Eulersches Tonnetz

Die Reine Stimmung (auch natürliche oder harmonische Stimmung) entstand mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit. In den Akkordverbindungen werden die reinen Intervalle Oktave, Quinte und Terz benutzt. Sie erfordert für die Harmonie der Akkorde beim Übergang zu anderen Tonarten eine Flexibilität in der Anpassung der Tonhöhe, die nur Sänger oder vergleichbare Instrumente aufbringen können. Die Stimmung (Temperierung) für Tasteninstrumenten wandelte sich deshalb über die mitteltönigen Stimmungen und wohltemperierten Stimmungen zur gleichstufige Stimmung.

Die Reine Stimmung löste die pythagoreischen Stimmung ab, die die Oktave, Quinte und daraus folgend die Quarte verwenden.

Manchmal werden bei der reinen Stimmung auch Intervalle höherer Ordnung miteinbezogen, wie sie sich aus der Obertonreihe ergeben, beispielsweise die Naturseptime.

Die reine Stimmung

Mit dem Aufkommen der in der Mehrstimmigkeit sich bildenden Akkordverbindungen wurde bald die Terz mit dem Frequenzverhältnis ⁵/₄ als Konsonanz anerkannt und neben der Oktave (Frequenzverhältnis ²/₁) und Quinte (Frequenzverhältnis ³/₂) rein intoniert. Dieser Übergang war spätestens mit dem protestantischen (vierstimmigen) Choral abgeschlossen.

Es bildeten sich reine Tonarten heraus. Diese spielen auch heute noch beim reinen Intonieren beispielsweise von A-Capella-Chören, Streichquartetten oder guten Orchestern eine ausschlaggebende Rolle. Bei reiner Intonation und guter Akustik erhält man betonte Bässe (wegen der Differenztöne) und kristallklaren Klang (wegen der Übereinstimmung von Obertönen).

A-Dur Kadenz	rein Anhörenⓘ	gleichstufig Anhörenⓘ

Die Oktave, die Quinte und die große Terz bilden die Grundintervalle der reinen Stimmung. Alle weiteren Intervalle lassen sich aus diesen Grundintervallen zusammensetzten. Man nennt deshalb dieses System auch Quint-Terz-Sytem.

Probleme bei Tasteninstrumenten

Bei (historischen) Tasteninstrumenten ist eine reine Intonation in verschiedenen Tonarten nicht möglich, da bei Modulationen in andere Tonarten eine Flexibilität in der Anpassung der Tonhöhe erforderlich ist, die nur der menschlichen Stimme oder vergleichbaren Instrumenten vorbehalten ist.

Diese Problematik spielte in der abendländischen Musikpraxis beim Stimmen von Tasteninstrumenten mit zwölf Tasten pro Oktave eine große Bedeutung. Über die mitteltönigen Stimmungen und wohltemperierten Stimmungen hat sich heutzutage fast durchgängig die gleichstufige Stimmung bei Tasteninstrumenten durchgesetzt.

Der Cellist Paplo Casals äußert sich zu diesem Problem ("The Way They Play" 1972): Erschrecke nicht, wenn Du eine andere Intonation als das Klavier hast. Das liegt am Klavier, das verstimmt ist.

Jedoch ist zu beobachten, dass historisch gestimmte Cembali und Orgeln wieder an Bedeutung gewinnen.

Modulationen erfordern eine Anpassung der Tonhöhe

Wenn im folgenden von reinen Akkorden die Rede ist, ist gemeint, dass vorkommenden Quinten (Frequenzverhältnis³/₂), große Terzen (Frequenzverhältnis⁵/₄) und kleine Terzen (Frequenzverhältnis⁶/₅) rein sind.

Faustregel: Bei einer Modulation in eine Nachbartonart (Dur oder moll) ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. (Das ist ungefähr ¹/₅ Halbton.)

Modulation in Richtung Subdominante

Faustregel: Der 2. und 7. Ton ändern sich

Beispiel: Modulation von C-Dur über a-moll nach F-Dur

C-Dur

Name des Tones		C		D		E		F		G		A		H		c
Frequenz		264		297		330		352		396		440		495		528
Frequenzverhältnis			9/8		10/9		16/15		9/8		10/9		9/8		16/15

Die Akkorde der Tonika C-E-G, der Subdominante F-A-c und der Dominante G-H-d sind rein.

a-moll (absteigend) Zum besseren Vergleich nicht in der Reihenfolge A-H-c-d-e-f-g-a sondern wieder C-D-E-F-G-A-H-c.

