Kinetische Energie

Die kinetische Energie oder auch Bewegungsenergie ist die Energie, die in der Bewegung eines Körpers enthalten ist. Sie ist abhängig von der Ruhemasse m₀ und der Geschwindigkeit v des Körpers. Sie berechnet sich für nicht relativistische geradlinige Bewegungen der Masse m mit

$E_{kin}={1 \over 2}mv^{2}$.

Die kinetische Energie in der klassischen Physik

In der klassischen Physik ist die aus der kinetischen Energie resultierende Kraft F, die auf einen Körper einwirkt, gleich der zeitlichen Änderung seines Impulses p, also des Produktes aus Masse und Geschwindigkeit. Die durch diese Kraft verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie des Körpers. Damit gilt für die kinetische Energie:

$E_{kin}=\int _{0}^{v}F\cdot \,\mathrm {d} s=\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}\cdot \,\mathrm {d} s$

Wegen ${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\acute {v}}$ und $p=m_{0}{\acute {v}}\!$ gilt:

$E_{kin}=\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} p=\int _{0}^{v}{\acute {v}}\cdot \,\mathrm {d} p=\int _{0}^{v}{\acute {v}}\cdot \,\mathrm {d} (m_{0}{\acute {v}})=\int _{0}^{v}\mathrm {d} ({\frac {1}{2}}m_{0}{\acute {v}}^{2})={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$.

Bei dem vorletzten Schritt ist zu beachten, dass die Masse nicht von der Geschwindigkeit abhängt und man somit ein totales Differential erhält, dessen Integration trivial ist.

Da bei den meisten Bewegungen Reibung nicht vermieden werden kann, verliert ein antriebsloser bewegter Körper ständig an Geschwindigkeit, weil durch Gleit-, Roll- und/ oder Gasreibung die kinetische Energie nach und nach in thermische Energie umgewandelt wird. Ist die Umwandlung vollständig, kommt die Bewegung zum Stillstand. Will man eine Verlangsamung der Bewegung, also den Verlust an Bewegungsenergie verhindern, so muss dem System durch einen Antrieb, beispielsweise einen Elektromotor oder einen Verbrennungsmotor, Energie zum Ausgleich des Reibungsverlusts zugeführt werden.

Kinetische Energie und der Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung und unter Vernachlässigung jedweder Reibung, gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik:

$E_{pot}+E_{kin}={konstant}=E_{ges}\!$

• E_pot - potenzielle Energie
• E_kin - kinetische Energie
• E_ges - Gesamtenergie

In Worten: Die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, ist konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems.

Die kinetische Energie in der modernen Physik

Im Jahre 1905 zeigte Albert Einstein in seiner speziellen Relativitätstheorie, dass die klassische Beziehung der kinetischen Energie nur für Geschwindigkeiten gilt, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, da die Masse eines Körpers sich mit höherer Geschwindigkeit scheinbar erhöht. Daher gilt nach der Speziellen Relativitätstheorie eine andere Beziehung:

$E_{kin}=E-E_{0}=m(v)c^{2}-m_{0}c^{2}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)=m_{0}c^{2}\left(\gamma -1\right)$

Hierbei ist m(v) die relativistische Masse des Körpers bei der Geschwindigkeit v; c die Lichtgeschwindigkeit und m₀ die Ruhemasse ist. Für m(v) gilt:

$m(v)={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{0}\gamma$ mit $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich

Da eine größere Masse eine höhere Energie nach sich zieht, steigt die kinetische Energie im Gegensatz zur Aussage der klassischen Physik nicht parabolisch, sondern hyperbolisch, an; bewegt sich ein Körper nahe der Lichtgeschwindigkeit, so strebt der Betrag der kinetischen Energie gegen unendlich. Insbesondere ist es aus diesem Grund für einen massebehafteten Körper nicht möglich sich mit Lichtgeschwindigkeit zu bewegen, da eine unendliche Energie notwendig wäre, um diesen Bewegungszustand zu erreichen.
Bei Geschwindigkeiten, die kleiner als 0,1 c sind, ist dieser Effekt hingegen vernachlässigbar gering und so kann die klassische Beziehung als eine gute Näherung verwendet werden.

Das links abgebildete Diagramm zeigt die Graphen der relativistischen (1) sowie der klassischen (2) Beziehung für einen Körper der Masse von einem Kilogramm.

