Benutzer:HeinrichKü/Entwurf „Entwurf und Parametrierung von Standard-Reglern“

Entwurf und Parametrierung von Standardreglern an Regelstrecken

Je nach Anforderung der Qualität des Regelung, der Stückzahl der Regler, die Art der vorhandenen Signale der Strecke, die Art der gegebenen Hilfsstromversorgung und auch ob Sicherheitsvorschriften berücksichtigt werden müssen, kann entschieden werden, ob ein unstetiger Regler, ein analoger Regler, ein digitaler Regler und evtl. redundante Einrichtungen eingesetzt werden können.

Was grundsätzlich bei der Auswahl des Reglers und der Parametrierung interessiert:

zeitliches Verhalten der Regelgröße bis zum Erreichen des Sollwertes,
Höhe der Überschwingung bzw. den Dämpfungsgrad der Ausgangsgröße,
Verhalten des Einflusses der Störgrößen,

(Siehe Artikel Anforderungen an einen Regelkreis)

Nach welchen Gesichtspunkten erfolgt die Parametrierung des Reglers.

Für die Auswahl des Reglers und dessen Parametrierung muss die Regelstrecke bekannt sein. Der idealste Fall wäre gegeben, wenn die Beschreibung der Regelstrecke als Übertragungsfunktion (LZI-System) vorliegen würde. Dies ist jedoch selten gegeben. Deshalb müssen Maßnahmen ergriffen werden, die Übertragungsfunktion der Regelstrecke durch geeignete Verfahren zu ermitteln. Siehe dazu Kapitel „Experimentelle Identifikation von Regelstrecken“

Parametrierung eines PID-Reglers für eine lineare Regelstrecke

Bei den linearen Standardreglern spielen Materialkosten keine Rolle, wenn es um die Entscheidung geht, einen P-, PI-, PD- oder PID-Regler zu verwenden. Es wird hier ein Beispiel des PID-Reglers betrachtet. Wie schon im Kapitel „Lineare Standardregler“ definiert, hat der PID-Regler folgende Eigenschaften:

Er kann 2 PT1-Glieder der Strecke kompensieren und damit die Strecke vereinfachen,
Er hat vermeidet eine statische Regelabweichung,
Bedingt durch den I-Anteil fügt der Regler eine Polstelle mit 180 ° Phasenverschiebung in die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ein.

Allen der nachfolgend geschilderten Verfahren der Parametrierung ist gemeinsam, dass für eine erfolgreiche Dimensionierung des Regelkreises noch weitere Einflüsse berücksichtigt werden müssen:

Bei analogen Bauelementen müssen bei D-Gliedern sogenannte parasitäre Verzögerungen berücksichtigt werden.
Bei analogen und digitalen Reglern müssen Amplituden-Begrenzungen berücksichtigt werden, die das Regelverhalten stark beeinflussen können,
Ein gefordertes Störverhalten muss evtl. auf Kosten des guten Führungsverhaltens berücksichtigt werden.

Regelstrecke für 3 Fallbeispiele:

Es wird eine Regelstrecke 4. Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion betrachtet:

Gs1(s ) = 1 / [(2,4*s+1)*(1,2*s+1)*(0,6*s+1)*(0,1*s+1)]

Beispiel-Anwendungen:

1. Es wird angenommen, dass die Regelstrecke nach G1(s) als Sprungantwort grafisch vorliegt. Ermittlung der Streckenbeiwerte einer Ersatzstrecke aus der Sprungantwort Gs1(s) nach dem Wendetangentenverfahren.

Dimensionierung eines PID-Reglers nach dem Faustformelverfahren.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

2. Dimensionierung eines PID-Reglers für die Strecke Gs1(s) nach dem Verfahren der Polstellen-Nullstellenkompensation.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

3. Von der Regelstrecke Gs1(s) wird angenommen, dass sie nur als Sprungantwort vorliegt und eine Ersatz-Übertragungsfunktion gefunden wurde.

Gs2(s)={\frac {e^{-0,5*s}}{(1,9*s+1)^{2}}}

Dimensionierung eines PID-Reglers nach dem Verfahren der Polstellen- Nullstellenkompensation.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

Beispiel PID-Reglerstruktur für vorgegebene Einstellwerte (Faustformelverfahren)

Für die Verfahren zur Identifikation der Regelstrecke, die sich nicht auf die Definition der Ersatz-Übertragungsfunktion (Ziegler-Nichols, T-Summenregel) sondern auf Einstelldaten für verschiedene Standardregler beziehen, kommt für die Anwendung des PID-Reglers nur die Parallelstruktur in Frage:

GR(s) = Kp*(1+1/(Tn*s)+Tv*s)

Die Werte für die Vorhaltezeit Tv und der Nachstellzeit Tn sind nach dieser Gleichung definiert, wenngleich eine Umrechnung in die Produktdarstellung sich genau so darstellt, wie im nachfolgenden Beispiel definiert, haben die Beiwerte Kp, Tn und Tv eine andere Bedeutung, sie sind mit einander verknüpft.

Nach Chiem, Hrones und Reswick können für die 3 erforderlichen Parameter des PID-Reglers solche Werte gewählt werden, dass für den geschlossenen Regelkreis die Sprungantwort aperiodisch oder mit 20% Überschwingungen verläuft. Des Weiteren können diese beiden Fälle noch mit unterschiedlichen Führungseigenschaften und Störeigenschaften gewählt werden.

Für einen PID-Regler mit Führungsverhalten und aperiodischem Einschwingen der Regelgröße werden folgende Einstellwerte angegeben:

Kp = 0,6*Tg / (Ks*Tu), Tn = Tg, Tv = 0,5*Tu

Man darf davon ausgehen, dass es sich bei diesen Angaben nur um „Annäherungswerte“ handelt, denn es ist nicht bekannt, wie diese Daten entstanden sind:

Ungenauigkeiten beispielsweise bei dem Wendetangentenverfahren als Funktion der Sprungantwort unterschiedlicher Ordnung der Verzögerungsglieder.
Unter welchen Signalbegrenzungen wurden die Einstelldaten gewonnen? Es darf angenommen werden, dass im Jahre 1952 nur Analogrechner zur Verfügung standen.
Wie wurde mit dem D-Glied differenziert, hat man eine parasitäre Zeitkonstante berücksichtigt?
Welche Störungsübertragungsfunktion wurde berücksichtigt. Greift die Störung am Eingang der Strecke oder am Ausgang der Strecke an?

Grafische Darstellung

Die dargestellten 2 Abbildungen beziehen sich auf die Ermittlung der Ersatzstrecke nebst Kennwerten und der Sprungantwort des so dimensionierten Regelkreises mit PID-Regler. Für die Parametrierung des Reglers wurde „Führungsverhalten mit aperiodischem Einschwingen" gewählt. Der Verlauf der Regelgröße zeigt kein aperiodisches Verhalten und ist außerdem schlecht gedämpft.

Beispiel PID-Reglerstruktur für eine Regelstrecke 2. oder höherer Ordnung mit bekannter Übertragungsfunktion

Liegt die Übertragungsfunktion der Strecke vor, empfiehlt sich für die Parametrierung des Reglers die Methode der Polstellen-Nullstellenkompensation anzuwenden. Der PID-Regler wird in Produktschreibweise definiert, d.h. der PID-Regler wird aus den Anteilen der Gesamtverstärkung des offenen Kreises und den beiden PD-Gliedern zusammengefasst.

Gesamtverstärkung K = KPID*Ks
PD-Glied Gr1(s) = Tv1*s+1)
PD-Glied Gr2(s) = Tv2*s+1)
I-Glied Gr3(s) = 1 / s

Damit stehen 2 unabhängige PD-Glieder für die Kompensation von 2 PT1-Gliedern zur Verfügung. Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers lautet damit:

Gr(s) = K*(Tv1*s+1)*(Tv2*s+1) / s

Strategie der Dimensionierung des PID-Reglers nach der Polstellen- Nullstellenkompensation

Es werden die 2 Verzögerungsglieder mit den größten Zeitkonstanten kompensiert. Damit fehlt nur noch die Dimensionierung von K. Der damit wirksame offene „Rest-Regelkreis“ nach der Kompensation besteht noch aus K, I-Glied und einem oder mehreren PT1-Gliedern.