Name des Tones		C		D(!)		E		F		G		A		H		c
Frequenz		264		293,3(!)		330		352		396		440		495		528
Frequenzverhältnis			10/9		9/8		16/15		9/8		10/9		9/8		16/15

Hier sind die Akkorde der Tonika A-c-e, der Subdominante D-F-A (in C-Dur: die II. Stufe) und der Dominante (in moll) E-G-H rein.

F-Dur

Name des Tones		C		D(!)		E		F		G		A		B(!)		c
Frequenz		264		293,3(!)		330		352		396		440		469,3(!)		528
Frequenzverhältnis			10/9		9/8		16/15		9/8		10/9		16/15		9/8

Hier sind die Akkorde der Tonika F-A-c, der Subdominante B-d-f und der Dominante C-E-G rein.

Im Vergleich zu C-Dur hat sich bei F-Dur das H um einen Halbton zu B erniedrigt (das zeigt auch die Notenbezeichnung), aber auch - wie bei der Modulation von C-Dur nach a-moll - hat sich das D um ein syntonisches Komma (Frequenzverhältnis ⁸¹/₈₀${\widehat {=}}$21,5 Cent) geändert. Sonst bestünde die Subdominante in F-Dur B-d-f bzw. in A-moll D-F-A nicht mehr aus reinen Terzen und Quinten.

Beispiel: Modulation von c-moll nach f-moll

Hier erniedrigt sich sich D um einen Halbton zu Des (wie bei der Modulation von c-moll nach As-Dur, das zeigt auch die Notenbezeichnung) und B um ein syntonisches Komma.

Modulation in Richtung Dominante

Faustregel: Der 2. und der 7. Ton der Zieltonart ändern sich.

Beispiel: Modulation von C-Dur über E-moll nach G-Dur

C-Dur

Name des Tones		C		D		E		F		G		A		H		c
Frequenz		264		297		330		352		396		440		495		528
Frequenzverhältnis			9/8		10/9		16/15		9/8		10/9		9/8		16/15

Die Akkorde der Tonika C-E-G, der Subdominante F-A-c und der Dominante G-H-d sind rein.

E-moll Zum besseren Vergleich nicht in der Reihenfolge E-FIS-G-A-H-c-d-e sondern C-D-E-FIS-G-A-H-c.

Name des Tones		C		D		E		FIS(!)		G		A		H		c
Frequenz		264		297		330		371,3(!)		396		440		495		528
Frequenzverhältnis			9/8		10/9		9/8		16/15		10/9		9/8		16/15

Hier sind die Akkorde der Tonika E-G-H, der Subdominante A-c-e und der Dominante (in moll) H-d-fis rein.

G-dur

Name des Tones		C		D		E		FIS(!)		G		A(!)		H		c
Frequenz		264		297		330		371,3(!)		396		445,5		495		528
Frequenzverhältnis			9/8		10/9		9/8		16/15		9/8		10/9		16/15

Hier sind die Akkorde der Tonika G-H-d, der Subdominante C-E-G und der Dominante D-Fis-A rein.

Im Vergleich zu C-Dur hat sich bei G-Dur das das F um einen Halbton zu FIS erhöht - wie bei der Modulation von C-Dur nach e-moll - (das zeigt auch die Notenbezeichnung), aber auch das A um ein syntonisches Komma (Frequenzverhältnis ⁸¹/₈₀${\widehat {=}}$21,5 Cent) geändert. Sonst bestünde die Dominante in G-Dur D-FIS-A bzw. in E-moll H-d-fis nicht mehr aus reinen Terzen und Quinten.

Hörbeispiel

Modulation C-Dur nach G-Dur	Nur Sopran
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Beispiel: Modulation von c-moll nach g-Moll

Hier erhöht sich F um ein syntonisches Komma (wie bei der Modulation von c-moll nach Es-Dur) und As um einen Halbton zu A (das zeigt auch die Notenbezeichnung).

