Тензор Риччи

Термин «Риччи» имеет также другие значения.

Тензор Риччи, названный в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, является симметричной билинейной формой на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства (см. геометрический смысл тензора Риччи). Обычно обозначается $\mathrm {Ric}$ или $\mathrm {Rc}$.

Определение

Пусть $(M,g)$ — n-мерное риманово многообразие, а $T_{p}M$ — касательное пространство к M в точке p. Для любой пары $\xi ,\eta \in T_{p}M$ касательных векторов в точке p, тензор Риччи $\mathrm {Ric} (\xi ,\eta )$, по определению, отображает $(\xi ,\eta )$ в след линейного автоморфизма $T_{p}M\to T_{p}M$, заданного тензором кривизны Римана R:

$\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi$

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

$\operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}$

где $R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.$ — след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия $(M,g)$ можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства $\delta _{ij}$ (или метрике Минковского $\eta _{ij}$ в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p:

$d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){\Big ]}d\mu _{\text{Евклида}}$

Таким образом, если кривизна Риччи ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ положительна в направлении вектора $\xi$, то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении $\xi$, будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора $\xi$ будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Кривизна Риччи и геометрия в целом

Тензор Риччи, будучи «усреднением» тензора кривизны Римана, тем не менее оказывает глубокое влияние на глобальную геометрию и топологию риманова многообразия. Его ограничения снизу или сверху влекут за собой строгие результаты в виде теорем сравнения, контроля над спектром и роста объёма.

Неравенства сравнения для объёма и теорема Бишопа — Громова

Одним из наиболее фундаментальных следствий ограничения кривизны Риччи снизу является контроль над ростом объёма метрических шаров.

Теорема (неравенство Бишопа — Громова). Пусть $(M,g)$ — полное $n$-мерное риманово многообразие, для которого $\operatorname {Ric} _{M}\geq (n-1)\kappa$ для некоторой константы $\kappa \in \mathbb {R}$. Пусть $p\in M$, и пусть $v_{p}(r)$ обозначает объём шара радиуса $r$ с центром в $p$. Пусть ${\tilde {v}}_{\kappa }(r)$ — объём шара радиуса $r$ в полном односвязном $n$-мерном пространстве постоянной секционной кривизны $\kappa$. Тогда функция$$r\mapsto {\frac {v_{p}(r)}{{\tilde {v}}_{\kappa }(r)}}$$ является невозрастающей функцией от $r$ на интервале $(0,\infty )$.

Из этой теоремы вытекают важные следствия:

• Неравенство Бишопа: При $\kappa =0$ выполняется $v_{p}(r)\leq \omega _{n}r^{n}$, где $\omega _{n}$ — объём единичного шара в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$.

• Теорема удвоения: Существует константа $C(n,\kappa ,D)$ такая, что для любого шара радиуса $r\leq D$ выполняется $v_{p}(2r)\leq C\cdot v_{p}(r)$.

• Ограниченность роста: Если $\kappa >0$, то объём всего многообразия $M$ конечен.

Топологические следствия и теорема Майерса

Ограничение кривизны Риччи снизу положительной константой накладывает жёсткие ограничения на топологию многообразия.

Теорема Бонне — Майерса. Пусть $(M,g)$ — полное связное риманово многообразие размерности $n$, такое что $\operatorname {Ric} _{M}\geq (n-1)\kappa >0$. Тогда диаметр многообразия $M$ удовлетворяет неравенству: $$\operatorname {diam} (M)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {\kappa }}}.$$ В частности, $M$ компактно и его фундаментальная группа $\pi _{1}(M)$ конечна.

Ключевым инструментом доказательства многих сравнений является тождество Бохнера. Для гладкой 1-формы $\omega$ на $M$ оно утверждает, что$${\frac {1}{2}}\Delta |\omega |^{2}=|\nabla \omega |^{2}+\langle \Delta _{H}\omega ,\omega \rangle +\operatorname {Ric} (\omega ^{\sharp },\omega ^{\sharp }),$$где $\Delta _{H}=d\delta +\delta d$ — оператор Лапласа — де Рама на 1-формах.

Применяя это тождество к гармоническим 1-формам ($\Delta _{H}\omega =0$), получаем:

• Если $\operatorname {Ric} \geq 0$, то любая гармоническая 1-форма параллельна.
• Если $\operatorname {Ric} \geq (n-1)\kappa >0$, то на $M$ нет нетривиальных гармонических 1-форм, откуда следует, что первая группа когомологий де Рама $H_{\text{dR}}^{1}(M)=0$.