Für die Berechnung der Gesamtverstärkung K des Reglers gibt es einfache Zusammenhänge, die davon abhängen, ob weitere Verzögerungen oder eine Totzeit der Strecke vorliegen.

Durch Analyse eines Regelkreises bestehend aus einem I-Glied und einem PT1-Glied kann man nachweisen, dass für eine bestimmte Kreisverstärkung K für beliebig große PT1-Glieder mit der Zeitkonstante T eine konstante Dämpfung der Regelgröße erreicht wird.

K = 0,5 / T für eine Überschwingung der Sprungantwort von 5 % für alle T-Werte,

K = 0,7 / T für eine Überschwingung der Sprungantwort von 10 % für alle T-Werte.

Liegen noch weitere Verzögerungen vor, können die Zeitkonstanten addiert werden, mit dem Nachteil, dass sich die Dämpfung verschlechtert.

Mit diesen Angaben kann ein PID-Regler für eine nichtschwingende PT3-Regestrecke – also 3. Ordnung – direkt für gutes Führungsverhalten dimensioniert werden.

Bei insgesamt 2 Verzögerungen

Wenn keine weiteren Verzögerungen vorhanden sind, kann für K theoretisch eine unendliche Verstärkung gewählt werden.

Bei insgesamt 3 bis 4 Verzögerungen

Wenn nur eine weitere 3. bzw. eine dominante Zeitkonstante T3 und eine 4. wesentlich kleinere Zeitkonstante T4 vorliegt, gilt folgende Beziehung:

K = 0,7 / T3 oder K = 0,7 / ( T3+T4)

Bei dieser Verstärkung K ergibt sich eine Überschwingung von 10 % für die Sprungantwort!

Grafische Darstellung

Die Sprungantwort zeigt entsprechend der Parametrierung des PID-Reglers den gewünschten Verlauf. Wegen der Zeitkonstante T4 beträgt die Überschwingung anstatt 10% ca. 12%.

Beispiel: PID-Reglerstruktur für eine Regelstrecke mit 2 Verzögerungen und einer Totzeit

Siehe Kapitel „Experimentelle Identifikation von Regelstrecken“

Für die im Beispiel aufgeführte Regelstrecke Gs1(s) wurde aus der Sprungantwort eine Ersatz-Übertragungsfunktion Gs2(s) durch ein Simulationsprogramm gefunden, das aus 2 gleichen PT1-Gliedern und einem Totzeitglied besteht. Der Verlauf der Sprungantworten beider Regelstrecken unterscheidet sich um weniger als 1 % des Maximalwertes. Die Übertragungsfunktion der Ersatzregelstrecke lautet:

Gs2(s) = e^(-sTt) / (T*s+1)² = e^(-s*0,5) / (1,9*s+1)²

Der empfohlene PID-Regler wird in faktorieller Darstellung wie im vorhergehenden Beispiel definiert:

Gr(s) = K*(Tv1*s+1)*(Tv2*s+1) / s

Durch Analyse eines Regelkreises bestehend aus einem I-Glied und einem Totzeitglied kann man nachweisen, dass für eine bestimmte Kreisverstärkung K für beliebig große Tt-Werte eine konstante Dämpfung der Regelgröße erreicht wird.

K = 0,5 / Tt für eine Überschwingung der Sprungantwort von 5 % für alle Tt-Werte,

K = 0,6 / Tt für eine Überschwingung der Sprungantwort von 10 % für alle Tt-Werte.

Die Ermittlung der Parameter erfolgt durch die Polstellen-Nullstellenkompensation.

Tv1 = 1,9 [s], Tv2 = 1,9 [s], K = 0,6 / 0,5 = 1,2 für 10 % Überschwingungen.

Grafische Darstellung

Bei der in diesem Beispiel dargestellten Grafik wird in der Simulation als Regelstrecke die (eigentlich unbekannte) Originalfunktion Gs1(s) berücksichtigt. Die Parametrierung des Reglers erfolgte nach der durch Simulation gefundenen Ersatzfunktion. Die Sprungantworten der beiden Regelstrecken Gs1(s) und Gs2(s) sind nahezu identisch. Der Verlauf der Regelgröße ist ähnlich wie in dem vorherigen Beispiel mit direkter Parametrierung des Reglers nach der Übertragungsfunktion Gs1(s).

Einschränkungen:

Die nach diesen Vorgaben eingesetzte Strategie der Auslegung des PID-Reglers für eine gegebene Regelstrecke nach Beispiel 2 uns 3 ist einfach und ergibt in der Simulation des Regelkreises für eine Sprungantwort ein gutes Führungsverhalten, dass nicht nachjustiert werden muss.

In der Realität müssen die nachfolgend geschilderten Punkte beachtet werden:

Parasitäre Zeitkonstante

Für den Einsatz analoger Regler mit einem D-Glied muss eine kleine parasitäre Zeitkonstante hinzugefügt werden, anderenfalls würde die Ausgangsstufe von der Eingangsimpedanz des D-Gliedes zu stark belastet. Diese zusätzliche Verzögerung führt in dem geschlossenen Regelkreis zu einer Verschlechterung der Dämpfung.

Signalbegrenzungen

Bei analogen Reglern lassen sich Signalbegrenzungen nicht vermeiden. Das Ziel muss sein, wenigstens im Arbeitsbereich des Reglers für eine Regelgröße von 100 % die Begrenzungen erst bei dem 5- bis 10-fachen Wert wirken zu lassen. Die Begrenzung der Strecke muss der des Reglers angepasst sein.

Bei digitalen Reglern ist zu prüfen, ob die Schnittstelle Regler-Strecke die genannten Bedingungen einhält.

Forderungen der Störverhaltens

Wenn die Störgröße am Ausgang der Regelstrecke angreift, bestimmt die sogenannte charakterische Gleichung - das Nennerpolynom - das Verhalten der Störungsübertragungsfunktion. Die charakteristische Gleichung ist für das Führungsverhalten wie auch für das Störverhalten identisch. Durch Erhöhung der Kreisverstärkung wird das Abklingen der Störung reduziert und gleichzeitig die Dämpfung verschlechtert.

Greift die Störung z.B. am Eingang der Regelstrecke an, muss ein Kompromiss zwischen guter Führungs- oder Störungseigenschaft getroffen werden. Eine Reduzierung der Amplitude dieses Störeinflusses erfordert eine Erhöhung der Kreisverstärkung und der Zeitkonstanten Tv. Damit verschlechtert sich die Dämpfung der Regelgröße u.U. erheblich. Ein guter Kompromiss kann mit einem Simulationsprogramm gefunden werden.

Sind die Parameter der Regelstrecke auf Dauer konstant?

Lastenheft für ein Regelsystem:

Für eine anspruchsvolle Regelung – jenseits des Probierverfahrens – ist für die Bestimmung des Reglers neben der Kenntnis des mathematischen Modells der Regelstrecke ein Lastenheft für das Verhalten des Regelkreises erforderlich.

Folgende Kenntnisse der Eigenschaften der Regelstrecke bzw. eines Modells sind erforderlich:

Liegen Signalbegrenzungen im Übertragungssystem vor, z.B. wenn man die erforderliche gerätetechnische Stellgrößeneinrichtung des Reglers in die Regelstrecke einbezieht
Ist eine Totzeit im System vorhanden
Hat die Regelstrecke grenzwertstabile Komponenten (I-Glieder)
Enthält das Übertragungssystem gedämpft schwingende Komponenten, d.h. konjugiert komplexe Pole?
Sind neben den LZI-Systemen nichtlineare Anteile (nichtlineare Kennlinie) im Übertragungssystem enthalten
Enthält das Übertragungssystem instabile Komponenten, d.h. ist die Regelstrecke stabil?
Hat die Regelstrecke mehrere Eingangs- und Ausgangsgrößen, d.h. Einschleifensystem (SISO)- oder Mehrgrößensystem (MIMO).

Folgende Beschreibung der Signale und des Verhaltens der Regelgröße im Regelkreis sind notwendig:

Groß- und Kleinsignalverhalten des Einschwingens der Regelgröße auf den Sollwert.

Hinweis: Das Großsignalverhalten wird durch Signalbegrenzungen innerhalb des offenen Regelkreises gestört!

