Doppeloperatorintegral

Doppeloperatorintegrale (DOI, englisch Double Operator Integrals) sind in der Funktionalanalysis und der Störungstheorie Integrale der Form

Q_{φ} := \int_{N} \int_{M} φ (x, y) d E (x) T d F (y),

wobei $T : G \to H$ ein beschränkter linearer Operator zwischen zwei separablen Hilberträumen ist,

E : (N, 𝒜) \to P (H),

F : (M, ℬ) \to P (G)

zwei Spektralmaße sind, wobei $P (H)$ hier für die Menge der orthogonalen Projektionen über $H$ steht, und $φ$ eine messbare skalarwertige Funktion ist, welche Symbol des DOI genannt wird. Die Integrale sind hier in Form von Stieltjes-Integralen zu verstehen.

DOI tauchten das erste Mal 1956 in einer Arbeit von Yuri L. Daletskii und Selim G. Krein auf, welche zwei selbstadjungierte Operatoren $A$ und $K$ auf Hilberträumen untersuchten (wobei $K$ die Perturbation von $A$ ist) und die Ableitung für bestimmte operatorwertige Funktionen

t \mapsto f (A + t K), f : ℝ \to ℂ

in folgender Form

\frac{d}{d t} (f (A + t K)) |_{t = 0} = \int_{ℝ} \int_{ℝ} \frac{f (x) - f (y)}{x - y} d E_{A} (x) K d E_{A} (y)

fanden, wobei hier $E_{A} (\cdot)$ das Spektralmaß von $A$ ist.^[1] Die Theorie der Doppeloperatorintegrale wurde im Wesentlichen von Michail Schljomowitsch Birman und Mikhail Zakharovich Solomyak in den späten 1960ern und 1970ern entwickelt.^[2]^[3] DOI können verwendet werden, um Normen von Operatoren-Differenzen

‖ f (A) - f (B) ‖

für operator-lipschitzstetige Funktionen $f$ abzuschätzen und sind dadurch wichtig in der Störungstheorie.

DOI sind Spezialfälle der Multipleoperatorintegralen^[4]

\int \dots \int φ (x_{1}, \dots, x_{n}) d E_{1} (x_{1}) T_{1} d E_{2} (x_{2}) T_{2} \dots T_{n - 1} d E_{n} (x_{n}) .

Doppeloperatorintegral

Die Definition des Integrales induziert direkt eine weitere Abbildung

Q_{φ} = J_{φ}^{E, F} T,

welche Transformator genannt wird.

Wie sich herausstellt, hängt die Definition solcher DOI sowie die Klasse der zulässigen Symbolen $φ$ von der Wahl der betrachteten Operatorenräumen ab. In der ursprünglichen Betrachtung von Birman-Solomyak wurde der Operator $T$ auf die Klasse der Hilbert-Schmidt-Operatoren $𝒮_{2}$ eingeschränkt. Die Definition kann aber auf weitere Schatten-von-Neumann-Klassen respektive auf allgemeine beschränkte Operatoren $T$ erweitert werden, so lange $Q_{φ}$ auch beschränkt bleibt.

Birman-Solomyak definierten nun folgendes Spektralproduktmaß $ℰ$ durch

ℰ (Λ \times Δ) T := E (Λ) T F (Δ), T \in 𝒮_{2},

für messbare Mengen $Λ \times Δ \subset N \times M$ , wo durch $Q_{φ}$ durch

Q_{φ} := (\int_{N \times M} φ (λ, μ) d ℰ (λ, μ)) T

für beschränkte und messbare Funktionen $φ$ definiert werden kann.

Anwendungsbeispiel aus der Störungstheorie

Wir betrachten nur einen Hilbertraum $H = G$ und zwei beschränkte, selbstadjungierte Operatoren $A, B$ auf $H$ . Sei nun $T := B - A$ und $f$ eine Funktion auf einer Menge, die die Spektra von $A, B$ enthält. Weiter sei $J_{f} := J_{f}^{E, F}$ der Transformator und $I$ der Identitätsoperator. Es gilt nach dem Spektralsatz $J_{λ} I = A$ und $J_{μ} I = B$ und $J_{μ - λ} I = T$ , daraus folgt

f (B) - f (A) = J_{f (μ) - f (λ)} I = J_{\frac{f (μ) - f (λ)}{μ - λ}} J_{μ - λ} I = J_{\frac{f (μ) - f (λ)}{μ - λ}} T = Q_{φ}

und somit

f (B) - f (A) = \int_{σ (A)} \int_{σ (B)} \frac{f (μ) - f (λ)}{μ - λ} (μ - λ) d E_{A} (λ) d F_{B} (μ) = \int_{σ (A)} \int_{σ (B)} \frac{f (μ) - f (λ)}{μ - λ} d E_{A} (λ) T d F_{B} (μ) .

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Literatur

M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 1, 1967, S. 25–54.
M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. II. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 2, 1968, S. 19–46.
Vladimir V. Peller: Multiple operator integrals in perturbation theory. In: Bull. Math. Sci. Band 6, 2016, S. 15–88, doi:10.1007/s13373-015-0073-y.
M. S. Birman und M. Solomyak: Lectures on Double Operator Integrals. 2002 (a mini-course given by the authors at the Mittag-Leffler Institute).

Einzelnachweise

↑ Y.L.Daletskii und S.G. Krein: Integration and differentiation of functions of Hermitian operators and application to the theory of perturbations. In: Staatliche Universität Woronesch (Hrsg.): Trudy Sem. po Funktsion. Analizu. Band 1, 1956, S. 81–105 (russisch).
↑ M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 1, 1967, S. 25–54.
↑ M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. II. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 2, 1968, S. 19–46.
↑ Vladimir V. Peller: Multiple operator integrals in perturbation theory. In: Bull. Math. Sci. Band 6, 2016, S. 15–88, doi:10.1007/s13373-015-0073-y.
↑ M. S. Birman und M. Solomyak: Double Operator Integrals in a Hilbert Space. In: Integr. equ. oper. theory. Band 47, 2003, S. 136–137, doi:10.1007/s00020-003-1157-8.
↑ M. S. Birman und M. Solomyak: Lectures on Double Operator Integrals. 2002 (a mini-course given by the authors at the Mittag-Leffler Institute).

[1] Y.L.Daletskii und S.G. Krein: Integration and differentiation of functions of Hermitian operators and application to the theory of perturbations. In: Staatliche Universität Woronesch (Hrsg.): Trudy Sem. po Funktsion. Analizu. Band 1, 1956, S. 81–105 (russisch).

[2] M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 1, 1967, S. 25–54.

[3] M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. II. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 2, 1968, S. 19–46.

[4] Vladimir V. Peller: Multiple operator integrals in perturbation theory. In: Bull. Math. Sci. Band 6, 2016, S. 15–88, doi:10.1007/s13373-015-0073-y.

[5] M. S. Birman und M. Solomyak: Double Operator Integrals in a Hilbert Space. In: Integr. equ. oper. theory. Band 47, 2003, S. 136–137, doi:10.1007/s00020-003-1157-8.

[6] M. S. Birman und M. Solomyak: Lectures on Double Operator Integrals. 2002 (a mini-course given by the authors at the Mittag-Leffler Institute).

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