Vergleich mit der gleichstufigen Stimmung

Nimmt man zu den Tönen der Dur- und Molltonleiter das FIS von G-Dur und das DES von f-moll dazu, erhält man die 12-stufige chromatische Skala der reinen Stimmung.

Chromatische Skala der reinen Stimmung von C-Dur und C-moll ergänzt um FIS und DES:

Hinweis: Beim Vergleich von Intervallen verwendet man die Einheit Cent. Dabei gilt: 1 Oktave = 1200 Cent.

Name des Tones	C	DES	D	ES	E	F	FIS	G	AS	A	B	H	c
Frequenz	264	281,6	297	316,8	330	352	371,25	396	422,4	440	475,2	495	528
In Cent	0	112	204	316	386	498	590	702	814	884	1018	1088	1200

Die Akkorde der Tonika, Subdominante und Dominante von C-Dur und c-moll erklingen rein.

In dieser Stimmung kann man nur C-Dur und c-moll rein spielen. Um in allen Tonarten spielen zu können, werden bei der gleichstufigen Stimmung die Halbtöne angepasst. Dass hierbei kein Dreiklang mehr rein erklingt, wird als Kompromiss akzeptiert.

Chromatische Skala der gleichstufigen Stimmung:

Name des Tones	C	CIS/DES	D	DIS/ES	E	F	FIS/GES	G	GIS/AS	A	AIS/B	H	c
Frequenz	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,3
In Cent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Die gleichstufige Stimmung erhält man auch, indem man das pythagoreische Komma im Quintenzirkel F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis-Ais-Eis-His=(C?) auf die zwölf Quinten verteilt. Die reine Quinte (702 Cent) unterscheidet sich von der gleichstufigen (700 Cent) nur geringfügig. Die große Terz (386 Cent) wird bei der gleichstufigen Stimmung (400 Cent) immerhin um 14 Cent "geschärft".

Unterschied zwischen reiner und gleichstufiger Dur-Tonleiter.
Die Terz, die Sexte und die Septime sind bei der gleichstufigen Stimmung zu groß.

Unterschied zwischen reiner und gleichstufiger Moll-Tonleiter.
Die Terz und die Sexte sind bei der gleichstufigen Stimmung zu klein.

Einsatzgebiete der zwölftönigen, erweiterten (chromatischen) reinen Stimmung

Über den praktischen Sinn dieser Stimmung für Tasteninstrumente lässt sich streiten, denn sie ist auf keinen Fall so flexibel einsetzbar wie die gleichstufige Stimmung. Es gibt aber mindestens zwei Arten, sie in sinnvoller Weise zu benutzen. Die erste Art ist, in den zentralen Tonarten zu bleiben und gewisse Restriktionen zu beachten. Auf diese Weise bekommt man eine (für viele Ohren) sehr harmonisch klingende Musik, ist aber in der Komposition bzw. Stückauswahl für Tasteninstrumenten recht beschränkt. Die zweite Art ist, alle möglichen Klänge, also sowohl die extremen Dissonanzen als auch die extremen Konsonanzen dieser Stimmung zuzulassen und so speziell für diese eine Stimmung, aber ohne Einschränkungen, zu komponieren.

Ein Beispiel für die erste Art ist, modulierenderweise in der C-Dur- oder G-Dur-Skala zu bleiben, dabei aber, für C-Dur, das D in manchen Zusammenhängen zu unterlassen, und für G-Dur, das A in manchen Zusammenhängen zu unterlassen. Als Beispiel für die zweite Art sei hier die CD the harp of new albion von Terry Riley genannt. Diese Pianosoloaufnahme verwendet einen Flügel mit der in diesem Artikel genannten erweiterten Stimmung, nur ist die Grundlage das Cis und nicht das C, und es wird der Tritonus ⁶⁴/₄₅ benutzt.

Kleiner und großer Halbton

Bei der reinen Stimmung gibt es den (großen) diatonischen Halbton mit dem Frequenzverhältnis ${\frac {16}{15}}{\widehat {\approx }}\ {\text{112 Cent}}$.

In C-Dur: E->F und H->c. In c-moll (absteigend): Es->D und As->G. Diese Halbtöne: 112 Cent.