Art des Einschwingverhaltens der Regelgröße,
Gütekriterien: asymptotisch, überschwingend, Dämpfung , Überschwingweite, Anregel- und Ausregelzeit, stationäre Regelabweichung, Langzeittoleranz
Einfluss, Art und Angriffspunkt der Störgröße z.B. auf den Eingang oder Ausgang der Regelstrecke
Folgeverhalten der Regelgröße nach einer definierten Führungsgröße
Optimierung des Führungs- oder des Störverhaltens
Genügt ein angenähertes Modell der Regelstrecke
Sind für eine besondere Regelstrecke Spezialregler erforderlich, z.B. Kompensation der Störgröße, Kompensation der Totzeit, Vorsteuerungen zur Vermeidung von Folgefehlern, Regler für Mehrgrößensysteme,
Welcher Einfluss der inneren Störgrößen der Hardware (alterungsbedingter Einfluss der Bauteile, Drift, Hysterese, Reibungseffekte usw.) ist in der gesamten Regeleinrichtung zugelassen.

Lösung von Differenzialgleichungen mit Anfangswerten:

Lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beliebiger Ordnung lassen sich im Gegensatz zur klassischen Lösung sehr einfach mit der numerischen Differenzengleichung der Integration lösen.

Beispiel systembeschreibende DGL 2. Ordnung:

a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\,

Es wird die die explizite Form nach der höchsten Ableitung verwendet, d.h. alle Terme der Gleichung werden durch den Koeffizienten a2 dividiert und dann nach ${\ddot {y}}(t)\,$ freigestellt.

${\ddot {y}}(t)={\frac {1}{a_{2}}}\cdot (-a_{0}\cdot y(t)-a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+b_{0}\cdot u(t))$

Jede Ableitung von y(t) wird nach dem Signalflussplan der expliziten Darstellung numerisch durch die Differenzengleichung der Integration integriert. Die Differenzengleichung der numerischen Integration mit der Berechnungsfolge k(0, 1, 2 ...k_MAX) und T = 1 (Euler-Streckenzugverfahren) lautet:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}$

Sämtliche Signaloperationen erfolgen algebraisch

Anfangswerte können einfach für jeden Integrator (Energiespeicher) vorgegeben werden. Da die Integration über ein Integrierglied stattfindet, handelt es sich bei der numerischen Integration um ein unbestimmtes Integral. Es müssen keine Integrationskonstanten wie bei der klassischen Lösung einer Differenzialgleichung ermittelt werden.

Siehe Beispiel des Hauptkapitels "Numerische Berechnung dynamischer Systeme" unter Anwendung numerischer Berechnungen.

Kombinierte nichtlineare und lineare Systeme

Die Zusammensetzung unterschiedlicher Teilsysteme mit einer Totzeit und differenzierendem, verzögerndem, begrenzendem und nichtlinearem Verhalten zu Steuerstrecken und Regelkreisen können nur numerisch berechnet werden.

Lineare Systeme: Für die Beschreibung der linearen Systeme stehen Differenzengleichungen zur Verfügung.

Nichtlineare Systeme können mit Werteangaben in tabellarischer Form benutzt werden.

Begrenzungseffekte erfordern logische zeitunabhängige Gleichungen. (WENN-, DANN-, SONST-Anweisungen)

Totzeitsysteme können durch programmierte Laufzeit-Schleifenbildung beliebiger Rechenprogramme nachgebildet werden bzw. bei Anwendung der Tabellenkalkulation durch die INDEX-Anweisung:

Die Anweisung "INDEX ( Bezug: Spalte; Bereich)" verwendet einen Index, um aus einem Bezug einen Wert zu wählen.

Tabellarische Darstellung der Zwischen- und Endergebnisse. Zum Verständnis des Systemverhaltens und insbesondere des inneren System-Bewegungsablaufs bei Mit- und Rückkopplungen sollten alle Teil- und Endergebnisse numerischer Berechnungen tabellarisch pro Berechnungsfolge k=(0, 1, 2, ...k_MAX) pro Zeile abgelegt werden. Die Programmiersprache numerischer Berechnungen ist beliebig. Es empfiehlt sich die Anwendung der Tabellenkalkulation, weil keine Formatierungsaufgaben erforderlich sind und die grafische Darstellung beliebiger Ergebnisse bereits mitgeliefert wird.

Anfangswertproblem der Integrationskonstanten C_n

Eine homogene DGL n-ter Ordnung hat mindestens einen Anfangswert bis n Anfangswerte. Für die homogene DGL zweiter Ordnung mit 2 vorzugebenden Anfangswerten y₀ > 0 und y'₀ > 0 können die Integrationskonstanten C₁ und C₂ errechnet werden, wenn die Wurzeln der homogen DGL bekannt sind.

Die Integrationskonstanten C₁ und C₂ errechnen sich durch Vorgabe von Anfangswerten y₀ und y'₀, die anstelle von y_H(t) der Lösungsgleichung der homogenen DGL 2. Ordnung eingesetzt werden. Damit ergeben sich 2 Gleichungen für die 2 Anfangswerte. Für y_H = y₀ wird die 1. Gleichung für t = 0 bestimmt. Für die 2. Gleichung mit y_H = y'₀ wird erst die Ableitung der Gleichung und dann die Gleichung für t = 0 errechnet.

Beispiel für eine homogene DGL mit 2 reellen Wurzeln λ₁ = -0,5 und λ₂ = -1 und Anfangswerten der Energiespeicher y'₀(t) = 1; y₀(t) = 1:

Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung:

y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{-0,5}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{-1}\cdot t}

Berechnung der Integrationskonstanten:

y_{0}\ {\xrightarrow {t=0}}\ \ 1=C_{1}+C_{2}\,

{\dot {y}}_{0}\ {\xrightarrow {d/dt}}\ 1=C_{1}\cdot -0,5\cdot e^{{-0,5}\cdot t}+C_{2}\cdot -1\cdot e^{{-1}\cdot t}

{\dot {y}}_{0}\ {\xrightarrow {t=0}}\ \ 1=C_{1}\cdot -0,5+C_{2}\cdot -1\quad =\quad -0,5\cdot C_{1}-C_{2}

Aus den beiden Gleichungen von y₀(t=0) und y'₀(t=0) lassen sich die Integrationskonstanten C₁ und C₂ bestimmen.

Anmerkung: Die Ableitung d / dt von $e^{-a\cdot t}=-a\cdot e^{-a\cdot t}\,$

Dynamische Systeme mit konzentrierten Parametern als Eingrößen- und Mehrgrößensysteme können sich linear, nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und global-proportional, -integral und -differenzial verhalten. Systeme mit konzentrierten Parametern (Feder-Masse-System) haben im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Parametern (z. B. Wärmefluss im homogenen Medium) keine räumliche Ausdehnung.

Modelle für Systeme mit verteilten Energiespeichern

Systemspeicher im dynamischen System

Physikalisch betrachtet ist der Zustand eines dynamischen Systems durch den Energiegehalt der im System vorhandenen Energiespeicher zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt. Das zeitliche Verhalten der Systemausgangsgröße y(t) eines Übertragungssystems zu einem beliebigen Zeitpunkt t = t₀ ist abhängig vom Energiegehalt der Systemspeicher (Anfangswerte), von den Systemparametern und der Systemeingangsgröße
u(t). Die Vorgeschichte des Systems für y(t) zur Zeit t < 0 hat keine Bedeutung für die betrachtete Zeit t > 0.

Lineare zeitinvariante dynamische Systeme mit konzentrierten Speichern (ohne räumliche Ausdehnung!) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen y =f(t) mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Konstante Koeffizienten bedeuten, dass sich das Zeitverhalten des Systems nicht ändert. Diese Systeme können auch in einer speziellen Darstellung der Differenzialgleichung im Zustandsraum y = f(t) oder durch Transformation der Differenzialgleichung zu Übertragungsfunktionen G = f(s) beschrieben werden. Übertragungsfunktionen behandeln keine Anfangswerte, das System mit f(s) ist für den Ruhezustand definiert.

