Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit den Koeffizienten $a,b,c$ und der Unbekannten $x$ von der Form

ax^{2}+bx+c=0,\quad (a\neq 0)

.

Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Polynom zweiten Grades, geometrisch beschreibt die Gleichung die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , also die $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte des zu $f$ gehörenden Graphen (einer Parabel) mit der x-Achse in der $x$ - $y$ -Ebene.

Ist in der Gleichung $b=0$ , dann spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

Allgemeine Form und Normalform

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

ax^{2}+bx+c=0\qquad (a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0)

.

Dabei heißt $ax^{2}$ quadratisches Glied, $bx$ lineares Glied und $c$ Absolutglied (oder auch konstantes Glied) der Gleichung. Die Gleichung ist in Normalform, wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat:

x^{2}+px+q=0\qquad (p,q\in \mathbb {R} )

.

Aus der allgemeinen Form lässt sich äquivalent die Normalform gewinnen, indem durch $a\neq 0$ dividiert wird. Es gilt dann:

p={\frac {b}{a}}

und

q={\frac {c}{a}}

Lösungen der quadratischen Gleichung

Im Folgenden werden quadratische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten und Lösungen betrachtet. Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt.

Diskriminante

Die Anzahl der Lösungen lässt sich an dem Ausdruck $b^{2}-4ac$ im allgemeinen Fall, beziehungsweise $p^{2}-4q$ im normierten Fall ablesen. Daher nennt man diesen Ausdruck Diskriminante, von lateinisch „unterscheiden“:

Ist die Diskriminante Null, so ergibt sich eine einzelne, doppelte Lösung (zwei Lösungen mit identischen Werten).
Ist die Diskriminante ungleich Null, so ergeben sich zwei verschiedene Lösungen.

Bei reellen Koeffizienten kann man noch feiner unterscheiden. Es gibt folgende Möglichkeiten:

Anzahl der reellen Nullstellen

Lage der quadratischen Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen reellen Nullstellen und Diskriminante:

(A) Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ ,
(B) Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der $x$ -Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form $ax^{2}+bx+c=a\cdot (x-x_{1})^{2}=0$ bringen.
(C) Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Einfache Spezialfälle

Fehlendes lineares Glied

Die reinquadratische Gleichung $ax^{2}+c=0$ mit $a\neq 0$ ist äquivalent zu $x^{2}=-{\tfrac {c}{a}}$ . Die Lösungen lauten $x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\tfrac {c}{a}}}}$ mit einer beliebigen komplexen Quadratwurzel der komplexen Zahl $-{\tfrac {c}{a}}$ . Im reellen Fall existieren für ${\tfrac {c}{a}}>0$ keine reellen Lösungen. Zum Beispiel hat die Gleichung $x^{2}-3=0$ die Lösungen $x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}$ . Die Gleichung $2x^{2}+8=0$ hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten $x_{1,2}=\pm 2\mathrm {i}$ .

Fehlendes konstantes Glied

Aus der Gleichung $ax^{2}+bx=0$ ergibt sich durch Ausklammern $x(ax+b)=0$ , d. h., es muss $x=0$ oder $ax+b=0$ gelten. Die beiden Lösungen lauten also $x_{1}=0$ und $x_{2}=-{\tfrac {b}{a}}$ . Zum Beispiel hat die Gleichung $3x^{2}-2x=0$ die Lösungen $x_{1}=0$ und $x_{2}={\tfrac {2}{3}}$ .

Allgemeine Lösungsformeln

Zum Lösen quadratischer Gleichungen kann man die quadratische Ergänzung oder mit ihrer Hilfe hergeleitete allgemeine Formeln benutzen:

Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (a-b-c-Formel)

Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung lauten:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

(Die Formel wird in Teilen Deutschlands umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie auswendig kennen sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt. In Österreich ist der Ausdruck große Auflösungsformel gebräuchlich.)

Lösung der a-b-c-Formel bei negativer Diskriminante

Ist die oben eingeführte Deskriminante D negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Dabei gilt ${\sqrt {D}}=i{\sqrt {-D}}$ . Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Resultate, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. Der Term davor mit $-{\frac {b}{2a}}$ wird zum konstanten Realteil der beiden Resultate:

x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm i\cdot {\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}

(komplexer Fall bei negativer Diskriminante).

