Dunkl-Operator

Der Dunkl-Operator ist ein Differential-Differenz-Operator aus der Lie-Theorie, der einer endlichen Reflexionsgruppe eines Wurzelsystems zugeordnet ist. Er wurde 1989 von dem amerikanischen Mathematiker Charles F. Dunkl eingeführt.^[1]

In der Stochastik untersucht man die Dunkl-Prozesse, die càdlàg Markow-Prozesse sind, deren infinitesimaler Generator eine Summe von Dunkl-Operatoren ist.

Dunkl-Operator

Wir betrachten $ℝ^{d}$ mit euklidischem Skalarprodukt $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ und Skalarproduktnorm $‖ \cdot ‖$ .

Sei

$R$ ein Wurzelsystem in $ℝ^{d}$ ,
$R_{+}$ ein positives Teilsystem von $R$ ,
$G$ die Spiegelungsgruppe von $R$ , d. h. die Gruppe, die durch die Spiegelungen ${σ_{α} ∣ α \in R}$ , definiert durch

σ_{α} (x) = x - 2 \frac{⟨ α, x ⟩}{‖ α ‖^{2}} α

,

erzeugt wird,

$k : R \to ℂ$ eine Multiplizitätsfunktion, d. h. eine Funktion auf dem Wurzelsystem, die invariant unter $G$ ist, d. h. $k (σ_{α} (x)) = k (x)$ . Die Menge aller Multiplizitätsfunktionen bezeichnen wir mit $K$ ,
$D_{ξ}$ die Richtungsableitung bezüglich eines Vektores $ξ \in ℝ^{d}$ .

Dunkl-Operator

Sei nun $ξ \in ℝ^{d}$ und $k \in K$ und $u \in C^{1} (ℝ^{d})$ . Der zugehörige Dunkl-Operator $T_{ξ} := T_{ξ, k}$ ist definiert durch^[2]

T_{ξ} u (x) = D_{ξ} u (x) + \sum_{α \in R_{+}} k (α) ⟨ α, ξ ⟩ \frac{u (x) - u (σ_{α} x)}{⟨ α, x ⟩} .

Da noch weitere Dunkl-Operatoren existieren, nennt man diesen auch rationaler Dunkl-Operator.

Eigenschaften

Für ein fixes $k \in K$ kommutiert der Dunkl-Operator, d. h für $u, v \in ℝ^{d}$ und $u, v \neq 0$ gilt^[3]

T_{u} T_{v} = T_{v} T_{u} .

Dunkl-Prozess

Für eine nichtnegative Multiplizitätsfunktion $k \in K$ und Standardvektoren $e_{1}, \dots, e_{d}$ definieren wir nun die Dunkl-Operatoren $T_{i} := T_{e_{i}}$ definiert für $u \in C^{1} (ℝ^{d})$ durch

T_{i} u (x) = \frac{\partial u (x)}{\partial x_{i}} + \sum_{α \in R_{+}} k (α) α_{i} \frac{u (x) - u (σ_{α} x)}{⟨ α, x ⟩} .

Der Dunkl-Laplace-Operator ist definiert als

Δ_{k} := \sum_{i = 1}^{d} T_{i}^{2} .

Der Dunkl-Prozess ist der Markow-Prozess $X = (X)_{t \geq 0}$ mit dem infinitesimalen Generator^[4]

L := \frac{1}{2} Δ_{k} .

Beispiel

Für $u \in C_{c}^{2} (ℝ^{d})$ , eine Multiplizitätsfunktion $k$ und einen Dunkl-Prozess $X$ lautet der infinitesimale Generator explizit

L u (x) = \frac{1}{2} Δ u (x) + \sum_{α \in R_{+}} k (α) [\frac{⟨ \nabla u (x), α ⟩}{⟨ α, x ⟩} + \frac{u (σ_{α} x) - u (x)}{⟨ α, x ⟩^{2}}],

wobei $Δ$ den gewöhnlichen Laplace-Operator auf $ℝ^{d}$ bezeichnet.^[4]

Literatur

Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022.
Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366.

Dunkl-Prozesse

Léonard Gallardo, Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133.
Margit Rösler, Michael Voit: Markov Processes Related with Dunkl Operators. In: Advances in Applied Mathematics. Band 21, Nr. 4, 1998, S. 575–643, doi:10.1006/aama.1998.0609 (sciencedirect.com).

Einzelnachweise

↑ Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022.
↑ Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366.
↑ Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 171, doi:10.2307/2001022 (Theorem 1.9).
1 2 Léonard Gallardo und Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133.

[1] Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022.

[2] Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366.

[3] Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 171, doi:10.2307/2001022 (Theorem 1.9).

[gallardoyor1-4] 1 2 Léonard Gallardo und Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133.

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