Спектральные сравнения и метрическая геометрия

Ограничения на тензор Риччи позволяют сравнивать спектр оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии со спектром на соответствующей модели пространства постоянной кривизны. А именно, если $\operatorname {Ric} _{M}\geq (n-1)\kappa$, то $k$-е собственное значение $\lambda _{k}(M)$ удовлетворяет неравенству $\lambda _{k}(M)\geq \lambda _{k}(M_{\kappa })$, где $M_{\kappa }$ — сфера постоянной кривизны $\kappa$.

В метрической геометрии тензор Риччи играет ключевую роль в теории сходимости по Громову — Хаусдорфу. Класс полных римановых многообразий с фиксированной нижней границей кривизны Риччи и ограниченным диаметром является предкомпактным. Более того, предельные пространства в такой сходимости обладают регулярной структурой (являются римановыми многообразиями вне множества коразмерности не менее 2).

Поток Риччи

В геометрическом анализе тензор Риччи является центральным объектом в уравнении потока Риччи: $${\frac {\partial }{\partial t}}g(t)=-2\operatorname {Ric} _{g(t)}.$$ Это параболическое уравнение на метрике, используемое для доказательства гипотез Пуанкаре и Тёрстона о геометризации трёхмерных многообразий. Условия на кривизну Риччи, такие как $\operatorname {Ric} \geq -C$, являются ключевыми в доказательстве теорем неколлапсирования, которые необходимы для анализа сингулярностей, возникающих в потоке.

Приложения тензора Риччи

Общая теория относительности

Тензор Риччи является ключевым компонентом уравнений Эйнштейна, которые составляют основу общей теории относительности (ОТО). Эти уравнения связывают кривизну пространства-времени с распределением в нём материи и энергии.

Уравнения выводятся из принципа наименьшего действия с функционалом действия Гильберта:$$S[g]=\int _{M}R\,d\mu _{g},$$где $R$ — скалярная кривизна, а $d\mu _{g}$ — элемент объёма, ассоциированный с метрикой $g$. Вариация этого функционала по метрике приводит к тензору Эйнштейна: $$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }.$$ Уравнения Эйнштейна имеют вид:$$G_{\mu \nu }=8\pi G\,T_{\mu \nu },$$где $T_{\mu \nu }$ — тензор энергии-импульса, описывающий материю.

Благодаря тождествам Бьянки, из которых следует $\nabla ^{\mu }G_{\mu \nu }=0$, уравнения Эйнштейна автоматически обеспечивают выполнение закона сохранения энергии-импульса: $\nabla ^{\mu }T_{\mu \nu }=0$.

В отсутствие материи уравнения Эйнштейна сводятся к вакуумным уравнениям: $$R_{\mu \nu }=0.$$Космология

В рамках ОТО тензор Риччи используется для описания динамики Вселенной в целом. В основе современной космологии лежит метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера (FLRW), которая отражает предположения об однородности и изотропии Вселенной. Вычисление тензора Риччи для этой метрики и подстановка его в уравнения Эйнштейна приводит к уравнениям Фридмана, которые описывают эволюцию масштабного фактора Вселенной $a(t)$.

Теоремы о сингулярностях

Тензор Риччи напрямую связан с условиями на энергию в ОТО. Например, сильное условие энергии эквивалентно требованию $R_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }\geq 0$ для любого изотропного вектора $u^{\mu }$. Эти условия являются ключевыми для доказательства теорем Пенроуза и Хокинга о сингулярностях, которые показывают, что в рамках ОТО образование пространственно-временных сингулярностей (таких как Большой Взрыв или сингулярности внутри чёрных дыр) является неизбежным и общим свойством, а не артефактом симметрии.

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени

При формулировке квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени тензор Риччи естественным образом возникает в уравнениях движения. Например, конформно-инвариантное уравнение Клейна — Гордона для безмассового скалярного поля содержит член, пропорциональный скалярной кривизне: $(\Box _{g}+\xi R)\phi =0$, где $\xi ={\frac {1}{6}}$. Кроме того, при перенормировке вакуумного среднего тензора энергии-импульса $\langle T_{\mu \nu }\rangle$ возникают контрчлены, пропорциональные тензору Риччи, что демонстрирует глубокую связь между квантовыми эффектами и геометрией пространства-времени.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Тензор кривизны
• Поток Риччи

Литература

• Petersen, P. Riemannian Geometry. — Springer, 2016.
• Burago, D.; Burago, Y.; Ivanov, S. A Course in Metric Geometry. — American Mathematical Society, 2001.
• Chow, B.; Lu, P.; Ni, L. Hamilton's Ricci Flow. — American Mathematical Society, 2006.
• Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R. The Large Scale Structure of Space-Time. — Cambridge University Press, 1973.
• Birrell, N.D.; Davies, P.C.W. Quantum Fields in Curved Space. — Cambridge University Press, 1984.