Эволюция Шрамма-Лёвнера
Эволюция Шрамма-Лёвнера (ЭШЛ, Schramm-Loewner evolution – SLE) – однопараметрическое семейство непересекающихся путей, демонстрирующих конформную инвариантность, которые могут быть получены из броуновского движения, коэффициент диффузии которого соответствует параметру ЭШЛ, . [1]
Терминология
[править | править код]Эволюция Шрамма–Лёвнера с параметром в теории вероятности известна как стохастическая эволюция Лёвнера (). Она представляет собой семейство случайных плоских кривых, которые являются пределом масштабирования для множества двумерных решётчатых моделей в статистической механике.
История
[править | править код]В 2000-м году израильско-американским математиком Одедом Шраммом была предложена модель, получившая название эволюции Шрамма-Лёвнера (ЭШЛ). Одед Шрамм объединил конформное отображение (непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур) со стохастическими процессами (процессы, описывающие изменения одной или нескольких величин при наличии неопределенности) в процесс, теперь известный как эволюция Шрамма-Лёвнера (ЭШЛ). [1]
Эволюция Шрамма-Лёвнера и перколяция
[править | править код]Случайные ландшафты использовались для моделирования разнообразных свойств природных систем, в частности для моделирования температуры поверхности моря[2][3], для моделирования глубины океана[3] или моделирования высоты суши над уровнем моря[3][4]. Де Кастро и др. отмечают также применение случайных ландшафтов для моделирования полей завихренности плазмы[3]. Как правило, такие поверхности имеют корреляции, а в некоторых случаях — дальние корреляции, которые характеризуются показателем Хёрста, . Недавно было обнаружено, что линии изовысоты на пороге перколяции случайной поверхности с дальней корреляцией обладают масштабной инвариантностью с фрактальной размерностью , которая зависит от . Однако остаётся неясным, обладают ли эти кривые более сложной симметрией, такой как конформная инвариантность.
Исследование де Кастро и др. основывалось на оценке коэффициента с помощью управляющей функции. Де Кастро и др. отмечают, что ими использовался зиппер-алгоритм, однако не приводят ссылки на конкретную реализацию зиппер-алгоритма. Также у де Кастро[3] делается оценка коэффициента при логарифме размера решётки () для дисперсии угла поворота кривой ЭШЛ.
Де Кастро и др. [3] заметили, что двумерная задача перколяции может рассматриваться как протекание в некотором ландшафте с дальнодействующими корреляциями высота-высота, определяемыми показателем Хёрста , и внешний периметр перколяционного кластера для коррелированных поверхностей оказывается статистически эквивалентным кривым ЭШЛ при .
![{\displaystyle H\in [-1,0]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4385dc99f066b9f77e2e9a0ffe584f7581154a3)
В исследовании И. И. Гордеева и Е. С. Сосновской (Орловой)[1] показано, что можно вывести зависимость параметра ЭШЛ от показателя Хёрста :
![{\displaystyle \kappa ={\begin{cases}4-{8 \over 3}H,&{\text{при }}H\in [-{3 \over 4},0]\\6,&{\text{при }}H\in [-1,-{3 \over 4}]\end{cases}}.}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d088c886d95161f727d5b4d685f18a7e51eeb175)
Список литературы
[править | править код]- Cardy J.[англ.] SLE for theoretical physicists // Physics Reports[англ.]. 2005. Vol. 318. P. 81–118. https://doi.org/10.1016/j.aop.2005.04.001.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 И.И. Гордеев, Е.С. Орлова. Моделирование перколяционных задач с учётом эволюции Шрамма-Лёвнера // VI МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ "ТРАНСФОРМАЦИЯ РОССИЙСКОЙ НАУКИ В ЭПОХУ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА". — Crossref, 2024-09-20. — doi:10.26118/4060.2024.59.43.010.
- ↑ C. P. de Castro, M. Luković, R. F. S. Andrade, H. J. Herrmann. The influence of statistical properties of Fourier coefficients on random Gaussian surfaces (англ.) // Scientific Reports. — 2017-05-16. — Vol. 7, iss. 1. — P. 1961. — ISSN 2045-2322. — doi:10.1038/s41598-017-02135-y.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 C. P. de Castro, M. Luković, G. Pompanin, R. F. S. Andrade, H. J. Herrmann. Schramm-Loewner evolution and perimeter of percolation clusters of correlated random landscapes (англ.) // Scientific Reports. — 2018-03-27. — Vol. 8, iss. 1. — P. 5286. — ISSN 2045-2322. — doi:10.1038/s41598-018-23489-x.
- ↑ Эфрос А. Л. Физика и геометрия беспорядка. — М.: Наука, 1982. — 265 с. — (Библиотечка «Квант»).