Max-Havelaar-Stiftung (Schweiz) und Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

Die Differentialrechnung (oder Differenzialrechnung) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Differential- und Integralrechnung werden zusammenfassend als Infinitesimalrechnung bezeichnet; sie bilden einen wesentlichen Teil der Analysis.

Übersicht

Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion.

In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist urprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt - wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat.

In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion x→f(x) an, um wieviel sich ein Funktionswert f(x) ändert, wenn sich x um einen "infinitesimal" kleinen Betrag dx ändert.

In einer klassischen physikalische Anwendung liefert die Ableitung des Orts nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens.

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung war als Tangentenproblem seit der Antike bekannt. Der naheliegende Lösungsansatz war die Approximation der Tangente als Sekante über einem endlichen ("endlich" heißt hier: größer als Null), aber beliebig kleinen Intervall. Die technische Schwierigkeit bestand darin, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite rechnen zu lernen. Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Seit dem späten 19ten Jahrhundert (von wem eingeführt ?) wird die Ableitung in der heute üblichen, logisch strengen Weise als Grenzwert von Sekantensteigungen ("Differenzenquotienten") definiert.

Definition

Hinführung

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion x→f(x) in einem Punkt x₀. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an f über einem endlichen Intervall [x₀, x_i]:

Sekantensteigung = ${\frac {f(x_{i})-f(x_{0})}{x_{i}-x_{0}}}$.

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt.

Mit x_i = x₀ + Δx und mit der Kurznotation y für f(x) kann man auch

Sekantensteigung = ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

schreiben.

Ableitung einer Funktion

Um die Tangente durch den als fest angenommenen Punkt $(x_{0};f(x_{0}))$ zu erhalten, lässt man den Punkt $(x_{i};f(x_{i}))$ immer näher an den festen Punkt rücken. Geometrisch bedeutet dies den Übergang von der Sekante zur Tangente. Rechnerisch entspricht dieser Vorgang der Bildung eines Grenzwerts.

Diese Vorüberlegungen erlauben nun folgende Definition:

Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation

Eine Funktion einer Variablen x heißt differenzierbar an der Stelle x₀, falls der Grenzwert

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von f nach x an der Stelle x₀ und wird als

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}$ oder ${\frac {{\rm {d}}f(x_{0})}{{\rm {d}}x}}$ oder $f'(x_{0})$

notiert.

Die Terme dx und dy heißen Differentiale. Sie stellen infinitesimal kleine Zahlenwerte dar (vergleiche Einleitung); in manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen fast wie mit "normalen" Variablen. Ein Differential ist auch Teil der üblichen Notation für Integrale.

Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt; die Notation mit Apostroph (f´) geht auf Newton zurück, der einen Punkt über die abgeleitete Größe setzte, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist.

Ableitung als eine Funktion

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist (wenn also an jedem Punkt des Graphen von f eine eindeutige Tangente existiert).

Die Funktion der Differentialquotienten an allen Stellen von f nennt man die Ableitungsfunktion f´ - oder kurz Ableitung - von f. f´(x₀) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x₀. Sie entspricht der Steigung des Graphen der Funktion an der Stelle x₀.

Ist die Ableitung stetig, dann heißt f stetig differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig. Die Umkehrung gilt jedoch überraschender Weise überhaupt nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein kann (wie die Betragsfunktion). Tatsächlich gibt es Funktionen, die überall stetig, aber nirgendswo differenzierbar sind (beispielsweise die Koch-Kurve). Der erste Mathematiker, der so eine Funktion konstruierte, war Bernhard Bolzano. 1861 erschien die erste Veröffentlichung mit so einer Funktion, geschrieben von Karl Weierstraß.

Beispiele

Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion

Gesucht ist die Ableitung der Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{3}$. Dann ist

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}={\frac {(x_{0}+\Delta x)^{3}-(x_{0})^{3}}{\Delta x}}$

$={\frac {(x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}\Delta x+3x_{0}\Delta x^{2}+\Delta x^{3})-x_{0}^{3}}{\Delta x}}$

$={\frac {(3x_{0}^{2}\Delta x+3x_{0}\Delta x^{2}+\Delta x^{3})}{\Delta x}}$

$=3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x+\Delta x^{2}$

und daher

$f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}(3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x+\Delta x^{2})=3x_{0}^{2}.$

Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion

f(x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, denn es gilt:

Wenn x > 0 gilt f(x)= x und damit

$\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {x-0}{x-0}}=1$

und wenn x < 0 gilt f(x) = -x und damit

$\lim _{x\rightarrow 0-}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\rightarrow 0-}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1$

Da der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert kein beidseitiger Grenzwert. f ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar (an allen anderen Stellen aber sehr wohl!).

Datei:Abs x.PNG

Betrachtet man den Graphen von f, so kommt man zu der Erkenntnis, dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph keine "Knicke" enthält.

Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion

Beachte: Selbst wenn f überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein.

