비트 환

이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, 영어: Witt ring)은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.

정의

비트 분해

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$ 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.^[1]^{:12, Theorem 4.1}

(V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})

여기서 각 성분은 다음과 같다.

$(V_{0},0)$ 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
$(V_{1},Q_{1})$ 은 비등방성 이차 공간(영어: anisotropic quadratic space)이다. 즉, $V_{1}$ 속에서 $Q_{1}(v)=0$ 인 벡터 $v\in V_{1}$ 은 $v=0$ 뿐이다. 특히, $Q_{1}$ 은 비퇴화 이차 형식이다.
$(V_{2},Q_{2})$ 는 분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, $Q_{2}$ 는 비퇴화 이차 형식이며, $\dim _{K}V_{2}=2n$ 는 짝수이며, $V_{2}$ 속에서 $Q_{2}|_{W}=0$ 인 $n$ 차원 부분 공간 $W\subseteq V_{2}$ 이 존재한다.

이 경우 $(V_{1},Q_{1})$ 을 $(V,Q)$ 의 핵심(核心, 영어: core)이라고 한다. 또한, $\dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})$ 를 $Q$ 의 계수(階數, 영어: rank)라고 하며, $(\dim _{K}V_{2})/2$ 를 $Q$ 의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.^[2]^:58 만약 $Q$ 가 비퇴화 이차 형식이라면, $Q|_{W}=0$ 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

비트 환

같은 체 위의 두 이차 공간 $(V,Q)$ , $(V',Q')$ 의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 $\operatorname {Witt} (K)$ 을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.

$(V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')$ . $\oplus$ 는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
$-(V,Q)=(V,-Q)$
$0=(K^{0},0)$ . 여기서 $K^{0}$ 는 $K$ 위의 0차원 벡터 공간이다.
$(V,Q)\cdot (V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')$ . $\otimes$ 는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
$1=(K^{1},x\mapsto x^{2})$

이 가환환을 $K$ 의 비트 환이라고 한다.

비트-그로텐디크 환

가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$ 와 가환 반환의 범주 $\operatorname {CSemiring}$ 사이의 포함 함자

\operatorname {CRing} \to \operatorname {CSemiring}

는 왼쪽 수반 함자

F\colon \operatorname {CSemiring} \to \operatorname {CRing}

를 갖는다. 구체적으로, 이 함자는 다음과 같다.

가환 반환 $(S,+,\cdot ,0,1)$ 에 대하여,
$F(S)=\mathbb {Z} [(x_{s})_{s\in S}]/(\{x_{s+t}-x_{s}-x_{t},x_{st}-x_{s}x_{t},x_{1}-1\colon s,t\in S\})$
가환 반환 $S$ , $T$ 및 반환 준동형 $f\colon S\to T$ 에 대하여,
$F(f)\colon [x_{s}]\mapsto [x_{f(s)}]$

가환 반환의 덧셈 가환 모노이드가 소거 가환 모노이드라면, 대신 다음과 같은 구성을 사용할 수 있다. (이 구성에서, $\sim$ 이 동치 관계라는 사실의 증명은 소거 법칙을 사용한다.)

소거 가환 반환 $S$ 에 대하여,
$F(S)=(S\times S)/\sim$

$(s,t)\sim (s',t')\iff s+t'=t+s'$

$s-t\mathrel {\overset {\operatorname {def} }{=}} [(s,t)]_{\sim }$

$(s-t)+(s'-t')=(s+s')-(t+t')$

$(s-t)\cdot (s'-t')=(ss'+tt')-(st'+ts')$
두 소거 가환 반환 $S$ , $T$ 사이의 반환 준동형 $f\colon S\to T$ 에 대하여,
$F(f)\colon s-t\mapsto f(s)-f(t)$

자연스러운 반환 준동형

S\to F(S)

s\mapsto [x_{s}]

이 존재한다. 만약 $S$ 의 덧셈 가환 모노이드가 소거 모노이드라면, 이는 단사 함수이며, 다음과 같이 적을 수 있다.

s\mapsto s-0

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 동형류들의 집합 $\operatorname {QForm} (K)$ 을 생각하자. 이 위에 다음과 같은 연산을 부여하면, 가환 반환을 이룬다.

