Lineare Gleichung

Die einfachste Form einer linearen Gleichung hat die folgende Form:

$a\cdot x=b$

Dabei ist $x\,$ eine unbekannte Größe, die Unbekannte der Gleichung. Die Symbole $a\,$ und $b\,$ stehen für konstante Zahlenwerte. Kennzeichnend ist für eine lineare Gleichung, dass die Unbekannte ausschließlich in der ersten Potenz steht, also nicht beispielsweise quadriert vorkommt (siehe quadratische Gleichung). Der Wert der Unbekannten $x\,$, mit dem die Gleichung erfüllt ist, kann aus der linearen Gleichung leicht bestimmt werden, indem auf beiden Seiten durch $a\,$ geteilt wird. Es ergibt sich danach für die Lösung:

$x={\frac {b}{a}}$

Allerdings geht dies nur, wenn $a\,$ ungleich Null ist. Ist dies nicht der Fall, gibt es entweder gar keine oder unendlich viele Lösungen.

Es gibt auch lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten und lineare Gleichungen, deren Unbekannte Vektoren oder andere mathematische Objekte sind.

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Allgemein im eindimensionalen, reellen Vektorraum lautet die lineare Gleichung:

$a\cdot x=b$ mit $a,b\in \mathbb {R}$

• Dabei ist die Gleichung trivial, wenn $a=0$ gilt, da dann entweder jedes $x\in \mathbb {R}$ eine Lösung ist, oder wenn $b\neq 0$ die Gleichung keine Lösung besitzt.
• Für $a\neq 0$ lässt sich die Lösung leicht angeben, zu: $x={\frac {b}{a}}$

Im höher Dimensionalen lässt sich die allgemeine lineare Gleichung schreiben, als:

$A\cdot {\vec {x}}={\vec {b}}$, mit $A\in \mathbb {K} ^{{n}\times {m}}$, ${\vec {b}}\in \mathbb {K} ^{n}$ und ${\vec {x}}\in \mathbb {K} ^{m}$

Dies beschreibt gleichzeitig ein lineares Gleichungssystem auf $K$ mit $n$ Gleichungen und $m$ Unbekannten $x_{i}$.

Das bekannnnteste Lösungsverfahren ist das Gaußsche Eliminationsverfahren.

Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten

Eine Gleichung, die mehrere Unbekannte enthält, ist linear, wenn sie in eine Form gebracht werden kann, in der die Unbekannten ausschließlich linear kombiniert sind. Eine lineare Gleichung mit $n$ Unbekannten muss also - gegebenenfalls nach Umstellen - so aussehen:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\;\cdots \;+a_{n}x_{n}\;=\;b$

Hierbei sind die $x_{i}\,$ die Unbekannten und die $a_{i}\,$ konstante Zahlen, die Koeffizienten der Gleichung. Auch $b\,$ ist eine Konstante. Die Konstanten sind meist reelle oder komplexe Zahlen. Hier ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit vier Unbekannten:

$3{,}22\,x_{1}+2\,x_{2}+x_{3}-5{,}2\,x_{4}\;=\;7{,}28$

Fasst man mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu einer Einheit zusammen bekommt man ebenfalls ein lineares Gleichungssystem.