Harmonischer Oszillator

Bedeutung der Bezeichnung harmonisch, anharmonisch

Harmonisch ist eine Schwingung, wenn sie sinusförmig abläuft. Voraussetzung hierfür ist, dass auf die oszillierende Masse eine Kraft wirkt, die linear zur Auslenkung ist und stets zur Ruhelage des Oszillators hin gerichtet ist. Dies kehrt in der Bewegungs-/Differentialgleichung des Oszillators im linearen Auslenkungsterm

$D\cdot x$

wieder.
Eine harmonische Schwingung ist jedoch nicht mit einer symmetrischen Schwingung zu verwechseln. Zwar ist jede symmetrische Schwingung auch harmonisch, die Umkehrung (dass harmonische Schwingungen symmetrisch sind) ist jedoch falsch.
Anharmonische Schwingungen zeichnen sich durch einen nicht-linearen Auslenkungsterm

$D\cdot x^{n}\qquad n\neq 1$

aus.
Anmerkung zur Schreibweise: Da der Harmonische Oszillator eine zentale Rolle in der theoretischen- und der Experimentalphysik spielt, wird das beschreibende Adjektiv harmonisch groß geschrieben, um dem harmonischen Oszillator somit einen bezeichnenden Wigennamen zu geben.

physikalisch-mathematische Betrachtung

allgemeine Differentialgleichung (DGL)

$m$: oszillierende Masse
$\alpha$: Dämpfungsfaktor
$D$: Auslenkungsfaktor (z.B. Federkonstante)
Im Folgenden werden Ableitungen (in der Zeit) durch Punkte über den Variablen dargestellt [${\ddot {x}}:={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}x$; ${\dot {x}}:={\frac {\partial }{\partial t}}x$]

$m{\ddot {x}}+\alpha {\dot {x}}+Dx=F_{0}e^{i{\bar {\omega }}t}$

Potential eines freien Harmonischen Oszillators

Datei:HO-Potetialkurve.png

Potenzialkurve eines harmonischen Oszillators

Die Proportionalitätskonstante $D$ wird z.B. beim Federpendel als Federkonstante bezeichnet. Das Potential, welches ein solches Verhalten verursacht, ist das parabolische Potenzial

$V(x)={\frac {1}{2}}Dx^{2}$

klassische Mechanik

Die zeitliche Bewegungsdynamik eines harmonischen Oszillators bezeichnet man als harmonische Schwingung. Man erhält sie mathematisch als Lösung der zugehörigen newtonschen Bewegungsgleichung

$m{\ddot {x}}=-kx$

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist

$x(t)=A\sin {(\omega t)}$

wobei $A$ die Amplitude und $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ die Winkelgeschwindigkeit der harmonischen Schwingung ist.

Beispiele sind

• das Federpendel
• das Fadenpendel bei kleiner Auslenkung
• das Zykloidenpendel

statistische Physik

In der statistischen Physik führen harmonische Potenziale auch zu exakt lösbaren Modellen. Beispiele hierfür sind

• das Einstein-Modell und das Debye-Modell für Phononen in Kristallen
• das Gaußsche Polymermodell

Quantenmechanik

Das Einsetzen des harmonischen Potentials in die Schrödingergleichung führt zu diskreten Energieeigenwerten, (die Differentialgleichung ist nur durch Einführen der Quantenzahl v lösbar):

$E_{v}=(v+{\frac {1}{2}})\cdot h\nu _{0}$

Dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum, $\nu _{0}$ die Eigenfrequenz des Oszillators und v die Schwingungsquantenzahl, eine natürliche Zahl, also

$v=0,1,2,...$

Dies hat eine fundamentale Folgen:

1. Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur ganzzahlige Vielfache von $h\nu _{0}$. Der tiefste Energiezustand ist $E_{0}={\frac {1}{2}}h\nu _{0}$.

Da die Wellenfunktion bei dieser Energie bereits eine gewisse Breite hat, ist der Ort nicht genau bestimmt (siehe dazu auch Unschärferelation bzw. Nullpunktsschwingung). Der niedrigste Energiezustand ist auch bei der Temperatur T=0K E₀. Die allgemeinen Lösungsfunktionen sind die entsprechend normierten Hermiteschen Funktionen.

Anwendungsbeispiele:

• in der Molekülphysik: Bindungen, Schwingungsspektren
• in der Festkörperphysik: Phononen

Siehe auch

• anharmonischer Oszillator