Herleitung der a-b-c-Formel

Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

{\begin{array}{rcl}ax^{2}+bx&=&-c\\\\x^{2}+{\dfrac {b}{a}}x&=&-{\dfrac {c}{a}}\\\\x^{2}+2{\dfrac {b}{2a}}x&=&-{\dfrac {c}{a}}\\\\x^{2}+2{\dfrac {b}{2a}}x+\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}&=&\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {c}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}&=&{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\\\x_{1,2}+{\dfrac {b}{2a}}&=&\pm {\sqrt {\dfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\\\x_{1,2}&=&-{\dfrac {b}{2a}}\pm {\dfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\\\x_{1,2}&=&{\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{array}}

Lösungsformel für die Normalform (p-q-Formel)

Bei Vorliegen der Normalform $x^{2}+px+q=0\quad$ lauten die Lösungen nach der p-q-Formel

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}

.

(In Österreich ist die Formel als kleine Auflösungsformel bekannt.)

Lösung der p-q-Formel bei negativer Diskriminante

Analog zur a-b-c-Formel ergeben sich die Lösungen zu:

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm i\cdot {\sqrt {q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}}

Herleitung der p-q-Formel

Aus der Normalform ergibt sich die Lösung durch Quadratische Ergänzung analog der Herleitung der a-b-c-Formel oder durch Einsetzen von 1, p und q für a, b und c in die a-b-c-Formel und eine kleine Umformung.

Zerlegung in Linearfaktoren

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})

und das nicht normierte in

ax^{2}+bx+c=a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})

Satz von Vieta

Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ , so gilt

0=x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}

.

Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta

\,x_{1}+x_{2}=-p

und

x_{1}\cdot x_{2}=q

.

Insbesondere wenn p und q ganze Zahlen sind lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von q als Summe -p ergeben, mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden. Beispielsweise erhält man für $x^{2}+4x+3=0$ die Lösungen $x_{1}=-1$ und $x_{2}=-3$ durch die Zerlegung $3=(-1)(-3)$ mit $(-1)+(-3)=-4$ .

Numerische Berechnung

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

x_{1}=-{\frac {p}{2}}-\operatorname {sgn}(p)\cdot {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}

x_{2}={\frac {q}{x_{1}}}

Hierbei hat sgn(p) den Wert −1 für p < 0 und sonst den Wert 1. Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

Beispiel

Für die Gleichung

4x^{2}-12x-40=0.

ergeben sich als Lösungen nach der abc-Formel:

x_{1,2}={\frac {-(-12)\pm {\sqrt {(-12)^{2}-4\cdot 4\cdot (-40)}}}{2\cdot 4}},

also $x_{1}=-2$ und $x_{2}=5$ .

Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird:

x^{2}-3x-10=0

Es ergeben sich nach der p-q-Formel die Lösungen

x_{1,2}=-{\frac {-3}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-3}{2}}\right)^{2}-(-10)}},

also somit ebenfalls $x_{1}=-2$ und $x_{2}=5$ .

Mit Hilfe der Zerlegungen $-10=(-2)\cdot 5$ und $5-2=3$ erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta.

Weitere Beispiele
$x^{2}+2x-35=0\$	Für die Diskriminante D gilt: D > 0. Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen x₁ = −7 und x₂ = 5
$x^{2}-4x+4=0\$	Die Diskriminante ist D = 0. Die (doppelte) reelle Lösung ist x = 2.
$x^{2}+12x+37=0\$	Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu x₁ = −6 + $\mathrm {i}$ und x₂ = −6 − $\mathrm {i}$ .
$x^{2}-(\mathrm {i} +1)x+\mathrm {i} =0\$	Die Diskriminante ist $D=-2\mathrm {i} =(\mathrm {i} -1)^{2}$ . Es ergeben sich die beiden verschiedenen Lösungen 1 und $\mathrm {i}$ .

(Reelle) Lösung mit Zirkel und Lineal

Für die Konstruktion der Lösungen $x_{1}$ , $x_{2}$ der Gleichung

x^{2}+px+q=0

mit Zirkel und Lineal wird der Satz von Vieta verwendet, nach dem

x_{1}x_{2}=q

und

x_{1}+x_{2}=-p

gilt.

Im ersten Falle seien $0<q\leq \left({p \over 2}\right)^{2}$ und $p\in \mathbb {R}$ gegeben. Wir bezeichnen mit $p$ nun die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Länge $\vert p\vert$ . Schlägt man den Thaleskreis über $p$ und sucht auf diesem die Punkte mit Abstand ${\sqrt {q}}$ , so teilt jeweils deren Lot auf $p$ die Seite $p$ im Verhältnis $\vert x_{1}\vert :\vert x_{2}\vert .$

Zur Konstruktion ermittle man zunächst ${\sqrt {q}}$ , indem man eine Strecke der Länge $q+1$ abtrage, darüber den Thaleskreis schlage und diese Strecke im Verhältnis $q:1$ durch eine Senkrechte teile. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit dem Thaleskreis bildet mit den Eckpunkten der konstruierten Strecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe der Hypotenuse hat gerade die Länge ${\sqrt {q}}$ , was aus dem Höhensatz folgt.