Bei Modulation in andere Tonarten kommen auch chromatische Halbtöne vor.

Wie man in der folgenden Übersicht sehen kann, sind diese kleiner (ungefähr 92 Cent und 71 Cent).

	Name des Tones C DES D ES E Frequenz 264 281,6 297 316,8 330 In Cent (gerundet) 0 112 204 316 386 Halbton in Cent 112 92 112 71	Name des Tones C CIS D DIS E Frequenz 264 278,4 297 309,3 330 In Cent (gerundet) 0 92 204 275 386 Halbton in Cent 92 112 71 112

Hinweis: Die zugehörigen Frequenzen gelten nicht absolut, sondern stehen in Abhängigkeit von welcher Tonart zu welcher Tonart moduliert wird.

Der chromatische Halbton mit 92 Cent (Frequenzverhältnis ¹³⁵/₁₂₈), der den diatonischen Halbton mit 112 Cent (Frequenzverhältnis ¹⁶/₁₅) zum Ganzon mit 204 Cent (Frequenzverhältnis ⁹/₈) ergänzt, ist kleiner als der diatonische Halbton.

Noch kleiner ist der chromatische Halbton mit 71 Cent (Frequenzverhältnis ²⁵/₂₄), der den diatonischen Halbton mit 112 Cent (Frequenzverhältnis ¹⁶/₁₅) zum kleinen Ganzon mit 182 Cent (Frequenzverhältnis ¹⁰/₉) ergänzt.

Grifftabelle nach Peter Prelleur "The Art of Playing on the Violin" (1730)

Noch heute gilt bei Intonationen von A-Capella-Chören die folgende Faustregel (Regel des Weißenburger Kantors Maternus Beringer, 1610).

Halbtöne auf derselben Linie im Notensystem (die chromatischen) sind als kleiner Halbton (semitus minor) zu intonieren. Halbtöne auf benachbarten Linien (die diatonischen) aber als großer Halbton (semitonus major).

Wie man der Frequenztabelle und der Grifftabelle von Peter Prelleur entnehmen kann sind die "Kreuznoten" CIS, DIS u.s.w. tiefer als die "B-Noten" DES, ES u.s.w.

Diese "harmonische Intonation" steht im Gegensatz zur "expressiven Intonation", bei der die Leittöne (Cis Leiton zu D, DIs zu E, Des zu C, Es zu D und so weiter) enger gespielt werden.

Beispiel: Passus duriusculus. Akkorde hier nach W.A. Mozart "Misericordias Domini" d-Moll (KV 205 a).

	Anhörenⓘ	Die Halbtonschritte im Bass betragen in der reinen Stimmung	c → h: 112 Cent h → b 92 Cent b → a 112 Cent a → as 71 Cent as → g 112 Cent

Abgrenzung

Obertonpositionen

Nicht nur die abendländischen Musiktradition auch in außereuropäischen Musikkulturen trifft man auf den Begriff der reinen „Stimmung“, wenn harmonisch-rein intoniert wird.

Im musikwissenschaftlichen Sinn wird der Begriff der reine Stimmung manchmal ausgeweitet auf ein harmonisch-reines Tonsystem, das weitere Intervalle der Obertonreihe miteinbezieht (Naturseptime, der 7. Oberton, Alphorn-Fa, der 11. Oberton, u.s.w.).

Beispiel

Die C-Dur- und c-Moll-Tonleiter in reiner Stimmung beruhen auf folgenden Frequenzverhältnissen zwischen den Tönen:

C-Dur/Name des Tones	C	D	E	F	G	A	H	c
Frequenzverhältnis zum Grundton	1/1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2/1
Frequenzverhältnis zum vorigen Ton	16/15	9/8	10/9	16/15	9/8	10/9	9/8	16/15

c-Moll/Name des Tones	C	D	Es	F	G	As	B	c
Frequenzverhältnis zum Grundton	1/1	9/8	6/5	4/3	3/2	8/5	9/5	2/1
Frequenzverhältnis zum vorigen Ton	10/9	9/8	16/15	10/9	9/8	16/15	9/8	10/9

Die Akkorde der Tonika C-E-G bzw. C-Es-G, der Subdominante F-A-c bzw. F-As-c und der Dominante G-H-d bzw. G-B-d (in moll) bestehen aus reinen Quinten und Terzen. Zu beachten ist hier, dass es zwei große Ganztöne gibt. Zum Beispiel C nach D mit dem Frequenzverhältnis ⁹/₈ und D nach E mit dem Frequenzverhältnis ¹⁰/₉.