Datei:X2cos1 x.PNG

Zum Beispiel ist die Funktion $f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$ in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung $f'(x)={\begin{cases}2x\cos(1/x)+\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$ ist im Punkt 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Die Definition mittels des Grenzwertes ist unhandlich für die Bestimmung der Ableitung. Allerdings folgen aus der Definition einige Regeln: Seien f, g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, n und a reelle Zahlen, dann gilt:

• konstante Funktion: $\left(a\right)'=0$
• Potenzregel: $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$, falls n ≠ 0
• Summenregel: $\left(g+h\right)'=g'+h'$
• Differenzregel: $\left(g-h\right)'=g'-h'$
• Faktorregel: $(a\cdot f)'=a\cdot f'$
• Produktregel: $(g\cdot h)'=g'h+h'g$
• Quotientenregel: $\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'h-gh'}{h^{2}}}$
• Kettenregel: $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$
• Umkehrregel: Ist f eine, an der Stelle x₀ differenzierbare, bijektive Funktion mit f '(x₀)≠0, und ihre Umkehrfunktion f ^-1 bei f(x₀) differenzierbar, dann gilt:

$(f^{-1})'(f(x_{0}))={\frac {1}{f'(x_{0})}}.$

(Spiegelt man einen Punkt P des Graphen von f an der 1. Mediane und erhält damit P* auf f ^-1, so ist die Steigung von f ^-1 in P* der Kehrwert der Steigung von f in P)

Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen sind in der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen angegeben.

Mehrfache Ableitungen, Glattheit

Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden.

Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.

Anwendung bei der Kurvendiskussion

Bei der Untersuchung eines Funktionsgraphen auf seine Eigenschaften (Kurvendiskussion) spielen die Ableitungsfunktionen eine entscheidende Rolle, da sie die Steigung des Graphen beschreiben. Dies sei am Beispiel der Funktion mit der Gleichung

${f(x)}={1 \over 3}\cdot x^{3}-2\cdot x^{2}+3\cdot x$

erläutert. Die Abbildung zeigt den Verlauf von f(x), f '(x) und f ''(x).

Datei:Einekurvendiskussion.PNG

Waagerechte Tangenten

Eine Steigung 0, d.h. f '(x)=0, kennzeichnet eine waagerechte Tangente bei f(x). Dies kann einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt bedeuten. Im Beispiel ist

${f'(x)}={x^{2}-4\cdot x+3}$

f '(x) wird 0 bei x=1 und x=3.

Die zweite Ableitung f ''(x) beschreibt die Steigung von f '(x), also die Änderung der Steigung von f(x). Ist f ''(x)>0, so ändert sich f '(x) von negativen zu positiven Werten, also liegt ein Tiefpunkt von f(x) vor. Im Falle f ''(x)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet eine Hochpunkt von f(x). Im Beispiel ist f ''(1) = -2 und f ''(3) = 2.

Wendepunkte

Ist f ''(x)=0, so hat f '(x) hier eine waagerechte Tangente und die Steigung von f(x) ändert sich an dieser Stelle nicht. Wenn f '(x) hier einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt (also f '''(x) hier nicht 0 ist), dann bedeutet das einen Wendepunkt von f(x). Im Beispiel ist

${f''(x)}={2\cdot x-4}$

und wird 0 bei x=2. Zugleich ist

${f'''(x)}=2$

und daher ungleich 0.

Sattelpunkte

Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente nennt man einen Sattelpunkt. Für ihn gilt demnach f '(x)=0 und f ''(x)=0, wie im Beispiel der Funktion mit der Gleichung

$f(x)={x^{3}}$

an der Stelle x=0.

Datei:Xhoch3.PNG

Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium, es kann auch f '(x)=0 und f ''(x)=0 werden, ohne dass ein Wendepunkt auftritt, wie im Beispiel

$f(x)={x^{4}}$

Datei:Xhoch4.PNG

Erst wenn f ''' nicht 0 ist, ist ein Wendepunkt erwiesen.

Eine vollständige Kurvendiskussion umfasst weitere Untersuchungen, siehe Kurvendiskussion.

Ableitungen nach der Zeit

Die wichtigste Anwendung der Analysis in der Physik ist die Ableitung nach der Zeit: die Änderungsrate.

Wenn man zum Beispiel die Funktion der zurückgelegten Strecke (Position) nach der Zeit ableitet erhält man die Geschwindigkeit. Leitet man diese nach der Zeit ab, erhält man die Beschleunigung. Die Ableitungen physikalischer Größen nach der Zeit werden meist durch einen Punkt über dem Symbol anstelle des Hochkommas gekennzeichnet. ${\frac {ds}{dt}}={\dot {s}}$

Partielle Ableitungen

Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also eine $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$-Funktion) zu Grunde. Hingegen können Funktionen in mehreren Variablen (also $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$-Funktionen) nach jeder unabhängigen Variable abgeleitet werden. So lassen sich für eine Funktion in $n$ Variablen insgesamt $n$ so genannte partielle Ableitungen errechnen:

$k={\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}$

$=\lim _{\Delta x_{i0}\to 0}{\frac {f(x_{1},\dots ,x_{i0}+\Delta x_{i},\dots ,x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{i0},\dots ,x_{n})}{\Delta x_{i}}};\quad i\in [1;n]$

Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Nablavektor anschreiben.

Wichtige Sätze

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Satz von Rolle
Satz von Schwarz

Siehe auch: Differentialgleichung

Der Zusammenhang zur Integralrechnung

Die wesentliche Leistung von Leibniz war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt.

Literatur

• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2, Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
• Otto Forster: Analysis 1, 2, 4. Auflage, 1983, Vieweg Verlag
• Konrad Königsberger: Analysis 1, 2, 3. Auflage, 1995, Springer Verlag

Weblinks

• Interaktive Veranschaulichung der Sekanten- und Tangentensteigung
• Herleitung von Ableitungsregeln