쌍곡선 함수

수학에서 쌍곡선 함수(雙曲線函數, 영어: hyperbolic function)는 일반적인 삼각함수와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 매개변수로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준쌍곡선을 매개변수로 표시할 때 나온다.

종류

sinh, cosh, tanh

csch, sech, coth

삼각함수(원함수)의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 추론되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다.

• 쌍곡사인(hyperbolic sine)

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

• 쌍곡코사인(hyperbolic cosine)

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

• 쌍곡탄젠트(hyperbolic tangent)

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}$

$={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!$

• 쌍곡코시컨트(hyperbolic cosecant)

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

• 쌍곡시컨트(hyperbolic secant)

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!$

• 쌍곡코탄젠트(hyperbolic cotangent)

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}$

$={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!$

삼각함수와의 관계

2차원 평면상에서 매개변수 $t$를 사용한 자취 $(\cos t,\,\sin t)$가 단위원 $x^{2}+y^{2}=1$을 그리는 것처럼, $(\cosh t,\,\sinh t)$은 쌍곡선 $x^{2}-y^{2}=1$ 을 그린다. 이는 다음과 같은 간단한 관계를 통해 쉽게 알 수 있다.

$\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,$

그러나 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 주기함수가 아니라는 차이가 있다.

매개변수 $t$가 단위원을 그리는 삼각함수의 경우에 각을 뜻하는 양인 것과는 달리 쌍곡선 함수의 경우에는 평면상의 면적에 대응하는 쌍곡각(雙曲角, hyperbolic angle)에 대응한다. 쌍곡각은 $x$축과 쌍곡선, 그리고 $(\cosh t,\,\sinh t)$위의 점과 원점을 지나는 직선이 이루어지는 면적을 두배한 양으로 정의된다.

$\cosh \,x$는 짝함수 즉 $y$축에 대해 대칭이며, $\cosh 0\,=\,1$이다.

$\sinh \,y$는 홀함수 즉 원점에 대해 대칭이며, $\sinh 0\,=\,0$이다.

쌍곡선 함수는 삼각함수 공식과 매우 유사한 항등식을 만족한다. 실제로 오스본 법칙에 따라 어떤 삼각함수 항등식이라도 쌍곡선 항등식으로 변환될 수 있다. 예를 들어 삼각함수의 덧셈정리와 반각공식은 다음과 같은 쌍곡선 함수의 덧셈 정리와 반각 공식으로 바뀐다.

• 덧셈 정리

  $\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,$

  $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,$

  $\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,$

• 반각 공식

  $\cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}$

  $\sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}$

역함수

쌍곡선 함수의 역함수는 다음과 같다.

${\begin{aligned}\operatorname {arcsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arccosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {arctanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arccsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\\\operatorname {arcsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arccoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\end{aligned}}$

역쌍곡함수의 미분

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arctanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

역쌍곡함수의 부정적분

${\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arcsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arccosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\operatorname {arctanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arccsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arcsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\end{aligned}}$

C는 적분상수이다.

복소수와 쌍곡선 함수

지수함수가 모든 복소수를 인자로 받을 수 있기 때문에, 지수함수의 사칙연산으로 정의된 쌍곡선 함수 또한 복소수까지 확장시킬 수 있다. 이때, sinh z와 cosh z는 복소평면 위 어떤 점에서도 해석적인 전해석 함수(entire function)이다.

삼각함수와의 관계는 복소수에 대한 오일러 공식으로 다음과 같이 주어진다.

$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$

$\cosh(ix)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos(x)$

$\sinh(ix)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin(x)$

$\tanh(ix)=i\tan(x)\,$

$\sinh(x)=-i\sin(ix)\,$

$\cosh(x)=\cos(ix)\,$

$\tanh(x)=-i\tan(ix)\,$

$\operatorname {arsinh} (x)=i\arcsin(-ix)$

$\operatorname {arcosh} (x)=i\arccos(x)$

$\operatorname {artanh} (x)=i\arctan(-ix)$

테일러 급수

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

이 테일러 급수는 sinh와 cosh의 미분을 이용해서 얻을 수도 있고, $e^{x}$와 $e^{-x}$의 테일러 전개를 sinh와 cosh의 정의식에 대입해서 얻을 수도 있다.

같이 보기

• 현수선(懸垂線, catenary): $\cosh x$는 일정한 중력장에서 양끝이 고정되어 있고 밀도가 일정한 줄이 아래로 늘어질 때 그리는 곡선이다.
• 삼각함수
• 쌍곡선