Dadurch weichen diese Tonleitern unüberhörbar von der C-Dur- bzw. c-Moll-Tonleiter in pythagoreischer Stimmung und auch von der Tonleiter in gleichstufigen Stimmung ab, bei der jeder Halbton genau ein Zwölftel der Oktave ausmacht und ein Ganzton genau zwei Halbtönen entspricht.

Dass sich bei Modulationen nicht nur Töne um einen Halbton verändern (was durch die Notenbezeichnung sichtbar wird), sondern manche Töne sich auch um ein syntonisches Komma verändern (was in der Notenbezeichnung nicht sichtbar ist), wird beim Thema Modulationen gezeigt.

Historische Entwicklung

Das Quint-Terz-Schema

Die Einführung der reinen Großterz (mit dem Saitenlängenverhältnis zwischen unterem und oberem Ton von 5:4) – als Ersatz und Vereinfachung des pythagoreischen Ditonus (81:64) – geht zurück auf die enharmonische Tetrachordteilung Didymos' (etwa 100 Jahre nach Pythagoras).

In der abendländischen Musik wurde die reine Großterz emanzipiert, indem sie zusammen mit der Sexte (8:5) im 15. Jahrhundert nicht mehr als Dissonanz, sondern als zunächst noch unvollkommene Konsonanz aufgefasst wurde und vor allem als Bestandteil des Dreiklanges zunehmend an musikalischer Bedeutung gewann. Die Deutung der Großterz als 5. Oberton in der Natur- bzw. Teiltonreihe sowie des Durdreiklanges als Zusammenklang von 4., 5. und 6. Oberton ist dabei eine (umstrittene) Definition der Neuzeit.

In den folgenden Darstellungen und Berechnungen werden die Intervalle - wenn nicht ausdrücklich anders beschrieben - als Frequenzverhältnisse der Intervalltöne in Brüchen dargestellt, wobei die größere Zahl im Zähler für den höheren und die kleinere Zahl im Nenner für den tieferen Ton steht.

 C-Dur Akkord in der Obertonreihe^ⓘ

Wie jedes Tonsystem basiert auch das harmonisch-reine auf axiomatischen Intervallen, die als gegeben betrachtet werden. Das sind hier die Oktave ²/₁, Quinte ³/₂ und Terz ⁵/₄. Die anderen Intervalle das Tonsystems lassen sich so als Vielfache dieser Intervalle darstellen.

Wie schon bei den Beispielen mit Modulationen angedeutet wurde, ergibt sich aus der Vielzahl von Kombination dieser Intervalle ein (theoretisch) unendlicher Tonraum. Dieser Tonraum wird häufig mittels eines Tonnetzes wie folgt grafisch dargestellt:

Darstellung im Tonnetz

Diese grafische Darstellung des Quint-Terz-Schemas versteht sich als Beziehungsgeflecht von Tonigkeiten ohne fixierte Oktavlage (auch: „Chroma“, „Toncharakter“ ; engl.: „pitch class“), so dass zur Berechnung konkreter Intervallverhätnisse noch das entsprechende Vielfache der Oktave ²/₁ hinzu- oder weggenommen werden muss. Etwa bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts galten die Oktave, die reine Quinte und Terz, sowie sämtliche Intervalle, die aus deren Kombination resultieren, als von der jeweiligen Stimmung unabhängiges, eigentlich „gemeintes“ Tonsystem der Dur-/Moll-tonalen Musik und das „Tonnetz“ als entsprechende Abbildung dieser Tonbeziehungen. Durch die zunehmende Alterations-Harmonik, enharmonische Verwechslungen und Ganztonskalen ist eine solche Trennung von „gedachtem System“ und „realisierbarer Stimmung“ (spätestens) ab der Spätromantik nicht mehr gegeben, da derartige Phänomene nicht nur pragmatisch, sondern auch (musik-)theoretisch die gleichschwebende Temperatur voraussetzen.

