Arkustangens und Arkuskotangens

Graph der Funktion arctan(x)

Der Arkustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens und damit eine der Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird der Definitionsbereich auf $\rbrack {-\pi /2},\,\pi /2\lbrack$ beschränkt. Die entsprechende Umkehrfunktion heißt Arkustangens (arctan oder arctg, selten auch atan) oder zur Verdeutlichung Hauptwert des Arkustangens. Die anderen Werte $y$ , für die $\tan y=x$ gilt, heissen Nebenwerte des Arkustangens; sie ergeben sich durch Addieren eines ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ :

\arctan(x)+k\pi \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ k\in \mathbb {Z}

Die Taylorreihe des Arkustangens lautet:

\arctan(x)=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}{\frac {x^{2j+1}}{2j+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots

Diese Reihe konvergiert genau dann wenn $|x|\leq 1$ und $x\neq \pm i$ ist. Der Arkustangens ist allerdings auf ganz $\mathbb {R}$ definiert.

Für $x$ gegen $+\infty$ oder $-\infty$ existiert der Grenzwert:

\lim _{x\to \pm \infty }\arctan(x)=\pm {\frac {\pi }{2}}

Man kann den Arkustangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arctan(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\ln \left({\frac {1+\mathrm {i} x}{1-\mathrm {i} x}}\right)

Für die Ableitung gilt:

{\arctan }'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

Eine Stammfunktion lautet:

\int \arctan(x)\;dx=x\cdot \arctan(x)-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C

Die Werte über 1 lassen sich aus den Werten zwischen 0 und 1 ableiten:

\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)

Die negativen Werte lassen sich aus den positiven ableiten (Punktsymmetrie):

\arctan(-x)=-\arctan(x)

siehe auch: Formelsammlung Trigonometrie, Trigonometrische Funktionen

Der "Arkustangens" mit zwei Argumenten

Da der Arkustangens mit einfachem Argument nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, gibt es in verschiedenen Programmen (z.B. Matlab) oder Programmiersprachen (z.B. in C) eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird mit "atan2" o.ä. bezeichnet. Im folgenden wird die Argumentreihenfolge der C-Funktion atan2 benutzt.

Die Funktion atan2 kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind $x,y$ reelle Zahlen und $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , so gilt