RP (Komplexitätsklasse)

RP (englisch randomized polynomial time, manchmal auch nur mit R bezeichnet) bezeichnet die Klasse der Entscheidungsprobleme, für die es einen randomisierten Algorithmus mit polynomieller Laufzeit gibt, der jede nicht zu akzeptierende Eingabe mit Wahrscheinlichkeit 1 ablehnt und für jede zu akzeptierende Eingabe eine Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens 1/2 hat. Die Verwendung einer beliebigen anderen konstanten Fehlerschranke kleiner als 1 ändert nichts an der Definition der Klasse RP, durch mehrmalige Anwendung eines gegebenen RP-Algorithmus lässt sich jede beliebige Fehlerschranke erreichen.

Dieser Fehlertyp wird als einseitiger Fehler (one-sided error) bezeichnet, im Gegensatz zu dem zweiseitigen Fehler (two-sided error) bei der Komplexitätsklasse BPP.

Sie wurde 1977 mit anderen probabilistischen Komplexitätsklassen von John T. Gill eingeführt.

Definition

Eine Sprache $ℒ$ liegt genau dann in der Komplexitätsklasse $ℛ 𝒫$ , wenn eine probabilistische Turingmaschine $M$ existiert, für die gilt:

$M$ läuft für alle Eingaben in polynomieller Zeit
$x \in ℒ \Rightarrow P r [M (x) = 1] \geq \frac{1}{2}$
$x \notin ℒ \Rightarrow P r [M (x) = 0] = 1$

Die Konstante 1/2 ist willkürlich gewählt. Jede beliebige Konstante echt größer als 0 und weniger als 1 führt zu einer äquivalenten Definition.^[1]

Im Gegensatz zur Komplexitätsklasse ZPP wird hier gefordert, dass die Laufzeit der Turingmaschine $M$ für alle Eingaben polynomiell ist. Diese Forderung kann abgeschwächt werden, so dass wie bei ZPP nur noch gefordert wird, dass der Erwartungswert der Laufzeit durch ein Polynom beschränkt ist; die beiden Definitionen sind äquivalent.^[1]

Eigenschaften

RP ist abgeschlossen unter Vereinigung und Schnitt.^[2] Das bedeutet, dass für zwei Sprachen $L_{1}, L_{2} \in ℛ 𝒫$ auch $L_{1} \cup L_{2}, L_{1} \cap L_{2} \in ℛ 𝒫$ . Es ist unbekannt, ob RP unter Komplementbildung abgeschlossen ist, die Komplementklasse von RP ist die Komplexitätsklasse co-RP.

Es ist kein RP-vollständiges Problem bekannt und es gibt Hinweise darauf, dass es keine RP-vollständigen Probleme gibt.^[3]

Beziehung zu anderen Komplexitätsklassen

Sowohl RP als auch co-RP liegen zwischen den Klassen ZPP (= RP $\cap$ co-RP) und BPP, es gilt also ZPP ⊆ RP ⊆ BPP und ZPP ⊆ co-RP ⊆ BPP.^[2]

Außerdem gilt RP ⊆ NP und co-RP ⊆ co-NP.^[2]

Wenn NP ⊆ BPP, dann gilt sogar NP = RP.^[4]

Einzelnachweise

1 2 Sanjeev Arora und Boaz Barak: Computational Complexity: A Modern Approach. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-42426-4, S. 133.
1 2 3 Daniel Pierre Bovet und Pierluigi Crescenzi: Introduction to the Theory of Complexity. Prentice Hall, 1994, ISBN 0-13-915380-2, S. 195.
↑ Daniel Pierre Bovet und Pierluigi Crescenzi: Introduction to the Theory of Complexity. Prentice Hall, 1994, ISBN 0-13-915380-2, S. 198,202.
↑ Johannes Köbler, Uwe Schöning, Jacobo Torán: The Graph Isomorphism Problem - It's Structural Complexity. Birkhäuser, 1993, ISBN 3-7643-3680-3, S. 73.

Literatur

Ingo Wegener: Komplexitätstheorie (S. 31–34) ISBN 3-540-00161-1
Köbler, Schöning, Toran: The Graph Isomorphism Problem - It's Structural Complexity (S. 68 ff.) - ISBN 3-7643-3680-3

Weblinks

RP. In: Complexity Zoo. (englisch)

[AB133-1] 1 2 Sanjeev Arora und Boaz Barak: Computational Complexity: A Modern Approach. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-42426-4, S. 133.

[BoCr195-2] 1 2 3 Daniel Pierre Bovet und Pierluigi Crescenzi: Introduction to the Theory of Complexity. Prentice Hall, 1994, ISBN 0-13-915380-2, S. 195.

[BoCr198-3] Daniel Pierre Bovet und Pierluigi Crescenzi: Introduction to the Theory of Complexity. Prentice Hall, 1994, ISBN 0-13-915380-2, S. 198,202.

[KST73-4] Johannes Köbler, Uwe Schöning, Jacobo Torán: The Graph Isomorphism Problem - It's Structural Complexity. Birkhäuser, 1993, ISBN 3-7643-3680-3, S. 73.

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