Das eigentliche „Tonnetz“ wurde 1773 von Leonhard Euler als speculum musicum („Abbild der Musik“) in seiner gleichnamigen Schrift „De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis“  vorgestellt, und von da an – zusammen mit den von Moritz Hauptmann  eingeführten „Kommastrichen“ a, e, h und des, as, es, usw. – von zahlreichen Theoretikern zu verschiedenen Zwecken abgewandelt (u. a. von Hermann v. Helmholtz , Arthur v. Oettingen  und Hugo Riemann ). Die unterschiedlichen Charaktere von Tönen gleichen Namens aber verschiedener Lage im (unendlichen) Tonraum ergibt sich in harmonisch-reiner Stimmung nicht nur aus einer jeweils anderen Tonumgebung und Harmonisierung (etwa das e im C-dur-Akkord c-e-g und das e im E-dur-Akkord e-gis-h), sondern auch aus einem (minimalem) Tonhöhenunterschied zwischen den jeweiligen Tonstufen (e und e):

Über c liegt seine Terz ⁵/₄ e. In der Quintenreihe von c liegt aber auch ein e; als 4. Oberquinte von c kommt ihm das Tonverhältnis ⁸¹/₁₆ zu (3⁴/2⁴). Wird diese Oberquinte um 2 Oktaven nach unten verschoben, so dass sie bei ⁵/₄ e liegt, ergibt sich ihr Tonverhältnis zu c wie folgt:

${\tfrac {81}{16}}\cdot {\tfrac {1}{4}}={\tfrac {81}{64}}$

Vergleichen wir die beiden e miteinander,

${\tfrac {5}{4}}:{\tfrac {81}{64}}={\tfrac {5}{4}}\cdot {\tfrac {64}{81}}={\tfrac {5\cdot 16}{81}}={\tfrac {80}{81}}$

zeigt sich, dass der Tonhöhenunterschied ⁸⁰/₈₁ beträgt. Er wird syntonisches Komma genannt.
Die 80 ist der Terz ⁵/₄ e zuzuordnen (⁵/₄ = ⁸⁰/₆₄), also ist ⁵/₄ e [um ca. 21,51 Cent, bzw. etwa einen Zehntel-Ton] tiefer als das gleichnamige ⁸¹/₆₄ e“ 

Umgekehrt liegt das as (etwa im f-Moll-Akkord f-as-c) ein syntonisches Komma über der gleichnamigen Tonstufe in der Quintenkette as-es-b-f-c:

${\tfrac {4}{5}}:{\tfrac {64}{81}}={\tfrac {4}{5}}\cdot {\tfrac {81}{64}}={\tfrac {81}{5\cdot 16}}={\tfrac {81}{80}}$

Die C-Dur-Tonleiter in harmonisch-reiner Quint-Terz Stimmung

Die reine C-Dur-Tonleiter kann verstanden werden als Auswahl derjenigen sieben Tonstufen aus dem Quint-Terz-Schema, die zur Intonation der drei Hauptfunktionen Subdominante (S), Tonika (T) und Dominante (D) – also für die „authentische“ Kadenz benötigt werden:

 C-Dur-Tonalität^ⓘ

Die eigentliche Skala entsteht durch Transposition dieser Tonstufen in die entsprechende Oktavlage – beispielsweise zwischen c¹ und c². Sie besteht nun – im Gegensatz zur pythagoreischen Skala – nicht mehr aus zwei, sondern aus drei Intervallschritten verschiedener Größe, dem großen Ganzton ⁹/₈, dem kleinen Ganzton ¹⁰/₉ und dem diatonischen Halbton ¹⁶/₁₅ :

 reine C-Dur-Tonleiter^ⓘ

Diese siebenstufige Tonleiter erlaubt nun zwar die harmonisch-reine Intonation der Hauptfunktionen T, S und D, doch wirkt sie melodisch unsauber, da die jeweiligen Terzen e, a und h in melodischen Zusammenhang als zu niedrig empfunden werden können. Insbesondere der Leitton h-c ist mit seinen 111,73 Cent problematisch, da er der Tendenz widerspricht, die Strebewirkung von Leittönen durch eine möglichst enge Intonation zu erhöhen (beispielsweise durch das pythagoreische Limma h-c ²⁵⁶/₂₄₃ zu 90,22 Cent). Viele der Intonationsschwierigkeiten – etwa von Streichern, die häufig geschärfte Terzen bzw. Leittöne spielen, und Bläsern – lassen sich auf die Unvereinbarkeit von harmonischer und quasi pythagoreisch-melodischer Reinheit zurückführen.

