Chudnovsky-Algorithmus

Der Chudnovsky-Algorithmus ist eine von den Chudnovsky-Brüdern im Jahre 1988^[1] entwickelte iterative Methode zur Berechnung beliebig vieler Nachkommastellen der Kreiszahl π. Jede Iteration liefert durchschnittlich 14.1816 weitere Dezimalstellen.^[2] Der Algorithmus basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:^[3]

\frac{1}{π} = 12 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} (6 k)! (545140134 k + 13591409)}{(3 k)! (k!)^{3} 64032 0^{3 k + 3 / 2}} .

Dieser Algorithmus wurde seitdem für die meisten Weltrekordberechnungen eingesetzt, siehe Rekorde der Berechnung von π.

Entwicklung

Heegner-Punkte können dabei helfen, sehr schnell konvergente Reihen zu finden, die gegen die Kreiszahl $π$ konvergieren. Vorläufer solcher Reihentypen waren schon von Srinivasa Ramanujan zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckt worden. Die Brüder David und Gregory Chudnovsky nutzten schließlich die Punkte $τ = \frac{1 + i \sqrt{n}}{2}$ mit natürlichen Zahlen $n$ , um die Arbeiten von Ramanujan weiterzuführen. Dabei fanden sie eine für die j-Funktion $j (τ) := 1728 J (τ)$ und all diese Heegner-Punkte gültige Reihenidentität

\sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{6} (1 - s_{2} (τ)) + k) \frac{(6 k)!}{(3 k)! (k!)^{3}} \frac{1}{j (τ)^{k}} = \frac{\sqrt{- J (τ)}}{π} \frac{1}{\sqrt{n (1 - J (τ))}},

die den durch Eisensteinreihen definierten Term

s_{2} (τ) = \frac{E_{4} (τ)}{E_{6} (τ)} (E_{2} (τ) - \frac{3}{π I m (τ)})

beinhaltet.^[4] Dabei bezeichnet $k!$ die Fakultät von $k$ . Daraus konnte nach Einsetzen des Heegner-Punkts $τ = \frac{1 + i \sqrt{163}}{2}$ der Chudnovsky-Algorithmus entwickelt werden, mit Hilfe dessen die Kreiszahl $π$ extrem schnell auf viele Nachkommastellen berechnet werden kann. Er nutzt aus, dass der Wert $j (\frac{1 + i \sqrt{163}}{2})$ ganzzahlig ist. Über die Methoden, wie man $j (τ)$ allgemein berechnet, kann man bereits diese und weitere Kuriositäten beobachten. Man weiß wegen der Fourier-Entwicklung $j (τ) = e^{- 2 π i τ} + 744 + 196 884 e^{2 π i τ} + \dots$ , dass für Werte $τ$ mit größerem Imaginärteil die Zahl $j (τ)$ bereits sehr nahe an $e^{- 2 π i τ} + 744$ liegt. In der Tat findet man^[5]

e^{π \sqrt{163}} = 262 537 412 640 768 743, 999 999 999 999 250 \dots .

Ein ausführlicher Beweis dieser Formel findet sich hier:^[6]

Diese ist ähnlich der Ramanujan-Formel zur Ermittlung von π^[3] und ist ein Beispiel der Ramanujan-Sato-Reihen.

Einzelnachweise

↑ David Chudnovsky, Gregory Chudnovsky: Approximation and complex multiplication according to Ramanujan. In: Ramanujan revisited: proceedings of the centenary conference. 1988.
↑ FH Graubünden: Algorithmus, Informationen über die Weltrekordberechnung 2021, abgerufen am 26. März 2022
1 2 Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for 1/π: a survey. In: American Mathematical Monthly. Band 116, Nr. 7, 2009, S. 567–587, doi:10.4169/193009709X458555, JSTOR:40391165.
↑ Nayandeep Deka Baruah, Bruce Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for $1 / π$ : A survey. Mathematics Student, S. 576.
↑ Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms. Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, S. 73.
↑ Lorenz Milla: Ein ausführlicher Beweis der Chudnovsky-Formel mit elementarer Funktionentheorie. 2018, arxiv:1809.00533.

[1] David Chudnovsky, Gregory Chudnovsky: Approximation and complex multiplication according to Ramanujan. In: Ramanujan revisited: proceedings of the centenary conference. 1988.

[2] FH Graubünden: Algorithmus, Informationen über die Weltrekordberechnung 2021, abgerufen am 26. März 2022

[baruah-3] 1 2 Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for 1/π: a survey. In: American Mathematical Monthly. Band 116, Nr. 7, 2009, S. 567–587, doi:10.4169/193009709X458555, JSTOR:40391165.

[4] Nayandeep Deka Baruah, Bruce Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for $1 / π$ : A survey. Mathematics Student, S. 576.

[Bruinier_73-5] Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms. Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, S. 73.

[6] Lorenz Milla: Ein ausführlicher Beweis der Chudnovsky-Formel mit elementarer Funktionentheorie. 2018, arxiv:1809.00533.

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