$(V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')$
$0=(K^{0},0)$
$(V,Q)\cdot (V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')$
$1=(K^{1},x\mapsto x^{2})$

또한, 비트 소거 정리에 따라 $\operatorname {QForm} (K)$ 의 덧셈 가환 모노이드는 소거 모노이드이다. 따라서, $\operatorname {WG} (K)=F(\operatorname {QForm} (K))$ 는 가환환이며, $\operatorname {QForm} (K)$ 를 부분환으로 포함한다. 이를 $K$ 의 비트-그로텐디크 환이라고 한다.

비트-그로텐디크 환과 비트 환 사이에 전사 환 준동형

\operatorname {WG} (K)\to \operatorname {Witt} (K)

(V,Q)\mapsto (V_{1},Q_{1})

이 존재한다. 이 전사 환 준동형의 핵은 분해 이차 공간들과 그 덧셈 역원들로 구성된 아이디얼이다.

성질

함자성

$\operatorname {Field} _{\operatorname {char} \neq 2}$ 가 표수가 2가 아닌 체와 체의 확대의 범주라고 하자. 그렇다면, 비트 환과 비트-그로텐디크 환은 함자

\operatorname {Witt} \colon \operatorname {Field} _{\operatorname {char} \neq 2}\to \operatorname {CRing}

\operatorname {WG} \colon \operatorname {Field} _{\operatorname {char} \neq 2}\to \operatorname {CRing}

를 이룬다. 구체적으로, 체의 확대 $L/K$ 에 대응하는 환 준동형

\operatorname {Witt} (K)\to \operatorname {Witt} (L)

\operatorname {WG} (K)\to \operatorname {WG} (L)

은 다음과 같다.

(V,Q)\mapsto (L\otimes _{K}V,(x\mapsto x^{2})\otimes _{K}Q)

여기서, $(L\otimes _{K}V,(x\mapsto x^{2})\otimes _{K}Q)$ 는 $K$ 위의 이차 공간이지만, $L\otimes _{K}V$ 위에 $L$ -벡터 공간 구조

a\cdot (a'\otimes _{K}v)=(aa')\otimes _{K}v\qquad (a,a'\in L,\;v\in V)

를 부여하면 $L$ 위의 이차 공간을 이룬다. 이 환 준동형에서, 분해 이차 공간의 상은 분해 이차 공간이며, 따라서 이는 비트 환 사이에서도 잘 정의된다.

계수와 행렬식

같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형

(\dim {\bmod {2}})\colon \dim \colon \operatorname {Witt} (K)\to \mathbb {Z} /(2)

을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 $\mathbb {Z} /2$ -등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 ${\mathfrak {i}}(K)=\ker(\dim {\bmod {2}})\subseteq \operatorname {Witt} (K)$ 을 비트 환의 기본 아이디얼(영어: fundamental ideal)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 $Q$ 의 행렬식(영어: determinant) 또는 판별식(영어: discriminant) $\det Q\in K^{\times }/(K^{\times })^{2}$ 은 $Q$ 를 나타내는 대칭 행렬 $Q(x)=x^{\top }Mx$ 의 행렬식 $\det M$ 의 $K^{\times }/(K^{\times })^{2}$ 에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 $A$ 를 통해 바꾼다면

AM'A=M

(\det M')(\det A)^{2}=\det M

가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 $K^{\times }/(K^{\times })^{2}$ 의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 $K$ 에 대하여, 다음과 같은 가환환 $\operatorname {GrQExt} (K)$ 를 정의하자.

