Cisinski-Modellstruktur

Eine Cisinski-Modellstruktur ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine spezielle Art von Modellstruktur auf Topoi. In der homotopischen Algebra ist dabei insbesondere die Kategorie der simplizialen Mengen von Interesse. Cisinski-Modellstrukturen sind benannt nach Denis-Charles Cisinski, der diese im Jahr 2001 eingeführt hat. Dabei baut seine Arbeit auf noch unvollständigen Ideen von Alexander Grothendieck und seinem Skript Pursuing Stacks aus dem Jahr 1983 auf.

Definition

Eine kofasernd erzeugte Modellstruktur auf einem Topos, deren Kofaserungen genau die Monomorphismen sind, wird Cisinski-Modellstruktur genannt. Kofasernd erzeugt bedeutet dabei, dass zwei kleine Mengen $I$ und $J$ an Morphismen existieren, mit welchen alle Kofaserungen und trivialen Kofaserungen über die Hochhebungseigenschaft erzeugt werden:

$\operatorname {Cofib} ={}^{\perp }(I^{\perp });$

$W\cap \operatorname {Cofib} ={}^{\perp }(J^{\perp });$

Generell wird eine die Klasse aller Monomorphismen auf einer Kategorie an Prägarben erzeugende kleine Menge als zelluläres Modell bezeichnet:

$\operatorname {Mono} ={}^{\perp }(I^{\perp }).$

Für jeden Topos existiert ein zelluläres Modell.

Beispiele

• Joyal-Modellstruktur: Kofaserungen werden erzeugt von Randinklusionen $\partial \Delta ^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ und triviale Kofaserungen (also innere anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von inneren Horninklusionen $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ (mit $n\geq 2$ und $0<k<n$).
• Kan-Quillen-Modellstruktur: Kofaserungen werden erzeugt von Randinklusionen $\partial \Delta ^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ und triviale Kofaserungen (hier anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von Horninklusionen $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ (mit $n\geq 2$ und $0\leq k\leq n$).

Literatur

• Denis-Charles Cisinski: Théories homotopiques dans les topos. In: sciencedirect.com. 2001, abgerufen am 13. Oktober 2024 (französisch). 
• Georges Maltsiniotis: La théorie de l'homotopie de Grothendieck. (deutsch: Grothendieck's homotopy theory). In: Astérisque. 301. Jahrgang, 2005 (französisch, jussieu.fr [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie. (deutsch: Presheaves as models for homotopy types). 2006, ISBN 978-2-85629-225-9 (französisch, univ-toulouse.fr [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Weblinks

• Cisinksi model structure auf nLab (englisch)