Systeme mit verteilten Energiespeichern Dynamische Systeme mit räumlicher Verteilung der Systemspeicher enthalten verteilte Systemparameter. Beispiel: Wärmefluss in einem homogenen Medium, Spannungsabfall in elektrischen Übertragungsleitungen. Bei diesen Systemen sind die Variablen nicht nur Funktionen der Zeit sondern auch von Ortskoordinaten abhängig. Als Beschreibung eines derartigen Systems gilt allgemein die partielle Differenzialgleichung, bei der die gesuchte Funktion von 2 Variablen abhängig, vom Ort und von der Zeit.

Problematisch ist beispielsweise die zeitabhängige Beschreibung des Wärmeflusses in verschiedenen Medien wie bei Gasen, Flüssigkeiten, Feststoffen und Metallen. Bei einer gewöhnlichen Heizungsregelung handelt es sich bei der Regelstrecke um ein System mit verteilten Energiespeichern in Flüssigkeiten oder Feststoffen.

Kompliziert oder beinahe unmöglich ist die geforderte Systemabgrenzung der in der Praxis bei ausgeführten Übertragungssystemen verschiedenster geometrischer Formen von der Umgebung. Trifft eine bekannte Strahlungsenergie auf ein System, bei dem die Masse, Oberfläche, Homogenität, Wärmewiderstand, Wärmeableitungen unbekannt sind, so kann nur ein messtechnischer Versuch das zeitliche Verhalten der Temperatur an einem bestimmten Ort des Systems zu bestimmten Umgebungsbedingungen klären.

Vereinfachtes Ersatzmodell für Systeme mit verteilten Energiespeichern

Betrachtet man den Temperaturverlauf in einem homogenen Medium an verschiedenen weit entfernten Messorten von der Wärmequelle nach einem positiven Wärme-Energiesprung, so erreicht der am weitesten entfernte Messort am spätesten das Temperatur-Maximum. Nach genügend langer Zeit ist der stationäre Zustand am Messort erreicht, wenn der Wärmezufluss gleich dem Wärmeabfluss ist. Im stationären Zustand beliebiger Messorte sind die Temperaturwerte nach einem Temperatursprung mit steigender Entfernung vom Systemeingang immer kleiner. Die Ursache liegt darin, dass das Medium ein mehr oder weniger guter Wärmeleiter ist, von dem je nach äußeren Abmessungen die Wärmeenergie durch Konvektion, Strahlung oder Ableitung mit anderen Materialien abfließt.

Ein elektrisches Modell zum Verständnis dieses Verhaltens ist eine Kombination von gleichen RC-Gliedern (Widerstand-Kondensator-Schaltung
T = R * C) mit gleichen Zeitkonstanten T. Die Übergangsfunktion (Sprungantwort) eines derartigen Systems mit einer Kette von z. B. 4 RC-Gliedern ohne Abschlussglied in Reihenschaltung lautet:

G(s)={\frac {1}{T^{4}\cdot s^{4}+7\cdot T^{3}\cdot s^{3}+15\cdot T^{2}\cdot s^{2}+10\cdot T\cdot s+1}}

Durch die Nullstellen-Bestimmung und Umrechnung der Pole in Zeitkonstanten wird ersichtlich, dass die Sprungantwort mit zunehmender Ordnung durch eine kleine Totzeit und eine dominante Zeitkonstante (Verzögerungsglied 1. Ordnung) bestimmt wird. Erst wenn dieses RC-Glieder-Modell einen Widerstands-Abschluss erhält, wird mit der zunehmenden Entfernung von der Einspeisung verständlich, dass im stationären Zustand die Spannungsabfälle ortsabhängig sind und die Spannungen an den Kondensatoren kleiner werden.

Das dargestellte grafische Bild zeigt das Temperaturverhalten einer auf einer Sandsteinplatte aufgestrahlte Wärmeenergie an 2 Meßorten. Das Zeitverhalten des Wärmeflusses an beiden Messpunkten entspricht annähernd dem Verhalten eines PT1-Gliedes mit einer dominanten Zeitkonstante und der Reihenschaltung eines sehr kleinen Ersatz-Totzeitgliedes. Das System weist unterschiedliche Ersatz-Zeitkonstanten T_E für den Anstieg und Abfall des Wärmeflusses auf und verhält sich damit auch zeitvariant.

Das mathematische Modell für den Wärmefluss in einem homogenen Medium lässt sich nach der Aufzeichnung der Sprungantwort durch ein einfaches Modell mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied annähern. Die Parameter der Ersatztotzeit T_tE und der Ersatzzeitkonstanten T_E sind anhand des Messprotokolls zu bestimmen.

$G(s)=\left.{\frac {e^{-{T_{tE}}\cdot s}}{(T_{E}\cdot s+1)}}\right\|_{T_{E}=T_{2}\ beiAbfall}^{T_{E}=T_{1}\ beiAnstieg}$

Die Ausgangsgröße y(t) eines dynamischen Übertragungssystems mit konzentrierten oder verteilten Energiespeichern ist abhängig von den Systemeigenschaften und von der gegebenen Eingangsgröße u(t).

Dynamische zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern (z.B. Feder-Masse-Systeme oder elektrische L-, C- und R-Glieder) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Wenn sich das System im Ruhezustand befindet, haben die Energiespeicher den Wert Null. Mit dieser Einschränkung, dass die Anfangsbedingungen der sytembeschreibenden Differenzialgleichung zu dem betrachteten Zeitpunkt t = 0 gleich Null sind, wird die Übertragungsfunktion wie folgt definiert:

Die Übertragungsfunktion ist eine mathematische Beschreibung für das Übertragungsverhalten eines linearen, zeitinvarianten Übertragungssystems im Frequenzbereich (s-Bereich) mit der komplexen Variable $s=\delta +j\cdot \omega \,$ . Sie wird definiert als Quotient der Laplace-transformierten Ausgangsgröße Y(s) zur Laplace-transformierten Eingangsgröße U(s):

G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}

Die Übertragungsfunktion einer systembeschreibenden Differenzialgleichung entsteht durch Anwendung des Differenziationssatzes der Laplace-Transformation, in dem jeder Term der Differenzialgleichung transformiert wird: $Y(s)={{\mathcal {L}}\ [y(t)]};\quad U(s)={{\mathcal {L}}\ [u(t)]}$

Wenn die Ausgangsgröße Y(s) und die Eingangsgröße U(s) ausgeklammert und in ein Verhältnis gesetzt werden, dann entsteht mit dem transformierten linksseitigen Teil der Differenzialgleichung $f(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\cdots )\,$ im Nenner (N) und dem rechtsseitigen transformierten Teil der Differenzialgleichung $f(t;\ u;\ {\dot {u}};\ {\ddot {u}}\cdots )\,$ im Zähler (Z) die Übertragungsfunktion als eine gebrochene rationale Funktion G(s) = Z(s) / N(s).

Die Übertragungsfunktion beschreibt das Eigenverhalten des Übertragungssystems unabhängig von den Signalen und kann beliebig algebraisch behandelt werden. Im Zeitbereich betrachtet, haben die Terme f(s) im Zähler ein differenzierendes Verhalten, die Terme im Nenner f(s) haben ein global verzögerndes oder integrierendes Verhalten. Dies gilt auch für die Behandlung linearer nicht-phasenminimaler (instabiler) Übertragungssysteme.

Der Übertragungsfunktion eines Systems G₁(s) kann die transzendente Funktion des Totzeitgliedes $G_{Tt}(s)=e^{-s\cdot T_{t}}$ multiplikativ angehängt werden G(s) = G₁(s) * G_Tt. Diese Form der Übertragungsfunktion als Gesamtsystem ist nur für Frequenzgang-Analysen geeignet.

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Harmonische Balance

N.M. Krylow und N.N. Bogoljubow verwendeten bereits 1937 den Begriff der Harmonische Balance für das von Ihnen entwickelte Verfahren. Es handelt von einem nichtlinearen zurückgekoppelten dynamischen System gegebenen Dauerschwingungen, diese durch eine harmonische Schwingung anzunähern und damit die Parameter des Schwingungszustandes und die Stabilitätsgrenze berechenbar zu machen.

