Poissonsche Summenformel

Die Poissonsche Summenformel ist ein wichtiges Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient u.a. zur Beschreibung von Abtastmethoden. Sie besagt, dass für eine stetige, im Unendlichen schnell genug fallende Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ und mit ebenfalls stetiger und schnell fallender Fourier-Transformierter ${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx$ (das sind z.B. alle Testfunktionen des Schwartz-Raums) gilt:

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(2\pi k)$.

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In der Sprache der temperierten Distributionen ist die Fourier-Transformierte einer Distribution $T\in {\mathcal {S}}^{'}(\mathbb {R} )$ diejenige temperierte Distribution ${\hat {T}}\in {\mathcal {S}}^{'}(\mathbb {R} )$, die definiert ist durch die Identität

${\hat {T}}({\hat {\phi }})=T(\phi )$,

die für jede Testfunktion $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ aus dem Schwartz-Raum gelten soll. In diesem Sinne kann die Poissonsche Summenformel auch als Aussage über die Fourier-Transformierte des Dirac-Kamms gelesen werden:

${\widehat {\Delta _{1}}}={\widehat {\sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta _{n}}}={\sqrt {2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\delta _{2k\pi }={\sqrt {2\pi }}\Delta _{2\pi }$

oder, in der skalierten Version,

${\widehat {\Delta _{T}}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\Delta _{\frac {2\pi }{T}}$

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Warum gilt das? Mit der Eigenschaft des schnellen Fallens im Unendlichen sei vorausgesetzt, dass die Reihe $g(x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(x+n)$ in $L^{2}([-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}])$ konvergiert, d.h. Konvergenz fast überall punktweise und in der "Energienorm" vorliegt. Dann ist die Funktion g periodisch mit Periode 1, kann also als Fourier-Reihe dargestellt werden, $g(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}(g)\cdot e^{i2\pi \cdot kx}$. Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel $c_{k}(g)=\int _{-1/2}^{1/2}g(x)\cdot e^{-i2\pi \cdot kx}\,dx=\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(x+n)\cdot e^{-i2\pi \cdot k(x+n)}\,d(x+n)$. Das Integral, welches den Koeffizienten bestimmt, ist ein stetiges Funktional auf $L^{2}([-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}])$, wir dürfen also den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen. $c_{k}(g)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{n-1/2}^{n+1/2}f(y)\cdot e^{-i2\pi \cdot ky}\,dy=\int _{\mathbb {R} }f(y)\cdot e^{-i2\pi \cdot ky}\,dy={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(2\pi k)$. Wir können also zusammenfassen zu $\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(x+n)={\sqrt {2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(2\pi k)\cdot e^{i2\pi \cdot kx}$, woraus sich bei x=0 die Behauptung ergibt.

Verallgemeinerungen

Es sei h(x)=f(a(x+b))e^icx mit reellen Konstanten a,b,c. Dann ist nach den Regeln der Fourier-Transformation

${\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }f(a(x+b))e^{-i(\xi -c)/a\,a(x+b-b)}\,{\frac {1}{|a|}}d(a(x+b))={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi -c}{a}}\right)e^{i(\xi -c)\,b}$.

Aus der Summenformel in der einfachsten Form für h folgt die Summenformel in ihrer allgemeinsten Form für f

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(a(n+b))e^{icn}={\frac {\sqrt {2\pi }}{|a|}}e^{-ibc}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}\left({\frac {2\pi k-c}{a}}\right)e^{i2\pi k\,b}$.

Anwendung

Sei f bandbeschränkt, $supp{\hat {f}}\subset [-W,W]$, d.h. es gebe eine höchste Frequenz im Fourier-Spektrum. Ist dann $|Wa|\leq \pi$, so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit $T:=a>0$, $\omega :=-c/T\in [-W,W]$, b=0 und Multiplikation eines Faktors ergibt sich

${\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega x}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(nT)e^{i\omega (x-nT)}$

und damit nach der inversen Fourier-Transformation

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-W}^{W}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega x}\,d\omega =T\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(nT){\frac {\sin(W(x-nT))}{\pi (x-nT)}}$

Im Grenzfall $WT=\pi$ ist dies die Rekonstruktionsformel des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems

$f(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(nT)\sin c(x/T-n)$ bei $\sin c(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$.

siehe auch

Literatur:

• J.R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. Bull. AMS 12(1985)1
• J.J. Benedetto; G. Zimmermann: Sampling multipliers and the Poisson summation formula. Preprint im Netz, J. Fourier Ana. App. 3(1997)5