Die kinetische Energie ist keine Lorenzinvariante und insofern vom Bezugssystem abhängig.

Herleitung der relativistischen kinetischen Energie

Um die relativistische Beziehung der kinetischen Energie zu erhalten, kann man ebenso vorgehen wie bei der Herleitung der klassischen Beziehung. In diesem Fall fasst man aber die resultierende Kraft F, die auf einen Körper einwirkt, als die zeitliche Änderung seines relativistischen Impulses p und die durch diese Kraft verrichtete Arbeit als die Änderung der relativistischen kinetischen Energie des nämlichen Körpers auf. Es gilt also zunächst ganz analog zum klassischen Fall:

$E_{kin}=\int _{0}^{v}F\cdot \,\mathrm {d} s=\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}\cdot \,\mathrm {d} s$

Nun gilt aber für den relativistischen Impuls $p={\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ und damit

$E_{kin}=\int _{0}^{v}v\cdot \,\mathrm {d} p=\int _{0}^{v}v\cdot \,\mathrm {d} \left({\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$.

Nun schreibt man $\mathrm {d} p$ so um, dass man nach der Geschwindigkeit v integrieren kann, die gesuchte Größe sei dabei mit x bezeichnet

$\mathrm {d} \left({\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=x\cdot \mathrm {d} v\Leftrightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}\left({\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}\left(m_{0}v\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\right)=x$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}\left(m_{0}v\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\right)=m_{0}\left(-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}v\left(-{\frac {2v}{c^{2}}}\right)+\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\right)$, siehe Kettenregel und Produktregel.

$m_{0}\left(\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\right)=m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1\right)$

$m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {v^{2}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)c^{2}}}+1\right)=m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}+1\right)$

$m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {v^{2}+c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)=m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)=m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {c^{2}}{c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}\right)$

$m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}=m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\Rightarrow \mathrm {d} \left({\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\mathrm {d} v$

Somit erhalten wir für unser Integral

$E_{kin}=\int _{0}^{v}v\cdot m_{0}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\mathrm {d} v=m_{0}\int _{0}^{v}v\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\mathrm {d} v$

Es ist klar, dass der Ausdruck $\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}$ durch Ableitung von $\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ entstehen kann. Nehmen wir diese als Stammfunktion an, so haben wir

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {(-2v)}{c^{2}}}=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {v}{c^{2}}}$

Multiplizieren wir diesen Term mit $c^{2}$, so ergibt sich gerade wieder der Integrand. Damit derselbe diese Form annimmt, klammern wir $c^{2}$ aus und erhalten schließlich

$E_{kin}=m_{0}c^{2}\int _{0}^{v}{\frac {v}{c^{2}}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}dv=m_{0}c^{2}\left[\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\right]_{0}^{v}=m_{0}c^{2}\left[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right]_{0}^{v}$

$E_{kin}=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}-m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}\left(\gamma -1\right)$

Insbesondere ist hierbei der Klammerausdruck

$c^{2}\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}-m_{0}\right)$

lediglich die Differenz der relativistischen Masse und der Ruhemasse - das Ergebnis des gesamten Ausdrucks besitzt jedoch die Dimension einer Energie. Da die Massendifferenz nur mit $c^{2}$ multipliziert wird, stellt sich heraus, dass das Produkt $m_{0}c^{2}$ die Energie darstellt, welche der Körper schon besaß, ehe er die kinetische Energie aufgenommen hat.

Aus diesem Grund beträgt die Ruheenergie $E_{0}$ eines Körpers

$E_{0}=m_{0}c^{2}\!$

Da $c^{2}$ lediglich die Proportionalitätskonstante dieser Beziehung darstellt, ist hieraus ersichtlich, dass Energie und Masse in Wirklichkeit dasselbe sind und ineinander umgewandelt werden können. Die kinetische Energie eines Körpers ist damit also gerade diejenige Energie, welche der relativistischen Massenzunahme entspricht und umgekehrt. Kurz ist damit

$E_{Kin}=E-E_{0}\!$

wobei $E$ gegenüber der Ruheenergie entsprechend die relativistische Energie darstellt, mit

$E={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Siehe auch: Äquivalenz von Masse und Energie, Potenzielle Energie, Rotationsenergie

Eine einfache Herleitung von $E=mc^{2}$ ohne Infinitesimalrechnung findet sich in Wikibooks unter: [$E=mc^{2}$].