Sodann konstruiere man eine Strecke $p$ mit Länge $\vert p\vert$ und schlage den Thaleskreis darüber. Anschließend errichte man an den Eckpunkten von $p$ (nach einer Seite hin) Senkrechten, auf denen man zwei Punkte im Abstand ${\sqrt {q}}$ abtrage. Die Verbindungslinien dieser beiden Punkte bildet eine Sehne durch den Thaleskreis.

Jeder dieser Schnittpunkte hat offenbar den Abstand ${\sqrt {q}}$ zu der Seite $p$ . An einem der Schnittpunkte dieser Sehne mit dem Thaleskreis konstruiere man ein Dreieck mit der Seite $p$ . Die Höhe der Seite $p$ teilt diese Seite im Verhältnis $\vert x_{1}\vert :\vert x_{2}\vert$ .
Erklärung: Bezeichnet man die so gewonnenen beiden Teile der Seite $p$ als $x_{1}$ und $x_{2}$ , so ist zum einen nach dem Höhensatz $\vert x_{1}\vert \cdot \vert x_{2}\vert ={\sqrt {q}}^{2}=q$ zum anderen gilt $\vert x_{1}\vert +\vert x_{2}\vert =\vert p\vert$ . Beides trifft aber auch auf die Lösungen des Satzes von Vieta zu und damit sind dies die gesuchten Lösungen.

Im zweiten Falle seien $q<0$ und $p\in \mathbb {R}$ . Wir erhalten damit für die quadratische Gleichung eine positive und eine negative Lösung. Um $\vert x_{1}\vert$ und $\vert x_{2}\vert$ wieder als durch die Höhe getrennte Teile der Hypotenuse eines Dreiecks zu erhalten, konstruiere man wie folgt eine Strecke $c$ mit der Länge $\vert x_{1}\vert +\vert x_{2}\vert$ .

Da $q<0$ ersetzen wir $-q$ kurzerhand durch $+\vert q\vert$ .

Für $x_{1}$ ist aber $\textstyle -p/2+{\sqrt {(p/2)^{2}+\vert q\vert }}$ stets positiv, da der Wurzelterm offensichtlich stets größer als ${\tfrac {p}{2}}$ ist. Damit ist $\vert x_{1}\vert =x_{1}$ . Sicherlich ist $x_{2}$ stets negativ und daher ist $\vert x_{2}\vert =-x_{2}$ . Es gilt mithin

\vert x_{1}\vert +\vert x_{2}\vert =x_{1}-x_{2}=2\cdot {\sqrt {\left({p \over 2}\right)^{2}+\vert q\vert }}={\sqrt {p^{2}+\left(2\cdot {\sqrt {\vert q\vert }}\right)^{2}}}.

Letzteres entspricht nach dem Satz des Pythagoras der Länge einer Hypotenuse über zwei Katheten der Länge $\vert p\vert$ und $2\cdot {\sqrt {\vert q\vert }}$ .

Damit ist klar, was zu tun ist. Man konstruiere wieder $\textstyle {\sqrt {\vert q\vert }}$ wie oben beschrieben, trage bei zwei aufeinander senkrecht stehenden Strahlen an einem $\vert p\vert$ und an dem anderen $2\cdot {\sqrt {\vert q\vert }}$ ab und ziehe zwischen den Verbindungslinien eine Strecke. Über dieser Strecke schlage man den Thaleskreis, suche auf diesem einen Punkt mit Abstand ${\sqrt {\vert q\vert }}$ wie oben beschrieben und konstruiere aus diesem und den Eckpunkten der Strecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe der Strecke teilt die Strecke genau im Verhältnis $\vert x_{1}\vert :\vert x_{2}\vert$ .

Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)

Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form

x^{2}+px+q=0

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In Körpern und in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben. Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der pq-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. Für einen endlichen Körper $\mathbb {F} _{2^{n}}\cong \mathbb {F} _{2}(\varrho )$ der Charakteristik 2 macht man den Ansatz $x=\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\varrho ^{i}$ und gelangt mittels $x^{2}=\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\varrho ^{2i}$ zu einem linearen Gleichungssystem für die n Koeffizienten a_i aus $\mathbb {F} _{2}$ .

