Antidiagonalmatrix

Als Antidiagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Gegendiagonale Null sind. Sie ist also von der Form

$A={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&q_{n}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&q_{n-1}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\q_{1}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$.

Formale Definition

Eine $n\times n$-Matrix $A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}$ heißt antidiagonal, wenn für alle $i,j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}$ mit $i+j\not =n+1$ der $(i,j)$-Eintrag Null ist:

$i+j\not =n+1\Rightarrow a_{ij}=0$.

Beispiel

Ein Beispiel einer Antidiagonalmatrix ist

${\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{pmatrix}}$.

Eigenschaften

Die Determinante von

$A={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&q_{n}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&q_{n-1}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\q_{1}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

ist

$\det(A)=(-1)^{n \choose 2}q_{1}q_{2}\ldots q_{n}.$

Falls alle $q_{i}$ von Null verschieden sind, dann ist $A$ invertierbar und die zu $A$ inverse Matrix ist

$A^{-1}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&{\frac {1}{q_{_{1}}}}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&{\frac {1}{q_{_{2}}}}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\{\frac {1}{q_{n}}}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$-

Das Produkt zweier Antidiagonalmatrizen ist eine Diagonalmatrix. Das Produkt einer Antidiagonalmatrix mit einer Diagonalmatrix (oder umgekehrt) ist eine Antidiagonalmatrix.

Antidiagonalmatrizen sind persymmetrisch.