Bayes-Spiel

Ein Bayes-Spiel ist ein Spiel mit unvollständiger Information, welches nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes benannt ist. Das Bayestheorem, mit dessen Hilfe man bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen kann, bildet die Grundlage für Lösungskonzepte dieser Spielart.

Weiterhin kann man auch Spiele mit imperfekter Information als Bayes-Spiel modellieren, indem man die imperfekten Informationen des Spiels in unvollständige Informationen umwandelt.

Definition

Ein Spiel mit unvollständiger Information gibt es mindestens einen Spieler, welcher nicht sämtliche, für das Spiel entscheidende Informationen (i.A. Auszahlungsfunktionen) über die anderen Spieler besitzt.

Um solche Spiele analysieren und lösen zu können, müssen Vermutungen über die Strategien und Entscheidungen der anderen Spieler in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (meist beliefs genannt) aufgestellt werden.

Nach einem Modell von John C. Harsanyi, kann man einen weiteren Spieler einführen, welcher alle Zufallsentscheidungen trifft bevor im eigentlichen Spiel die Spieler ihre Entscheidungen treffen. Diesen neuen Spieler wird im Allgemeinen als "Natur" bezeichnet. In diesem Modell lassen sich die selben Lösungskonzepte wie bei Spielen mit vollständiger Information anwenden.

mathematische Grundlagen (Satz von Bayes)

Mit Hilfe des Satz von Bayes oder auch Bayestheorem lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen:

$P(A_{i}|B)\;=\;{\frac {P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}{P(B)}}$

unvollständige und imperfekte Information

In einem Spiel mit imperfekter Information gibt es mindestens einen Spieler, welchem nicht jede zuvor getroffene Entscheidung (sowohl anderer Spieler als auch Zufallsentscheidungen) bekannt ist. Beispielsweise ist in Kartenspielen die Verteilung der Karten zufällig und damit in den meisten Fällen unbekannt. Betrachtet man die Verteilung der Karten als ersten Zug des Spielers "Natur", so haben die Spieler imperfekte Information über die bisher getroffenen Entscheidungen. Im Gegensatz dazu ist Schach ein klassisches Beispiel für Spiele mit perfekter Information.

Spiele mit imperfekter Information können a Priori nicht als Bayes-Spiel betrachtet werden. Allerdings kann man mit Hilfe der Harsanyi-Transformation