Ein nichtlineares dynamisches System kann nach dem Hammerstein-Modell in ein statisches nichtlineares System N = f(jω, Nichtlinearität) und ein dynamisches lineares System G(jω) zerlegt werden. Wird der Ausgang des linearen Systems negativ auf den Systemeingang des nichtlinearen Systems zurückgeführt und damit zu einem Regelkreis geschaltet, kann das Gesamtsystem wegen der angenommenen erhöhten Verstärkung des nichtlinearen Systems unabhängig von der Größe der Führungsgröße w(t) = konstant schwingen.

Mit dem Verfahren der harmonischen Linearisierung wird von einem schwingenden nichtlinearen Regelkreis ausgegangen, dessen Ausgangssignal durch das Tiefpass-Verhalten der Regelstrecke eine angenäherte harmonische Schwingung ausführt, die in den Systemeingang negativ zurückgeführt wird. Nur unter diesen Bedingungen darf das nichtlineare statische System als lineares Übertragungsglied mit der Beschreibungsfunktion N(A) definiert werden, welche nur von der harmonischen Eingangs-Amplitude A und nicht von der komplexen Frequenz jω abhängt.

Für eine Vielzahl von nichtlinearen statischen Systemen können die Beschreibungsfunktionen der Fachliteratur der Regelungstechnik entnommen werden. Dies gilt insbesondere die verschiedenen Formen der Kennlinienregler.

Mit der Gleichung der Harmonischen Balance werden die Beziehungen der Beschreibungsfunktion N(A) des statischen nichtlinearen Systems und der des dynamischen linearen Systems G₀(jω) in ein Verhältnis gesetzt. Daraus lassen sich die 2 kritischen Systemgrößen des harmonisch schwingenden Regelkreises - die Eingangs-Amplitude A und die kritische Frequenz ω₀ an der Stabilitätsgrenze - errechnen oder grafisch nach dem Zwei-Ortskurven-Verfahren bestimmen.

Grundlagen des linearen und nichtlinearen schwingenden Systems

Streng genommen sind fast alle Regelkreise nichtlineare Systeme. Die häufigste statische Nichtlinearität ist die Sättigungs-Eigenschaft der Stellgröße des Reglers. So ist bei einem P-Regler trotz erhöhter Regelabweichung keine Signalerhöhung der Stellgröße möglich, weil eine Signalbegrenzung vorliegt. Für diesen einfachen Fall der Signalbegrenzung wird die Regelgröße bei einem Führungsgrößensprung oder einer plötzlich auftretenden Störgröße der Sollwert der Regelgröße nicht so schnell erreicht, als wenn keine Stellgrößen-Begrenzung vorliegen würde.

Wird die P-Verstärkung eines stabilen Regelkreises weiter erhöht, dann wird - vorausgesetzt die Regelstrecke ist ein lineares System > 2. Ordnung - der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze f(P-Verstärkung) instabil und die Regelgröße wird harmonisch mit konstanter oder zunehmender Amplitude schwingen. Dabei ist es nicht gleichgültig, ob eine Stellgrößen-Begrenzung vorliegt oder nicht.

Ruhelagen und Stabilität

Modell der System-Ruhelagen: Zustand 1 ist gegenüber kleinen Störungen stabil und geht bei großen Störungen in Zustand 3 über. Zustand 2 ist labil.

Eine Ruhelage eines dynamischen Systems im schwingungsfreien Zustand ist asymptotisch stabil, wenn nach einer Signalstörung die Ausgangsgröße y(t) wieder in die Ruhelage zurückkehrt. Ein stabiles System neigt dazu, seinen momentanen Zustand beizubehalten, auch wenn Störungen von außen einwirken. Zu jedem Stabilitätsbereich gehört eine Ruhelage und ein Einzugsbereich der Ruhelage. Hat ein nichtlinearer Regelkreis nur eine Ruhelage, so kann man annehmen, dass seine Ausgangsgröße y(t) global asymptotisch stabil ist, sofern keine Dauerschwingungen auftreten. Mit der Harmonischen Balance lassen sich Dauerschwingungen ermitteln.

Instabile Regelsysteme können im Gegensatz zu linearen Systemen mehrere Ruhelagen haben. Ein Pendel hat z. B. eine stabile Ruhelage bei 270° im Bereich von > 90° und < 90° und eine instabile Ruhelage bei 90° im Polarkoordinaten-System.

Ein nichtlineares dynamisches System mit der Ausgangsgröße y(t) hat folgendes Verhalten bei Auslenkung aus einer instabilen Ruhelage:

y(t) geht in eine andere Ruhelage über,
Y(t) strebt in Richtung ∞
y(t) macht eine Dauerschwingung

Stabilität des linearen dynamischem Systems

Ein Übertragungssystem ist intern stabil, wenn alle (Teil-)Übertragungsfunktionen nur Pole in der linken s-Halbebene haben. Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn jedes beliebige beschränkte Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft. (Siehe BIBO-Stabilität)

Die Stabilitätsgrenze eines linearen Regelkreises ist nach dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist erreicht, wenn die Ortskurve des Frequenzgangs (Siehe auch PT2-Glied) genau den kritischen Punkt -1 der Abszisse des Realteils schneidet. Zur Ermittlung der Ortskurve wird der komplexe Frequenzgang in Real- und Imaginärteil zerlegt und für verschiedene Werte der Frequenz ω in der Gaußschen Zahlenebene eingetragen.

Aus einer gegebenen Übertragungsfunktion G(s) oder einem Frequenzgang G(jω) in Produktdarstellung wird der Nenner des Frequenzgangs als Polynom ausmultipliziert und in Realteil und Imaginärteil geordnet.
Damit der imaginäre Anteil im Nenner des Frequenzgangs verschwindet, muss der Real- und Imaginärteil des Nenners mit sich selbst multipliziert werden [ Anmerkung: (jω)² = -ω²; (jω)³ = -jω³ ].
Der Zähler wird mit dem Real- und Imaginärteil des Nenners multipliziert, damit die Gleichung mit der ursprünglichen Aussage unverändert ist.
Der Zähler wird nach Realteil und Imaginärteil geordnet.

Konstruktion einer Ortskurve des Frequenzgangs einer Übertragungsfunktion 3. Ordnung:

Gegeben: Übertragungsfunktion 3. Ordnung mit globalem I-Verhalten und der Verstärkung K.

G(s)={\frac {K}{s\cdot (T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)}}

G(j\omega )={\frac {K}{j\omega \cdot (T_{1}\cdot j\omega +1)(T_{2}\cdot j\omega +1)}}={\frac {K}{-(T_{1}+T_{2})\cdot {\omega }^{2}+j\cdot (\omega -T_{1}\cdot T_{2}\cdot {\omega }^{3})}}

Wird der Realteil des Nenners mit der Hilfsgröße a = -(T₁ + T₂)*ω² und der Imaginärteil des Nenners mit der Hilfsgröße b = ω-T₁*T₂*ω³ bezeichnet, kann der Frequenzgang G(jω) für den Realteil und den Imaginärteil wie folgt berechnet werden:

Zunächs werden die Zahlenwerte der Hilfsgrößen a und b als Funktion von ω = 0 bis ω = ∞ in Stufen von ω-Werten errechnet und in die unten stehende Gleichung des Frequenzgangs G(jω) eingesetzt. Die so errechneten realen und imaginären Anteile des Frequenzgangs werden in das Diagramm der Gaußschen Zahlenebene als Ortskurve des Frequenzgang eingetragen.

Berechnung des Frequenzgangs G(jω):

$G(j\omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-j{\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}$

Für die Berechnung des Schwingungszustandes eines nichtlinearen dynamischen Systems nach dem Zwei-Ortskurven-Verfahren ist die Kenntnis der Konstruktion der Ortskurve des Frequenzgangs des linearen Systems erforderlich!

Zahlenbeispiel der Stabilitätsgrenze eines linearen Regelkreises:

Gegeben: Offener Regelkreis mit einem P-Regler: K = 8 und einer Regelstrecke 3. Ordnung:

\ G_{0}(s)={\frac {8}{(T\cdot s+1)^{3}}}

Gesucht: Verhalten der Sprungantwort für die Führungsgröße w(t) = 1 des geschlossenen Regelkreises.

