Brownsche Bewegung

Als Brownsche Molekularbewegung wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte, thermisch getriebene Eigenbewegung der Moleküle bezeichnet. Weniger bekannt ist, dass bereits 1785 Jan Ingenhousz die Bewegung von Holzkohlestaub auf Alkohol beschrieb.

Unter dem Mikroskop beobachtete er, wie Pollen in einem Wassertropfen unregelmäßig zuckende Bewegungen machten.

Die Erklärung dafür liefern die Moleküle des Wassertropfens, die permanent von allen Seiten gegen die größeren, sichtbaren Pollenteilchen stoßen, wie die Physiker Albert Einstein und Marian von Smoluchowski unabhängig voneinander im Jahr 1905 zeigten.

Diffusion und Osmose basieren auf dieser Molekularbewegung.

Ursprünglich nahm Brown an, dass dies ein Hinweis auf die Lebenskraft sei, die lange Zeit von Wissenschaftlern als existent vermutet wurde, siehe Organische Chemie. Aber den Effekt konnte er schließlich auch an eindeutig unbelebten Staubkörnern beobachten.

Mathematisches Modell

Mathematisch ist eine brownsche Bewegung $B=(B_{t})_{t\in [0,\infty ]}$ ein zentrierter Gauß-Prozess mit Kovarianzfunktion $Cov(B_{t},B_{s})=\mathop {\rm {min}} (t,s)$ für alle $t,s\geq 0$ . Der resultierende stochastische Prozess ist heute zu Ehren von Norbert Wiener, der die wahrscheinlichkeitstheoretische Existenz desselben 1923 bewies, als Wiener-Prozess bekannt. Viele wichtige Details sind im Artikel dort zu finden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine brownsche Bewegung zu konstruieren.

Eine Möglichkeit:

Seien $Z_{3}$ , $Z_{1}$ , ... unabhängig, identisch verteilt und standardnormalverteilt $\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ . Dann ist $S(t)=Z_{0}t+\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}sin(k\pi t)}{k\pi }}$ eine brownsche Bewegung.

Die brownsche Bewegung spielt auch bei der Simulation von Aktienkursverläufen eine Rolle.

Siehe auch

Weblinks