„In didymischer Auffassung ist cis tiefer als des, gis tiefer als as, dis tiefer als es, usw. Eine Bewertung, die dem melodischen Schrittempfinden des instinktiven Musikers durchaus widerspricht! Und in der Tat ist die naturgewollte primäre Terz gar kein melodisches, sondern ein harmonisches Intervall. […] Die griechische, mathematisch orientierte Musiktheorie zählte die pythagoreische Terz den Dissonanzen zu. Sie hatte in dem Sinne recht, als der Begriff der Konsonanz und Dissonanz ja durchaus eine harmonische Wertung ist. […] Die Linearität der Melodie hat nichts mit großen und kleinen Ganztönen, mit Kommadifferenzen und dergleichen zu schaffen.“ − Sigfrid Karg-Elert  

Die zwei verschieden großen Ganztöne ⁹/₈ und ¹⁰/₉ – die Auslöser dieses „Konflikts“ – ergeben sich (zwangsläufig) aus der arithmetischen Teilung der (reinen) Großterz ⁵/₄. Deren Differenz entspricht dem sog. syntonischen oder didymischem Komma ⁸¹/₈₀ mit ca. 21,51 Cent; d. h. die Tonstufen, die in der Reihe über den (gleichnamigen) Tonstufen im Tonnetz liegen, werden etwa einen Zehntel-Ton tiefer als diese intoniert (e:e = 80:81). Eine Lösung dieses zusätzlichen Problems liefert die mitteltönige Stimmung mit der geometrischen Teilung der Großterz, was zu zwei gleichgroßen Ganztönen (jeweils 193,156 Cent) führt, ohne die Reinheit der Terz in Frage zu stellen.

Die „zweierlei d in C-Dur“

Ein anderes Problem besteht in der Intonation der Quinte d-a, die als Wolfsquinte ⁴⁰/₂₇ zu 680,448 Cent um ein syntonisches Komma zu eng, und damit dissonant, erscheint. Sie erklingt u. a. im d-Moll-Akkord (d-f-a) auf der zweiten Stufe bzw. in der Kadenz mit Subdominantparallele (T-Sp-D-T):

 dissonantes d-Moll in C-Dur^ⓘ

Die Bereinigung dieses dissonanten Intervalls erfordert eine zusätzliche Tonstufe d (d:a= 2:3 statt d:a = 27:40), wodurch allerdings das syntonische Komma ⁸¹/₈₀ zu einem musikalisch relevanten (hörbaren) Intervallschritt wird (Siehe oben: Modulation von C-Dur über a-moll nach F-Dur):

 zweierlei d in C-Dur^ⓘ

Noch deutlicher tritt das Mikrointervall zwischen d und d in Erscheinung, wenn die C-Dur-Tonleiter entsprechend modifiziert wird:

 achtstufige C-Dur-Tonleiter^ⓘ

Diese achtstufige Tonleiter erlaubt nun zwar die harmonisch-reine Intonation sämtlicher diatonischer Nebenfunktionen in C-Dur, doch widerspricht sie nicht nur der gängigen Musikpraxis, sondern auch dem, was im Allgemeinen unter dem diatonischen Tonsystem verstanden wird, bzw. dem, was Hörer und Komponist unter der diskreten Tonhöhenkategorie oder Tonigkeit „d“ erwarten.

Dessen ungeachtet stehen in einigen mikrotonalen Systemen tatsächlich beide Tonstufen d und d zur Verfügung.

Klangbeispiele

Für die klangliche Darstellung reiner Stimmungen wurde ein bekanntes, freilich historisch nicht korrektes Beispiel gewählt, das es möglich macht, die diffizilen Unterschiede deutlich zu hören. Es wurde von Johann Sebastian Bach für eine der (vielen) wohltemperierten Stimmungen konzipiert; für welche genau lässt sich heute nicht mehr mit Sicherheit rekonstruieren.

