극한 (범주론)

수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구성들(예로서 곱이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 잡아내어 일반화시킨 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상 및 수반 함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의

뿔을 통한 정의

함자 $F\colon J\to C$의 뿔(영어: cone) $(N,(\psi _{X}\colon N\to F(X))_{X\in J})$은 다음 데이터로 구성된다.

• $C$의 대상 $N\in C$
• 모든 대상 $X\in J$에 대하여, $C$의 사상 $\psi _{X}\colon N\to F(X)$

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 대상 $X,Y\in J$ 및 사상 $F\colon X\to Y$에 대하여, $\psi _{Y}=F(f)\circ \psi _{X}$

함자 $F\colon J\to C$의 극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 뿔 $(L,(\phi _{X})_{X\in J})$이다.

• 모든 $F$의 뿔 $(N,(\psi _{X})_{X\in J})$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $u\colon N\to L$이 존재한다.
  • 모든 대상 $X\in J$에 대하여, $\psi _{X}=\phi _{X}\circ u$

주어진 함자의 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 이는 극한의 보편 성질에 의한다. 만약 극한의 정의에서 사상의 유일성 조건을 존재로 약화하면 약한 극한(영어: weak limit)의 개념을 얻는다.

함자 $F\colon J\to C$의 쌍대뿔(영어: cocone) $(N,(\psi _{X}\colon F(X)\to N)_{X\in J})$은 다음 데이터로 구성된다.

• $C$의 대상 $N\in C$
• 모든 대상 $X\in J$에 대하여, $C$의 사상 $\psi _{X}\colon F(X)\to N$

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 대상 $X,Y\in J$ 및 사상 $F\colon X\to Y$에 대하여, $\psi _{X}=\psi _{Y}\circ F(f)$

함자 $F\colon J\to C$의 쌍대극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 쌍대뿔 $(L,(\phi _{X})_{X\in J})$이다.

• 모든 $F$의 쌍대뿔 $(N,(\psi _{X})_{X\in J})$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $u\colon L\to N$이 존재한다.
  • 모든 대상 $X\in J$에 대하여, $\psi _{X}=u\circ \phi _{X}$

보편 성질에 따라, 주어진 함자의 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 만약 사상의 유일한 존재를 존재로 대체하면 약한 쌍대극한(영어: weak colimit)의 정의를 얻는다.

끝 대상을 통한 정의

만약 $J$가 작은 범주라면, 함자 $F\colon J\to C$의 극한은 쉼표 범주

$\operatorname {diag} _{C}^{J}\downarrow F^{*}$

의 끝 대상이다. 여기서

$\operatorname {diag} _{C}^{J}\colon C\to C^{J}$

$\operatorname {diag} _{C}^{J}(X)\colon j\mapsto X$

$\operatorname {diag} _{C}^{J}(X)\colon (f\colon i\to j)\mapsto \operatorname {id} _{X}$

$\operatorname {diag} _{C}^{J}(g\colon X\to Y)_{j}=g$

는 대각 함자이며,

$F^{*}\colon 1\to C^{J}$

는 1의 유일한 대상의 상이 $F$인 상수 함자이다. 끝 대상은 유일한 동형 아래 유일하므로, 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 끝 대상을 통한 극한의 정의는 뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

만약 $J$가 작은 범주라면, 함자 $F\colon J\to C$의 쌍대극한은 쉼표 범주

$F^{*}\downarrow \operatorname {diag} _{C}^{J}$

의 시작 대상이다. 시작 대상은 유일한 동형 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 시작 대상을 통한 쌍대극한의 정의는 쌍대뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

표현을 통한 정의

만약 $J$가 작은 범주라면, 함자 $F\colon J\to C$의 극한은 다음 데이터로 구성된다.

• 대상 $L\in \operatorname {ob} (C)$
• 자연 동형 $\hom _{C}(X,L)\xrightarrow {\cong } \varprojlim _{j}\hom _{C}(X,F(j))$ ($X\in \operatorname {ob} (C)$)

여기서 $\varprojlim$은 집합의 범주 $\operatorname {Set}$에서의 극한이며, 이는 구체적으로 정의될 수 있다. 표현 가능 함자의 표현은 유일한 동형 아래 유일하므로, 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 극한의 표현을 통한 정의와 뿔을 통한 정의의 동치는 요네다 보조정리에 의한다.

만약 $J$가 작은 범주라면, 함자 $F\colon J\to C$의 쌍대극한은 다음 데이터로 구성된다.

• 대상 $L\in \operatorname {ob} (C)$
• 자연 동형 $\hom _{C}(L,Y)\xrightarrow {\cong } \varprojlim _{j}\hom _{C}(F(j),Y)$ ($Y\in \operatorname {ob} (C)$)

여기서 $\varprojlim$은 집합의 범주 $\operatorname {Set}$에서의 극한이며 (쌍대극한이 아닌 데 주의하자), 이는 구체적으로 정의될 수 있다. 표현 가능 함자의 표현은 유일한 동형 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 쌍대극한의 표현을 통한 정의와 쌍대뿔을 통한 정의의 동치는 요네다 보조정리에 의한다.

예

특별한 경우에 붙은 이름은 다음과 같다.

$J$	$J$를 지표 범주로 하는 극한	$J^{\operatorname {op} }$를 지표 범주로 하는 쌍대극한
공(空)범주	끝 대상	시작 대상
이산 범주	곱	쌍대곱
상향 원순서 집합	사영 극한/역극한	귀납적 극한/직접적 극한
$\cdot \rightrightarrows \cdot$	동등자	쌍대동등자
$\cdot \rightarrow \cdot \leftarrow \cdot$	당김	밂

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Inductive limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “System (in a category)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Limit”. 《nLab》 (영어). 
• “Colimit”. 《nLab》 (영어).