Beispiel

Die quadratische Gleichung

x^{2}-1=0

hat im Restklassenring $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7.

Geschichte

Bereits vor 4000 Jahren im Altbabylonischen Reich wurden quadratische Gleichungen gelöst, beispielsweise auf folgende Art: Die quadratische Gleichung $x^{2}+p=sx$ ist äquivalent dem Gleichungssystem $xy=p$ und $x+y=s$ . Für x wird nun der Ansatz $x={\tfrac {s}{2}}+e$ bzw. $y={\tfrac {s}{2}}-e$ gemacht. Für das Produkt $p$ ergibt sich

p=xy=\left({\frac {s}{2}}+e\right)\cdot \left({\frac {s}{2}}-e\right)=\left({\frac {s}{2}}\right)^{2}-e^{2}

.

Auflösen der binomischen Formel liefert

e={\sqrt {{\frac {1}{4}}s^{2}-p}}

.

Mit $e$ ist damit auch die Lösung $x$ der quadratischen Gleichung bestimmt. Als Beispiel wird die Gleichung $x^{2}+210=29x$ besprochen. Diese ist äquivalent dem Gleichungssystem $p=xy=210$ und $s=x+y=29$ . Der oben genannte Ansatz liefert

e={\sqrt {{\frac {1}{4}}s^{2}-210}}={\frac {1}{2}}.

Für die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich

x={\frac {s}{2}}+e={\frac {29}{2}}+{\frac {1}{2}}=15

.

Die Griechen kannten keine negative Zahlen und mussten für die quadratische Gleichung mehrere Fallunterscheidungen durchführen. Gleichungen der Art

x^{2}+ax=a^{2}

werden bei Euklid (II 11) geometrisch gelöst; die Formen

ax^{2}+c=bx

bzw.

ax^{2}+bx=c

in Euklid (VI 28) bzw. (VI 29).

Als Beispiel soll die Gleichung

x^{2}+10x=39

als Spezialfall von $x^{2}+bx=c$ mit $b,c>0$ geometrisch gelöst werden (siehe Bild). Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge $x$ (und somit der Fläche $x^{2}$ ) und zwei Rechtecke DEGH und BCFE mit den Seiten $5$ und $x$ (und somit jeweils der Fläche $5x$ ) auf. Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. Dieses Gnomon hat nach Voraussetzung eine Fläche von $x^{2}+10x=39$ . Ergänzt man es mit dem Quadrat ABED der Seitenlänge $5$ (und somit der Fläche $25$ ) zu dem Quadrat ACIG, so besitzt dieses die Fläche $39+25=64$ . Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge $5+x$ und somit den Flächeninhalt $(5+x)^{2}$ . Wegen $64=8^{2}$ schließt man $5+x=8$ und somit $x=3$ . Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu $(x+5)^{2}=64$ mit der (positiven) Lösung $x=3$ . Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung $x=-13$ erhält.

Bei Aryabhata und Brahmagupta wird die Lösung der Gleichung

x^{2}+px=q

mit Worten beschrieben. Wie man aus dem Bild (links) ersieht, gilt die folgende Zerlegung des Quadrats:

x^{2}+4x{\frac {p}{4}}+4\left({\frac {p}{4}}\right)^{2}=q+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}

.

Dies liefert sofort die Lösung in heutiger Schreibweise als

x={\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q}}-{\frac {p}{2}}

.

Bei Heron von Alexandria und auch bei Al-Chwarizmi wird die Lösung von

ax^{2}+bx=c

verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als

x={\frac {{\sqrt {ac+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}}-{\frac {b}{2}}}{a}}

.

Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach.

Allgemeine Lösungsformeln, wie die heute übliche

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

für die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form

ax^{2}+bx+c=0,

entstanden erst zu Beginn des 16. Jahrhunderts, als negative Zahlen als Lösung akzeptiert waren und das Wurzelzeichen erfunden war (durch Christoph Rudolff 1525 in seiner Algebra). Einen neuen Ansatz zur Lösung einer quadratischen Gleichung bot der Wurzelsatz von Vieta, der posthum 1615 in seinem Werk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo publiziert wurde.

Siehe auch

Literatur

Bartel Leendert van der Waerden: Erwachende Wissenschaft Bd.1 ("Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik"), 2.Aufl., Birkhäuser 1966.

Weblinks

Commons: Quadratische Gleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien