Ljapunow-Funktion

Ljapunow-Funktionen sind reellwertige stetige Funktionen, die zum Stabilitätsnachweis der Ruhelagen dynamischer Systeme verwendet werden. Benannt sind die Funktionen nach dem russischen Mathematiker Alexander Ljapunow, wobei die Schreibweise nicht einheitlich ist (gebräuchlich sind auch Ljapunov, Liapunov oder Lyapunov).

Man betrachtet ein dynamisches System, das durch ein Differentialgleichungssystem ${\rm {{\dot {x}}=f(x)}}$ beschrieben wird und die Ruhelage ${\rm {x=0}}$ besitzt. Die Ruhelage ${\rm {x=0}}$ ist asymptotisch stabil, d.h. alle Lösungen des Differentialgleichungssystem, die in einer Anfangswerte-Umgebung der Ruhelage beginnen, streben in diese Ruhelage, wenn es eine Funktion ${\rm {v(x)}}$ gibt, die folgende Bedingungen erfüllt:

(1) ${\rm {v(0)=0}}$,

(2) ${\rm {v(x)>0}}$ für ${\rm {x\neq 0}}$,

(3) ${\rm {{\dot {v}}(x)={\dot {x}}^{T}grad\;v(x)<0}}$.

Die Funktion ${\rm {v}}$ wird Ljapunow-Funktion genannt.

Obige Bedingungen (1) und (2) bewirken, daß die Funktion ${\rm {v}}$ einen konvexen Graphen mit einem Minimum in ${\rm {x=0}}$ besitzt, d.h. anschaulich die Form einer Tasse aufweist.

Bedingung (3) stellt sicher, daß die Funktion ${\rm {v(x(t))}}$ im zeitlichen Verlauf einer Lösung ${\rm {x(t)}}$ des Differentialgleichungssystems nur abnimmt. Zwangsläufig müssen die Lösungen des Differentialgleichungssystems dann asymptotisch in die Ruhelage ${\rm {x=0}}$ laufen.

Literatur

N. Rouche, P. Habets und M. Laloy: Stability Theory by Liapunov's Direct Method. Springer, 1977.

W. Hahn: Stability of Motion. Springer, 1967.