (Στοιχεῖα = Anfangsgründe) enthielten 13 Bücher, die später auf 15 Bücher erweitert wurden.“
↑Hubert L. L. Busard: The first latin translation of Euclid’s elements commonly ascribed to Adelhard of Bath. Toronto 1983. Es gibt drei verschiedene Versionen der Übersetzung von Adelhard (Marshall Clagett: The medieval latin translation from the Arabic of the Elements of Euclid with special emphasis on the versions of Adelhard of Bath. Isis, Band 44, 1953, S. 16–42).
↑Hubert L. L. Busard: The latin translation of the arabic version of Euclids Elements commonly ascribed to Gerard of Cremona. Brill, Leiden 1984.
↑John Murdoch: Euclides Graeco-Latinus: a hitherto unknown medieval latin translation of the Elements made directly from the Greek. Harvard Studies in Classical Philology, Band 61, 1966, S. 249–302.
↑Diese Übersetzung wurde von Hubert L. L. Busard herausgegeben: The medieval latin translation of Euclid’s elements made directly from the Greek. Steiner, Stuttgart 1987.
↑Scheubel: Das sibend, acht vnd neunt buch des hochberuembten Mathematici Euclidis Megarensis, Augsburg 1555, nach Ulrich Reich Scheubel, Johannas. Neue Deutsche Biographie 2005. Nach Thomas Heath war die erste deutsche Übersetzung 1558 in Basel die Übersetzung der Bücher 7 bis 9 durch Johann Scheubel, der schon 1550 eine griechisch-lateinische Ausgabe der ersten sechs Bücher herausgegeben hatte. Xylander gab 1562 eine deutsche Ausgabe der ersten sechs Bücher heraus, die aber für Praktiker bestimmt war und sich große Freiheiten herausnahm (Weglassen der Beweise u. a.).
↑Gesamtübersetzung. Sir Henry Billingsley (gestorben 1606) war ein wohlhabender Londoner Kaufmann, der 1596 Bürgermeister (Lord Mayor) Londons wurde.
↑Ein Schüler und Freund von Pierre de la Ramée und Professor für Mathematik am Collège Royale. Er übersetzte neun Bücher genauso wie Errard de Bar-le-Duc in der zweiten französischen Ausgabe 1604.
↑Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer Verlag, 2005, S. 249.
↑Er gab selbst darauf einen Hinweis in seinem Kommentar zum Almagest, wo er schrieb die letzte Proposition in Buch 6 seiner Version der Element stamme von ihm. Peyrard fiel in der Vatikan-Handschrift auf, das diese Proposition fehlte.
↑Knorr: The wrong text of Euclid. On Heiberg’s text and its alternatives. In: Centaurus. Band 38, 1996, S. 208–276
.jpg?lang=de)
