„Schauderbasis“ – Versionsunterschied
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* In einem endlich-dimensionalen normierten Vektorraum bildet jede [[Basis (Vektorraum)|Basis des Vektorraums]] auch eine Schauderbasis. |
* In einem endlich-dimensionalen normierten Vektorraum bildet jede [[Basis (Vektorraum)|Basis des Vektorraums]] auch eine Schauderbasis und umgekehrt jede Schauderbasis auch eine Basis des Vektorraums. |
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* Im Raum <math>\ell^p := \left\{ (x_j)_{j=1}^\infty, x_j \in \mathbb{R} \,:\, \sum_{j=1}^\infty |x_j|^p < \infty \right\}</math> bilden für <math>1 \leq p < \infty</math> die Einheitsvektoren <math>(1, 0, 0, \dots), (0,1,0,0, \dots), \dots</math> eine Schauderbasis. |
* Im Raum <math>\ell^p := \left\{ (x_j)_{j=1}^\infty, x_j \in \mathbb{R} \,:\, \sum_{j=1}^\infty |x_j|^p < \infty \right\}</math> mit der Norm <math>\left\| x \right\| = \sqrt[p]{\sum_{j=1}^\infty |x_j|^p} </math> bilden für <math>1 \leq p < \infty</math> die Einheitsvektoren <math>(1, 0, 0, \dots), (0,1,0,0, \dots), \dots</math> eine Schauderbasis. |
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== Eigenschaften == |
== Eigenschaften == |
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* Ein Banachraum, der eine Schauderbasis besitzt, ist [[Separabel (Topologie)|separabel]]. |
* Ein Banachraum, der eine Schauderbasis besitzt, ist [[Separabel (Topologie)|separabel]]. |
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* Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis.<ref>P. Enflo, 1973</ref> |
* Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis.<ref>P. Enflo, 1973</ref> |
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* In unendlich-dimensionalen Banachräumen ist eine Schauderbasis nie Basis des Vektorraums. |
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* Die Darstellung eines Elements <math>x \in X</math> bezüglich einer Schauderbasis ist eindeutig, die Zuordnungen <math>b_n^\ast : x \mapsto \xi_n</math> werden als ''Koeffizientenfunktionale'' bezeichnet und sind Elemente des [[Dualraum]]s von <math>X</math>. |
* Die Darstellung eines Elements <math>x \in X</math> bezüglich einer Schauderbasis ist eindeutig, die Zuordnungen <math>b_n^\ast : x \mapsto \xi_n</math> werden als ''Koeffizientenfunktionale'' bezeichnet und sind Elemente des [[Dualraum]]s von <math>X</math>. |
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