Nach dem Schließen des Regelkreises mit dieser ungünstigen Regelstrecke mit 3 gleichen Zeitkonstanten wird bereits bei der Verstärkung K = 8 die Stabilitätsgrenze für eine konstante Amplitude der Regelgröße erreicht. Die Ortskurve durchläuft als f(ω = 2 * π * f) beginnend bei f(ω = 0) mit dem Wert Re = 8; ω = 0; Im = 0 den 4., 3. und 2. Quadranten und schneidet die Abszisse des Realteils bei genau Re = -1; Im = 0. Die Ortskurve ändert sich nicht, solange die 3 Zeitkonstanten einen beliebigen aber untereinander den gleichen Wert (T₁ = T₂ = T₃ = T) haben.

Wird die Verstärkung K > 8 erhöht, dann treten progressiv zunehmend größere Amplituden mit steigender Zeit auf. Die Ortskurve des Frequenzgangs schneidet die Abzisse bei Werten < -1. Wird die Verstärkung K < 8 reduziert, dann nehmen die Amplituden der Regelgröße einen aperiodischen gedämpften Verlauf und die Regelgröße nimmt nach der Einschwingzeit einen konstanten Wert an. Die Ortskurve schneidet die Abszisse bei Werten > -1.

Besteht die Regelstrecke nur aus einen Verzögerungssystem 2. Ordnung mit einem P-Regler beliebig hoher Verstärkung, kann es theoretisch nicht zu Dauerschwingungen kommen, weil die Ortskurve des Frequenzgangs nur den 4. und 3. Quadranten der Gaußschen Zahlenebene durchläuft und den kritischen Punkt Re = -1 nicht treffen kann.

Stabilität des nichtlinearen dynamischen Systems

Bei einem nichtlinearen statischen System kann die Übertragungskennlinie als eine in weiten Grenzen sich ändernde Verstärkung angesehen werden. Das System antwortet auf ein sinusförmiges Eingangssignal meist mit einer Verzerrung der Schwingung des Eingangssignals gleicher Frequenz und einer Phasenverschiebung. Lediglich ein symmetrisches Zweipunkt-Element (Zweipunktregler) ohne Hysterese, ohne Totzone und Signalbegrenzung antwortet auf eine harmonische Eingangsschwingung mit einer Rechteckschwingung der gewählten Amplitude d der gleichen Frequenz ohne eine Phasenverschiebung.

Das einfache Zweipunkt-Element mit der Rechteck-Amplitudenhöhe d definiert sich als Signum-Funktion mit u(t) als Ausgangsgröße:

u(t)=f[e(t)]=d\cdot sign[e(t)]{\begin{cases}d,f{\ddot {u}}r\ e(t)>0,\ =stabil\\0,f{\ddot {u}}r\ e(t)=0,\ =instabil\\-d,f{\ddot {u}}r\ e(t)<0,\ =stabil\end{cases}}

Das Zweipunkt-Element hat zwei Ruhelagen. Es erzeugt in Abhängigkeit des Eingangssignals e(t) 2 Stellgrößen. Der Zustand u(t) = 0, für e(t) = 0 ist nur dann ein stationärer Wert, wenn dem Zweipunkt-Element eine Totzone f(e) eingerichtet wird. Damit würde aus dem Zweipunkt-Element ein Dreipunkt-Element entstehen.

Sonderfälle sind gegeben, wenn das statische nichtlineare System eine quadratische oder eine exponentielle Kennlinie aufweist. Für eine sinusförmige Erregung mit quadratischer Kennlinie des Systems antwortet das System mit einer doppelten sinusförmigen Frequenz und Gleichanteil (verschobener Arbeitspunkt), das System mit exponentieller Kennlinie antwortet mit einem sinusähnlichen Impuls mit großem Oberwellenanteil.

Wird ein nichtlineares dynamisches System 2. und höherer Ordnung durch ein Eingangssignal u(t) mit einer sinusförmigen Schwingung angeregt, so antwortet das System meistens mit einer angenähert sinusförmigen Schwingung gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude und phasenverschoben. Ist das statische nichtlineare System ein schaltender Regler, so wird in einem offenen Regelkreis (Steuerkette) trotz steiler Impulsflanken des rechteckförmigen Regler-Ausgangssignals bei genügend großer Frequenz durch das Tiefpassverhalten des linearen dynamischen Systems ein angenähertes sinusförmiges Ausgangssignal erreicht.

Nichtlineare Systeme sind häufig einzigartig, jedoch können aus dem nichtlinearen statischen System Verhaltensweisen definiert werden, die bei gegebenen Parametern eine Systembeschreibungsfunktion erlauben. Darunter fallen Elemente mit Begrenzung, Totzone, Hysterese, progressiver Kennlinie und die sogenannten Kennlinienregler wie Zweipunkt und Mehrpunktregler, die sich in zahlreichen Varianten wie folgt darstellen:

Zweipunkt-Element (Zweipunktregler) symmetrisch und unsymmetrisch mit und ohne Hysterese
Dreipunkt-Element (Dreipunktregler) symmetrisch und unsymmetrisch mit und ohne Hysterese
Mehrpunkt-Element
Element mit progressiver Kennlinie symmetrisch und unsymmetrisch
Element mit degressiver Kennlinie, symmetrisch und unsymmetrisch
Elemente mit Begrenzung symmetrisch und unsymmetrisch
Elemente mit Totzone symmetrisch und unsymmetrisch
Elemente mit Totzone und Begrenzung
Elemente mit Vorspannung
Gleichrichter-Element
Betragselement

Laut der Fachliteratur können bis zu 40 unterschiedliche Beschreibungsfunktionen nichtlinearer statischer Systeme entnommen werden, die das nichtlineare Systemverhalten N(A) nur für ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude A beschreiben. ^[1]

Harmonische Linearisierung

Festlegung der Signalgrößen

In der bekannten Fachliteratur der Regelungstechnik sowie in den aktuellen Vorlesungs-Manuskripten deutscher Hochschulen findet man für die harmonische Linearisierung kaum eine identische mathematische Ableitung aus der Fourieranalyse, noch identische System- und Signalbezeichnungen. Das liegt daran, dass für Signalbezeichnungen eines Einzelsystems z.B. mit Xe und Xa, X und Y, U und Y, E und U bezeichnet werden. Die Gleichung der Fourieranalyse und deren Vereinfachung unterscheidet sich ebenfalls durch die unterschiedlichen Verwendung der harmonischen Sinus- oder Cosinusschwingung mit oder ohne Gleichanteile, unterschiedlicher Integrationsgrenzen und unterschiedlicher Berechnung der Koeffizienten. Auch sind die Ergebnisse der Beschreibungfunktionen unter verschiedenen Namen (öfter N(A), N(U₀), $B({\hat {X}}e)\,$ , $N({\hat {X}}e)\,$ ) als Funktion der Amplitude der Eingangsgröße des nichtlinearen Systems mit zahlreichen Kennlinien-Regler-Funktionen nicht übereinstimmend, weil geometrischen Eckwerte des statischen nichtlinearen Systems mit den Hilfsgrößen (meist a, b, c) in unterschiedlicher Weise benutzt werden.

Nachfolgend wird von den international verwendeten Systemgrößen des Regelkreises ausgegangen: Führungsgröße w(t) = 0, Reglereingangsgröße e(t), Reglerausgangsgröße (Nichtlinearität) u(t) und linearer Regelstrecken-Ausgang y(t). Die folgenden dargestellten mathematischen Ableitungen sind der Fachliteratur ^[2] nachempfunden.

Methode der harmonische Linearisierung

Die Methode der harmonischen Linearisierung geht gemäß des Hammerstein-Modells von der Annahme aus, dass die von dem nichtlinearen System erzeugten Oberwellen durch das nachfolgende lineare System mit Tiefpassverhalten unwirksam (gefiltert) werden.

Aus der Sicht der Regelungstechnik wird für ein nichtlineares dynamisches System häufig das Hammerstein-Modell - im Gegensatz zum Wiener-Modell - eingesetzt, weil in vielen Fällen die zum Regler gehörende Stellgröße nichtlinear ist.