\operatorname {GrQExt} (K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^{\times }/(K^{\times })^{2},\;e\in \mathbb {Z} /(2)\right\}

(d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd',e+e'\right)

(d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^{ee'},ee')

즉, $\operatorname {GrQExt} (K)$ 의 원소는 $K$ 의 $\mathbb {Z} /(2)$ -등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.^[1]^:113

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

\operatorname {Witt} (K)\to \operatorname {GrQExt} (K)

(V,Q)\mapsto \left((-1)^{(\dim _{K}V)(\dim _{K}V-1)/2}\det Q,\dim _{K}V{\bmod {2}}\right)

이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.^[3]^:12

하세-비트 불변량

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간 $V$ 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 $Q=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ 가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) $\left({\tfrac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)$ 들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 $\operatorname {Br} (K)$ 의 원소들의 대표원들을 이룬다. $Q$ 의 하세-비트 불변량(영어: Hasse–Witt invariant)은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.

\epsilon (V,Q)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[\left({\frac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)\right]\in \operatorname {Br} (K)

이는 $Q$ 의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

밀너 환과의 관계

표수가 2가 아닌 체 $K$ 의 비트 환 $\operatorname {Witt} (K)$ 의 기본 아이디얼 ${\mathfrak {i}}(K)\subseteq \operatorname {Witt} (K)$ 의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

\operatorname {Witt} (K)={\mathfrak {i}}(K)^{0}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{1}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{2}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{3}\supseteq \cdots

이에 대응되는 $\mathbb {N}$ -등급환

R(K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}(K)

R_{n}(K)={\mathfrak {i}}(K)^{n}/{\mathfrak {i}}(K)^{n+1}

을 정의할 수 있다.

체 $K$ 위의 피스터 이차 형식(영어: Pfister quadratic form)은 다음과 같은 꼴의, $2^{n}$ 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

\operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})

$i(K)^{n}$ 의 원소들은 모두 유한 개의 $2^{n}$ 차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.^[1]^:316

체 $K$ 의 밀너 환

\operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)={\frac {\operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}{(a\otimes (1-a))_{a\in K\setminus \{0,1\}}}}

의 원소를 $\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\in \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)$ 로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

\operatorname {K} _{\bullet }^{\operatorname {M} }(K)\to R_{\bullet }(K)

\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\mapsto \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})

이차 형식에 대한 밀너 추측(영어: Milnor conjecture on quadratic forms)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며,^[4] 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.^[5]

예

복소수체

$K$ 가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, $K$ 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 $K^{n}$ 위의 이차 형식은 그 계수 $r$ 에 따라서 완전히 분류된다.

$K$ 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, $K$ 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, $K$ 의 비트 환은 $\mathbb {Z} /(2)$ 이다.^[1]^:34

대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

실수체

$(K,\leq )$ 가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, $K$ 가 실수체 $\mathbb {R}$ 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

$K$ 의 비트 환은 $\mathbb {Z}$ 와 동형이다.^[1]^:34

\operatorname {Witt} (K)\cong \mathbb {Z}

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

계수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 의 양의 정부호 형식은 $n$ 에 대응한다.
계수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 의 음의 정부호 형식은 $-n$ 에 대응한다.
0차원의 벡터 공간 위의 형식은 $0$ 에 대응한다.

실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 $\mathbb {H}$ 로 구성되며, 2차 순환군이다.

\operatorname {Br} \mathbb {R} =\{\mathbb {R} ,\mathbb {H} \}\cong \operatorname {Cyc} (2)

이 경우 힐베르트 기호가

\left({\frac {a,b}{\mathbb {R} }}\right)={\begin{cases}-1&\max\{a,b\}<0\\+1&\max\{a,b\}>0\\\end{cases}}

이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 $(n_{+},n_{-})$ 의 비퇴화 이차 형식 $Q$ 의 하세-비트 불변량은

\epsilon (Q)=(-1)^{s(s-1)/2}

이다.

국소체

비아르키메데스 국소체 $K$ 의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 $q$ 라고 하고, $q$ 가 홀수라고 하자. 그렇다면, $K$ 의 비트 환은 다음과 같다.^[1]^:152

\operatorname {Witt} (K)\cong {\begin{cases}\left(\mathbb {Z} /(2)\right)[\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left((\mathbb {Z} /(4)\right)[\operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}

여기서 $\operatorname {Cyc} (2)$ 는 2차 순환군이며, $R[G]$ 는 군환을 뜻한다.

