Stereografische Projektion
Die Stereografische Projektion, auch "Konforme azimutale Abbildung" genannt, ist ein winkeltreues (d.h. konformes) Abbildungsverfahren zum Entwurf von Kartennetzen. Im Normalfall liegt das Projektionszentrum im Südpol der Erde. Die ebene Projektionsfläche (die Karte) berührt dann die Erde im Nordpol. Im allgemeinen Fall muss das Projektionszentrum im Gegenpol des Berührpunktes der Projektionsfläche liegen.
Bei diesem Kartennetzentwurf werden Orthodrome (Abschnitte der Großkreise) nicht als Gerade, sondern wie alle anderen Kreise auch, wieder als Kreis abgebildet. Meridiane sind in der Abbildung dabei Kreise mit unendlich großem Radius.
Die Abbildungsgleichung ist für das Azimut
und für den Radius
wobei r ein Maßstabsfaktor ist.
Der Kartennetzentwurf lässt sich mit Hilfe nur von Zirkel und Lineal ausführen.
Die Flächenverzerrung nimmt zum Rand hin stark zu. Deshalb ist das Projektionsverfahren für topografische Karten nicht geeignet. Da es winkeltreu ist und Kreise wieder als solche abbildet, ist die Stereografische Projektion z.B. gut für Sternkarten geeignet.
Weitere Anwendungen
Stereografische Projektion in der Kristallographie:
Praktische Anwendung findet die stereografische Projektion in der Kristallographie bei der Bestimmung der Orientierung der Gitterebenen eines Kristalls (Laue-Verfahren). Bei der stereografischen Projektion liegt die Projektionsfläche in der Äquatorebene der Kugel. Der Punkt, an dem die Flächennormale eines Kristalles, welche auch durch den Mittelpunkt der Kugel geht, die Kugeloberfläche durchstößt, wird mit dem Pol der gegenüberliegenden Kugelsphäre verbunden. Der Schnittpunkt dieser letzteren Gerade mit der Äquatorebene ist der Projektionspunkt.
Erläuterungen zum Bild: Am Beispiel eines Würfels (Kubisches Gitter) mag man sich die gezeigten Ebenen vorstellen. Legt man an die Kanten eines Würfels Richtungsanzeiger (Vektoren), so lassen sich diese mit den Koordinaten (1;0;0), (0;1;0) und (0;0;1) beschreiben. Eine Ebene, auf der eine dieser Würfelkanten senkrecht steht, sich also in die gleiche Richtung erstreckt wie eine beliebige Würfelfläche ist eine {100}-Ebene. Eine Ebene senkrecht zu einer beliebigen Flächendiagonale mit Richtungsanzeiger (1;1;0), (1;-1;0), (0;1;1), (0;1;-1), (1;0;1) oder (-1;0;1) gehört dann zu den {110}-Ebenen und schließlich: Eine Ebene, die senkrecht auf einer der vier Raumdiagonalen (1;1;1), (-1;1;1), (1;-1;1) oder (1;1;-1) liegt, ist eine {111}-Ebene. Genaueres zu den Bezeichnungen der Ebenen siehe Millersche Indizes.