Breit-Rabi-Formel

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)^[1]) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale)^[2] in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich $B \approx 0,05 T$ entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin $I$ und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses $m_{F}$ , jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls $J = \frac{1}{2}$ . Sie lautet:^[3]^[4]

W_{I \pm \frac{1}{2}, m_{F}} = - \frac{A}{4} + g_{I} m_{F} μ_{K} B \pm \frac{A (2 I + 1)}{4} \sqrt{1 + \frac{8 m_{F} (g_{J} μ_{B} - g_{I} μ_{K})}{(2 I + 1)^{2} A} B + {(2 \frac{g_{J} μ_{B} - g_{I} μ_{K}}{A (2 I + 1)} B)}^{2}}

Dabei ist $A$ die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, $μ_{B}$ das Bohrsche und $μ_{K}$ das Kernmagneton. $g_{J}$ und $g_{I}$ sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses $J$ bzw. Kernspins $I$ .

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten der reduzierten Planck-Konstante $ℏ$ entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin $I = \frac{| \vec{I} |}{ℏ} = \frac{1}{2}$ . Das einzige Elektron hat im Grundzustand ( $l = 0$ ) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls $J = \frac{| \vec{J} |}{ℏ} = \frac{1}{2}$ ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls $\vec{F} = \vec{I} + \vec{J}$ . Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von $J$ und $I$ stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:^[5]

{\hat{H}}_{H F S} = A \frac{\vec{I} \cdot \vec{J}}{ℏ^{2}} + (g_{J} μ_{B} \frac{J_{z}}{ℏ} - g_{I} μ_{K} \frac{I_{z}}{ℏ}) B

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis $| J I F m_{F} ⟩$ diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses $\vec{F}$ auf die Richtung des Magnetfeldes $m_{F} = m_{J} + m_{I}$ (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

A \frac{\vec{I} \cdot \vec{J}}{ℏ^{2}} = \frac{A}{2} (F (F + 1) - I (I + 1) - J (J + 1))

Die $z$ -Komponenten $I_{z}$ und $J_{z}$ lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als $(F | m_{F})$ zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit $m_{F} = 0$ , die mischen.

\frac{⟨ J I F^{'} {m_{F}}^{'} | J_{z} | J I F m_{F} ⟩}{ℏ} = (\begin{matrix} (0 | 0) & (1 | - 1) & (1 | 0) & (1 | 1) \\ (0 | 0) & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ (1 | - 1) & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (1 | 0) & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ (1 | 1) & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix})

Analog folgt für die $z$ -Komponente des Kernspins:

\frac{⟨ J I F^{'} {m_{F}}^{'} | I_{z} | J I F m_{F} ⟩}{ℏ} = (\begin{matrix} (0 | 0) & (1 | - 1) & (1 | 0) & (1 | 1) \\ (0 | 0) & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ (1 | - 1) & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (1 | 0) & - \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ (1 | 1) & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix})

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt $I = J = \frac{1}{2}$ sowie $g_{J} \approx 2$ für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:^[6]

{\hat{H}}_{H F S} = (\begin{matrix} (0 | 0) & (1 | - 1) & (1 | 0) & (1 | 1) \\ (0 | 0) & - \frac{3 A}{4} & 0 & (μ_{B} + \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B & 0 \\ (1 | - 1) & 0 & \frac{A}{4} - (μ_{B} - \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B & 0 & 0 \\ (1 | 0) & (μ_{B} + \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B & 0 & \frac{A}{4} & 0 \\ (1 | 1) & 0 & 0 & 0 & \frac{A}{4} + (μ_{B} - \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B \end{matrix})

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in $μ_{K}$ für allgemeine Werte für $I, F$ und $m_{F}$ gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

Einzelnachweise

↑ Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082–2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2.
↑ Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.
↑ Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.
↑ Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, 2015, S. 762.
↑ Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.
↑ Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.

[1] Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082–2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2.

[2] Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.

[3] Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.

[4] Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, 2015, S. 762.

[5] Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.

[6] Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.

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