유리수체

유리수체 $\mathbb {Q}$ 의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.^[1]^:166

W(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(8))[s,t]/(2s,2t,s^{2},t^{2},st-4)

홀수 표수의 유한체

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 벡터 공간 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $2n+1$ 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. $a\in \mathbb {F} _{q}$ 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

\nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)

Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)

즉, 다음과 같은 꼴이다.

Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}

만약 $n$ 이 홀수라면, $Q_{2}^{(n)}$ 는 $\alpha Q_{1}^{(n)}$ 과 동치이다.^[2]^:69 이 경우 비트 지표는 $Q_{1}^{(n)}$ , $Q_{2}^{(n)}$ 둘 다 $(n-1)/2$ 이다.

만약 $n$ 이 짝수라면, $Q_{1}^{(n)}$ 은 $\alpha Q_{1}^{(n)}$ 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.^[2]^:59

$n\equiv 2{\pmod {4}}$ 이며 $q\equiv 3{\pmod {4}}$ 인 경우, $Q_{1}^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2-1$ 이며 $Q_{2}^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2$ 이다.
$n\equiv 0{\pmod {4}}$ 이거나 또는 $q\equiv 1{\pmod {4}}$ 인 경우, $Q_{1}^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2$ 이며 $Q_{2}^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2-1$ 이다.

이 경우, 비트 지표가 $n/2$ 인 경우를 플러스형(영어: plus-type), $n/2-1$ 인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.^[2]^:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)

\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)

홀수 차수 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 $q$ 에 따라 구체적으로 다음과 같다.^[1]^:37

W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv 3{\pmod {4}}$ 인 경우
$\mathbb {Z} /(4)$	0	1	2	3
$W(\mathbb {F} _{q})$	$Q_{1}^{(0)}$	$Q_{1}^{(1)}$	$Q_{1}^{(2)}$	$Q_{2}^{(1)}$

$q\equiv 1{\pmod {4}}$ 인 경우
$\mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})$	0	1	x	1+x
$\operatorname {Witt} (\mathbb {F} _{q})$	$Q_{1}^{(0)}$	$Q_{1}^{(1)}$	$Q_{2}^{(2)}$	$Q_{2}^{(1)}$

역사

에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문^[6]에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.^[7]

참고 문헌

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.
↑ Conner, P.E.; Perlis, R. (1984년 7월). 《A survey of trace forms of algebraic number fields》 (영어). Series in Pure Mathematics 2. World Scientific. doi:10.1142/0066. ISBN 978-9971-966-04-1. Zbl 0551.10017.
↑ Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms” (PDF) (영어). 《Inventiones Mathematicae》 9: 318–344. doi:10.1007/BF01425486. ISSN 0020-9910. 2016년 2월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 5일에 확인함.
↑ Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007). “An exact sequence for K_*^M/2 with applications to quadratic forms” (영어). 《Annals of Mathematics》 165: 1–13. doi:10.4007/annals.2007.165.1. MR 2276765. Zbl 1124.14017.
↑ Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern” (독일어). 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701.
↑ Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF) (영어). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer (편집). 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110.

외부 링크

“Witt ring” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Witt decomposition” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Hasse invariant” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

[Lam-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.

[Wilson-2] 가 ^나 ^다 ^라 Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.

[CP-3] Conner, P.E.; Perlis, R. (1984년 7월). 《A survey of trace forms of algebraic number fields》 (영어). Series in Pure Mathematics 2. World Scientific. doi:10.1142/0066. ISBN 978-9971-966-04-1. Zbl 0551.10017.

[4] Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms” (PDF) (영어). 《Inventiones Mathematicae》 9: 318–344. doi:10.1007/BF01425486. ISSN 0020-9910. 2016년 2월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 5일에 확인함.

[5] Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007). “An exact sequence for K_*^M/2 with applications to quadratic forms” (영어). 《Annals of Mathematics》 165: 1–13. doi:10.4007/annals.2007.165.1. MR 2276765. Zbl 1124.14017.

[6] Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern” (독일어). 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701.

[7] Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF) (영어). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer (편집). 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110.

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