Das Verhalten des Reglers als nichtlineares statisches System N kann durch eine in weiten Grenzen sich ändernde Verstärkung N(e_MAX) angesehen werden, wodurch bei einem sinusförmigen Eingangssignal e(t) = e_MAX*sin(ωt) eine Signalverzerrung und Phasenverschiebung φ des Ausgangssignals u(t) = f[e(t), N(e_MAX)] hervorgerufen wird. Häufig ist die Abhängigkeit von N(e_MAX) durch bekannte Parameter oder durch die Größe der Amplitude e_MAX des sinusförmigen Eingangssignals e(t) bestimmt, deshalb ist das Großsignal-Verhalten des Systems zu untersuchen, "Stabilität im Großen".

Für eindeutige nichtlineare Kennlinien wie das Zweipunkt-Element, d.h. für jedes statische Eingangssignal e gibt es nur ein statisches Ausgangssignal u, ist die Beschreibungsfunktion reell, d.h. die Phasenverschiebung φ = 0.

Vereinfachung der Beschreibungsfunktion im Zustand der Dauerschwingung

Die Eingangsgröße e(t) des statischen nichtlinearen Systems soll eine harmonische Sinusschwingung ohne Gleichanteil sein:

e(t)=e_{MAX}\cdot sin(\omega \cdot t)

Die verzerrte Ausgangsschwingung u(t) lässt sich als Fourier-Reihe schreiben, als eine Summe aus einem Gleichwert a₀ und aus den Sinussignalen der Grundfrequenz a1 * sin(ω₀ * t + φ₁) und den Oberschwingungen als Vielfache der Grundfrequenz.

u(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cdot cos(n\cdot 2\pi t/T)+b_{n}\cdot sin(n\cdot 2\pi t/T)]\quad mit\quad \omega =2\cdot \pi /T=2\cdot \pi \cdot f

.

Die Ausgangsgröße u(t) kann je nach Verhalten des nichtlinearen Systems einen Gleichanteil a₀ enthalten. Es interessiert aber nur das Schwingverhalten.

Wenn das nachgeschaltete lineare System G(jω) die verzerrte sinusähnliche Eingangsschwingung als Tiefpassfilter stark genug dämpft, werden die hohen Frequenzen im Vergleich zu den niedrigeren sehr stark unterdrückt. Für diese Betrachtung werden die Anteile der Oberschwingungen als vernachlässigbar angenommen.

u(t)\approx a_{0}+a_{1}\cos(\omega \cdot t)+b_{1}\sin(\omega \cdot t)

Die Beschreibungsfunktion des statischen nichtlinearen Systems ergibt sich durch das Verhältnis der Grundwellen des Ausgangssignals u₁(t) zum Eingangssignal e₁(t). Sie berücksichtigt nur die Grundschwingung des Ausgangssignals ohne den Gleichanteil a₀.

Eingangssignal:

e_{1}(t)=e_{MAX}\cdot sin(\omega \cdot t)

Ausgangssignal:

u_{1}(t)=a_{1}\cos(\omega \cdot t)+b_{1}\sin(\omega \cdot t)

Mit der komplexen Darstellung der beiden Signale ergibt sich die Beschreibungsfunktion nach der Euler-Formel:

\cos(\omega \cdot t)+j\cdot \sin(\omega \cdot t)=e^{j\omega t}

\cos(\omega \cdot t)+j\cdot \sin(\omega \cdot t)\cdot e^{-j\pi /2}=-j\cdot e^{j\omega t}

e_{1}(j\omega t)=-j\cdot e_{MAX}\cdot e^{j\omega t}

u_{1}(j\omega t)=(a_{1}-j\cdot b_{1})\cdot e^{j\omega t}

Beschreibungsfunktion N(e_MAX) des nichtlinearen Systems:

N(e_{MAX})={\frac {u_{1}(j\omega t)}{e_{1}(j\omega t)}}={\frac {(a_{1}-j\cdot b_{1})\cdot e^{j\omega t}}{-j\cdot e_{MAX}\cdot e^{j\omega t}}}

Die Eingangsamplitude e_MAX der Sinusschwingung des nichtlinearen Systems wird häufig auch mit A bezeichnet.

$N(A)={\frac {b_{1}+ja_{1}}{A}}={\frac {b_{1}}{A}}+j{\frac {a_{1}}{A}}$

a₁ und b₁ sind die Koeffizienten der ersten Grundschwingungen des nichtlinearen Systems.

Für die zahlreichen Formen der sogenannten Kennlinienregler lassen sich anhand der Geometrie der Kennlinien mit diesen Koeffizienten (häufig mit a, b, c, bezeichnet) die Fourier-Koeffizienten a₁ und b₁ der nichtlinearen Beschreibungsfunktionen N(A) errechnen.

a_{1}={\frac {2}{T}}\cdot \int _{-T/2}^{T/2}u(t)\cdot cos(\omega t)dt\qquad mit\quad \omega ={\frac {2\cdot \pi }{T}}

b_{1}={\frac {2}{T}}\cdot \int _{-T/2}^{T/2}u(t)\cdot sin(\omega t)dt\qquad mit\quad \omega ={\frac {2\cdot \pi }{T}}

Die Beschreibungsfunktionen sind abhängig von der Funktion des nichtlinearen Kennlinien-Elements.

Der Ausgang eines sysmmetrischen Zweipunkt-Elements schwingt als Funktion der Eingangsschwingung synchron mit den Nulldurchgängen ohne Phasenverschiebung.
Unsymmetrische Mehrpunkt-Elemente (Amplitude d ≠ |-d|) erzeugen einen Gleichanteil.
Bei Kennlinien-Elementen mit Hysteresefunktionen sind die Beschreibungsfunktionen komplex.

Die Aufstellung und umfangreichen Ableitungen der Beschreibungsfunktionen N(A) der zahlreichen Kennlinien-Elemente sind der Fachliteratur der Regelungstechnik zu entnehmen.

Beispiele bekannter Beschreibungsfunktionen von Kennlinien-Elementen:

Benennung Nichtlineares System	Beschreibungsfunktion $N(A)=Re(A)+jIm(A)$	Nichtlineare Kennlinie und invertierte Ortskurve $-{\frac {1}{N(A)}}$
Zweipunkt-Regler	$Re(A)={\frac {4\cdot b}{\pi \cdot A}}$ $j\cdot Im(A)=0\,$
Zweipunkt-Regler mit Hysterese	$Re(A)={\frac {4\cdot b}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-{({\frac {a}{A}}})^{2}}}$ $j\cdot Im(A)=\ -{\frac {4\cdot a\cdot b}{\pi \cdot A^{2}}}$	Datei:Beschreibungsfunktion.png
Begrenzung (Sättigung)	$Re(A)={\frac {2\cdot b}{\pi \cdot a}}\cdot arcsin{\frac {a}{A}}+{\frac {2\cdot b}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-{({\frac {a}{A}}})^{2}}}$ $j\cdot Im(A)=0\,$	Datei:Beschreibungsfunktion.png
Element mit Totzone	$Re(A)=m-n\cdot [{\frac {2}{\pi }}\cdot arcsin{\frac {a}{A}}+{\frac {2\cdot a}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-{({\frac {a}{A}}})^{2}}}]$ $j\cdot Im(A)=0\,$	Datei:Beschreibungsfunktion.png
Dreipunkt-Element u = f(e) $u={\begin{cases}-d,\ f{\ddot {u}}r\ e\leq -c,\\0,\ f{\ddot {u}}r\ -c<e<c,\\d,\ f{\ddot {u}}r\ c\leq e.\end{cases}}$	$Re(A)={\frac {4\cdot b}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-{({\frac {a}{A}}})^{2}}}$ $j\cdot Im(A)=0\,$	Datei:Beschreibungsfunktion.png

Gleichung der Harmonischen Balance

Für das Verfahren der Harmonischen Balance wird der geschlossene Regelkreis an der Stabilitätsgrenze für die Führungsgröße w(t) = 0 betrachtet.

Die Ausgangsgröße des linearen Systems gilt:

\ Y(j\omega )=G(j\omega )\cdot U(j\omega )

Die Nichtlinearität verhält sich im Schwingungsgleichgewicht wie ein lineares Übertragungsglied.