Johann Sebastian Bach: Präludium in C-Dur aus dem ersten Band des Wohltemperierten Klaviers, BWV 846

Beispiel 1: Takte 1 bis 5

• Die im Text beschriebene 7stufige (reine) C-Dur-Tonleiter führt zwar zu einem melodisch sinnvollen großen Ganzton (⁹/₈) c-d [bei a)], doch wird die Quinte d-a [bei b)] dadurch unrein (⁴⁰/₂₇ statt ³/₂, sie ist mit ca. 680,448 Cent um ein syntonisches Komma zu klein). Anhören^ⓘ

• Durch Erweiterung der Skala um ein erniedrigtes d [bei a)] wird die Quinte d-a [bei b)] nun zwar bereinigt, doch entsteht zum einen ein unmelodischer kleiner Ganzton (¹⁰/₉) und zum anderen eine deutlich hörbare (syntonische) Kommadifferenz (⁸¹/₈₀) zwischen den d's des zweiten und des dritten Taktes [bei c)]. Anhören^ⓘ

• Bei Annahme der Naturseptime (⁷/₄ statt ⁹/₅) im Dominantseptakkord [bei d)] entsteht ein zusätzliches „septimales Komma“ (⁶⁴/₆₃, ca. 27,264 Cent) zwischen dem f des zweiten und des dritten Taktes [bei e)]. Der Gleitton f-e wird als „septimaler Halbton“ (²¹/₂₀, ca. 84,467 Cent) eng intoniert [bei f)]. Anhören^ⓘ

Beispiel 2: Takte 5 bis 11

• Auch die 12stufige, chromatische Skala beinhaltet (nur) die unreine Quinte d-a (⁴⁰/₂₇), die hier zweimal als Teil des Doppeldominant-Septakkordes erklingt [bei a)]. Anhören^ⓘ

• Der Ausgleich dieser Quinte erfordert nun ein pythagoreisch eingestimmtes a (²⁷/₁₆ statt ⁵/₃), das gegenüber dem a als Grundton der Tonikaparallele um ein syntonisches Komma erhöht ist [bei b)]. Da die Kommadifferenzen hier in einer der Mittelstimmen erklingen fallen sie kaum ins Gewicht – mit einem durchaus annehmbaren klanglichen Resultat. Anhören^ⓘ

• Im Gegensatz dazu führt der als Naturseptime intonierte Ton c der Doppeldominante wiederum zum deutlich hörbaren „septimalen Komma“ [bei c)]. Anhören^ⓘ

Trivia

Arnold Schönberg beschreibt in seinem musiktheoretischen Werk Harmonielehre. (Wien, 1911; 3te Auflage 1922) die Reine Stimmung, wobei er dem Tritonus (Fis) die Oktavmitte (gleichschwebend) zuordnet.

Literatur

• Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, Vieweg, Braunschweig 1863, Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt/Main 1981, ISBN 3-8102-0715-2 [Exzerpt]

• Ludwig Riemann Populäre Darstellung der Akustik in Beziehung zur Musik. Verlag Friedrich Vieweg, Braunschweig ebenfalls 1896.

• Bettina Gratzki: Die reine Intonation im Chorgesang. Verlag für systematische Musikwissenschaft GmbH Bonn 1993 (Exzerpt)

• Ross W. Duffin: How Equal Temperament Ruined Harmony (And Why You should Care) Verlag W.W.Norton&Company, New York · London, 2007 (Exzerpt)

Weblinks

• "Die reine Stimmung" von Joachim Mohr

Siehe auch

• Solmisation
• Gleichstufige Stimmung
• Quintenzirkel

Quellen

Stimmungen des abendländischen zwölfstufigen Tonsystems

Gleichstufige Stimmung | Kirnberger-Stimmung | Mitteltönige Stimmung | Pythagoreische Stimmung | Reine Stimmung | Silbermann-Sorge-Temperatur | Vallotti-Stimmung | Werckmeister-Stimmung | Wohltemperierte Stimmung