Additivität

Unter Additivität (von lateinisch addere „hinzufügen“) versteht man in der Mathematik die Eigenschaft, dass das Ganze gleich der Summe seiner Teile ist. Die Grundidee dieses Prinzips besagt, dass sich ein Gesamtergebnis durch die Addition von Teilergebnissen berechnen lässt. Der Begriff wird in verschiedenen mathematischen Teilgebieten und Zusammenhängen verwendet und dort jeweils präzise definiert. Die Gegenstücke zur Additivität sind die Subadditivität und die Superadditivität, bei denen das Gesamtergebnis kleiner bzw. größer als die Summe der Teilergebnisse ist.

Additive Funktionen (Analysis / Lineare Algebra)

Definitionen

Ist $M$ eine Halbgruppe mit der Verknüpfung $+$, so heißt eine Abbildung $f\colon M\to \mathbb {R}$ additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

erfüllt. Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von $\mathbb {Z}$-Linearität.

Die Abbildung heißt subadditiv, wenn für alle $x$ und $y$ aus $M$ gilt:

$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle $x$ und $y$ aus $M$ gilt:

$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$.

Beispiele

• Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.
• Sublineare Funktionen sind per Definition subadditiv.
• Lineare Abbildungen sind per Definition additiv.

Eigenschaften

• Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
• Ist $f$ eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ von Elementen aus $M$:

$f(x_{1}+\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\dotsb +f(x_{n})$

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Additive Funktionen (Zahlentheorie)

Bei zahlentheoretischen Funktionen $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$ betrachtet man als Verknüpfung auf $\mathbb {N}$ die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

$f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$

für alle teilerfremden $x$ und $y\in \mathbb {N}$ gilt. Trifft dies sogar ohne die Einschränkung „teilerfremd“ (also für alle natürlichen Zahlen $x$ und $y$), so heißt die Funktion streng additiv.

Additivität in der Maßtheorie

Endliche Additivität

In der Maßtheorie heißt eine Mengenabbildung $\mu$ endlich additiv, wenn für je zwei disjunkte Teilmengen $A$ und $B$ eines Mengensystems gilt:

$\mu \left(A\cap B\right)=\mu (A)+\mu (B).$

Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, dass für endlich viele paarweise disjunkte Teilmengen $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ gilt:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}),$

was gelegentlich auch zur Definition der endlichen Additivität dient.

σ-Additivität

→ Hauptartikel: σ-Additivität

Verlangt man, dass die Additivität nicht nur für endlich viele disjunkte Teilmengen des Mengensystems gilt, sondern sogar für abzählbar viele disjunkte Teilmengen, so heißt die Mengenfunktion σ-additiv („sigma-additiv“) oder abzählbar additiv. Die σ-Additivität einer Mengenfunktion $\mu$ bedeutet also, dass für paarweise disjunkte Mengen $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ stets gilt, dass

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$

Die σ-Additivität enthält die endliche Additivität als Spezialfall und hat eine grundlegende Bedeutung für den modernen axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie der Maß- und Integrationstheorie.

Subadditivität und Superadditivität

→ Hauptartikel: σ-Subadditivität

Eine Mengenfunktion $\mu$ heißt endlich subadditiv, wenn für je endlich viele Mengen $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ gilt:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})$.

Auf analoge Weise ist die Superadditivität einer Mengenfunktion definiert. Jedoch wird hier wie bei der σ-Additivität verlangt, dass die Mengen $A_{i}$ paarweise disjunkt sind. Eine Mengenfunktion $\mu$ heißt demnach endlich superadditiv, wenn für je endlich viele paarweise disjunkte Mengen $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ gilt:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})$

und σ-superadditiv, wenn diese Eigenschaft für abzählbare vielen paarweise disjunkte Mengen $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ gilt.