\ U(j\omega )=N(A)\cdot E(j\omega )=N(A)\cdot -Y(j\omega )

Mit E(jω) = -Y(jω) ergibt sich aus den 3 Gleichungen die Charakteristische Gleichung des Regelkreises, die mit Gleichung der Harmonischen Balance bezeichnet wird:

\ G(j\omega )\cdot N(A)=-1

Die häufigste Schreibweise der Gleichung der Harmonischen Balance lautet:

$\ G(j\omega )=-{\frac {1}{N(A)}}$

Die Lösung der Gleichung der Harmonischen Balance kann formelmäßig-numerisch oder grafisch nach dem Zwei-Ortskurven-Verfahren erfolgen.

Die in der Gleichung der Harmonischen Balace dargestellte negative, invertierte Ortkurve der Beschreibungsfunktion N(A) kann in das gleiche Diagramm der Ortskurve des Frequenzgangs G(jω) eingetragen werden. Schwingt das System, ergibt sich ein Schnittpunkt der beiden Ortskurven. Daraus kann die Amplitude A und die Frequenz ω = 2*π*f abgelesen werden.

Einzelnachweise

↑ Autor=Holger Lutz, Wolfgang Wendt / Taschenbuch der Regelungstechnik; Kapitel: Nichtlineare Regelungen, Tabelle: Nichtlineare statische Elemente.
↑ Autor=Holger Lutz, Wolfgang Wendt / Taschenbuch der Regelungstechnik: Kapitel: Harmonische Linearisierung mit der Beschreibungsfunkjtion

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Literatur:

Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik: Mit MATLAB und Simulink. 8. Auflage. Harri Deutsch, 2010, ISBN 978-3-8171-1859-5.
Manfred Reuter, Serge Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure: Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen. 12. Auflage. Vieweg+Teubner, 2008, ISBN 3-8348-0018-X.

Referenzen: ^[1]

^[2]

Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie, Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik. 4. Auflage. Teubner-Verlag, 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.

Einzelnachweise

↑ Prof. Dr. May-Britt Kallenrode, Universität Osnabrück, Fachbereich Physik: Vorlesungsmanuskript "Mathematik für Physiker", Kapitel: "Differentialgleichungen", 611 Seiten, ausgestellt 2007.
↑ Autor=Holger Lutz, Wolfgang Wendt / Taschenbuch der Regelungstechnik: Kapitel: Nichtlineare Regelungen

Formatierungs-Formelsammlung

G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{Rechtsseitige\ DGL\ f(u)\right\}\ =Polynom\ Z{\ddot {a}}hler(s)}{{\mathcal {L}}\left\{Linksseitige\ DGL\ f(y)\right\}\ =Polynom\ Nenner(s)}}

A_{2}=\left.{\frac {6}{(s)\cdot (s+4)}}\right|_{s=-2}=-1,5

G(s)=\left.{\frac {1}{(T\cdot s+1)^{n}}}\right|_{T=T_{2}\ beiAbfall}^{T=T_{1}\ beiAnstieg}

u(t)=f[e(t)]=d\cdot sign[e(t)]{\begin{cases}d,f{\ddot {u}}r\ e(t)>0,\\0,f{\ddot {u}}r\ e(t)=0,\\-d,f{\ddot {u}}r\ e(t)<0,\end{cases}}

G(s)={\begin{cases}{\frac {b_{0}}{a_{0}}}\cdot (1-e^{-a_{0}\cdot t}),&{\text{wenn }}a_{0}\not =0\\b_{0}\cdot t,&{\text{wenn }}a_{0}=0\end{cases}}

G(s)={\begin{cases}{\frac {1}{({\frac {T}{n}}\cdot s+1)^{n}}},&{\text{wenn }}a_{0}\not =0\\{\frac {1}{({\frac {T}{n}}\cdot s+1)^{n}}},&{\text{wenn }}a_{0}=0\end{cases}}

"background-color:#F0FFF0" hellgrün

FFEFDB braun
FFF8DC gelb
FFF5EE hellbraun

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}$

F(j\omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-j{\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}

F(j\omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-j{\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}

$F(j\omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-j{\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}$

g(t)=\sum _{k=1}^{n}A_{k}\cdot e^{\delta _{k}\cdot t}\cdot (\cos(\omega _{k}\cdot t)+j\cdot sin(\omega _{k}\cdot t))

y(t)=\lim _{t\to \infty }K\cdot T_{V1}\cdot 0=0\,

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\color {red}b^{2}-4ac}}}{2a}}$

|G\cdot (j\omega )|=1\,

g(t)=K\cdot (1-2\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}})

y_{P}(t)=b_{0}\underbrace {\int _{0}^{t}e^{-a_{0}\cdot (t-\tau )}\cdot u(\tau )\cdot d\tau } _{Faltungsintegral}

y_{(0)}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}\quad {\xrightarrow {t=0}}\quad y_{(0)}(t)=C_{1}+C_{2}

u_{\delta }(t)\longrightarrow {\mathcal {L}}^{-1}\quad {\widehat {=}}\quad U_{\delta }(s)=1\,

y_{0}\ {\xrightarrow {t=0}}\ \ 1=C_{1}+C_{2}\,

{\underline {\underline {y_{H}(t)=-e^{-0,5\cdot t}+2\cdot e^{-t}}}}

In der impliziter Form lässt sich eine DGL n-ter Ordnung wie folgt beschreiben:

F(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots y^{(n)})\,=0

Ist die implizit dargestellte DGL nach der höchsten Ableitung y⁽ⁿ⁾ auflösbar, so ergibt sich die explizite Form:

y^{(n)}=f(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots y^{(n-1)})\,

Kein ß im Text: $Grosse\ Klammer:\ G_{n}(s)=e^{-s\cdot T_{t}}\,\approx \,{\biggl (}{\frac {1-{\frac {T_{t}}{2\cdot n}}\cdot s}{1+{\frac {T_{t}}{2\cdot n}}\cdot s}}{\biggr )}^{n}$

Umlaute\ Text:\ f{\ddot {u}}r\ x=1\,

Nummerierung:

Text Überschrift 1:
- Text A
- Text B
Text Überschrift 2:
- Text C
- Text D

Zum Beispiel:

z. B.

Bilder

Du kannst für Dich eine größere thumb bzw. Bilddarstellung wählen, unter Einstellungen. Fixe Pixel-Grössen im Artikel sind nicht ideal, da Du von Deiner Bildschirmgeometrie ausgehst, welche nicht bei allen anderen Benutzern ident sein muss. Im Regelfall sind relative Bildgrössen besser als wie fixe Pixelangaben.

Der Default mit 180px für thumb ist für die Schaltbilder zu klein. Die festen Pixelgrössen sind nicht ideal, aber die PNG Dateien sind eher schlecht skalierbar. Auch wenn dies die Ausnahme ist, ich würde gerne bei fester Pixelgrösse bleiben. Die Schaltbilder sind mit 300 bis 500 Pixel Breite noch nicht so gross.

Es gibt auch die Möglichkeit, die Bilder grösser darzustellen und trotzdem die Grösse relativ anzugeben: Mit dem Parameter upright oder hochkant. Mit upright=1.6 wird zum Beispiel die Hartley-Schaltung lesbar angezeigt. Diese Methode wird bei Hilfe:Bilder#Bilder skalieren erklärt und auch ausdrücklich zugelassen.

Das "upright" ist auch eine gute Option. Wenn ich punkto Bildformat noch auf die Möglichkeit von Vektorformaten wie SVG statt Pixel-Grafiken wie PNG/GIF hinweisen darf: Mit (kostenfreien) Programmen wie Inkscape sind durchaus hübsche Schaltskizzen schnell gezeichnet, mit dem Vorteil der Skalierbarkeit über weite Grenzen.

Linksammlung

Hinweis: "Da" für Diskussion des Artikels Regelkreis:
da

Kapitel: Testsignale im Artikel Regelstrecke:

Regelstrecke#Testsignale

Kapitel: Testsignale im Artikel Regelstrecke mit der Darstellung "Testsignale":

Testsignale

Diskussion: "Redundanz-Baustein" im Artikel Regelkreis hat ein Komma

Diskussion:Regelkreis#Redundanz-Baustein,

Diskussion: Regelkreis für "Regelung im Zustandsraum"

Diskussion:Regelkreis#Regelung im Zustandsraum

Diskussion: Artikel Regelkreis für "Regelung im Zustandsraum" mit Spezialhinweis:

Diskussion im Artikel Regelkreis "Regelung im Zustandsraum"