Dirac-Operator

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Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator, der eine Quadratwurzel eines Operator zweiter Ordnung, wie dem Laplace-Operator, ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der Spezielle Relativitätstheorie verträglich macht. Um den Laplace-Operator als Produkt von Operatoren erster Operatoren zu erhalten, führte er Spinoren ein.

Sei allgemein $D$ ein Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel $V$ über ein Riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ wirkt.

Wenn

$D^{2}=\Delta ,\,$

mit $\Delta$ als Laplace-Operator auf $V$ ist, dann wird $D$ Dirac operator genannt.

In der Teilchenphysik wird diese Randbedingung oft vereinfacht. Nur der Anteil zweiter Ordnung von $D^{2}$ muss gleich dem Laplace-Operator sein.

Beispiele

1. $-i\partial _{x}$ ist ein Dirac-Operator über einem Tangentenbündel über einer Linie.


2. Wir betrachten nun ein einfaches Bündel, das in der Physik sehr wichtig ist. Der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin ¹/₂, das auf eine Ebene beschränkt ist. Diese Ebene ist als die Basis-Mannigfaltigkeit. Es wird durch eine Wellenfunktion ψ: R² → C²

   ${\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}$,
   

   Dabei sind x und ydie üblichen Koordinatenfunktioenen auf R²: χ definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für eine aufwärts gerichteten Spin-Zustand (Spin-Up) und analog η ist ein Spin-Down. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kan dann geschrieben werden als

   $D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},\,$

   wobei σ_i die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen, Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt [1].


3. Der bekannteste Dirac-Operator beschreibt die Bewegung eines freien Fermions in drei Dimensionen:

   $D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,$

   unter Verwendung der Feynman-Slash-Notation.


4. Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidschen Raum ist das

   $D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$

   wobei

   $\{e_{j}:j=1,\ldots ,n\}$

   eine Orthonormal-Basis des euklidschen Raumes ist und $\mathbb {R} ^{n}$ gilt als in eine Clifford-Algebra eingebettet. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operator, der auf Abschnitte von Spinor-Bündeln wirkt.


5. Für eine Spin-Mannigfaltigkeit M, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert: Für $x\in M$ und $e_{1}(x),\ldots ,e_{j}(x)$ eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von M in x, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator

   $\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}$,

   wobei ${\tilde {\Gamma }}$ ein Liften des Levi-Civita-Zusammenhangs auf M für das Spinor-Bündel über M ist.

Verallgemeinerungen

Der Operator $D:C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},S)\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{k}\otimes S)$, der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

$f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}$

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k CliffordVariablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, $x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})$ sind n-dimensionale Variablen und $\partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}$ ist der Dirac-Operator in der $i$-ten Variable. Diese ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Es ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe $SL(k)\times Spin(n)$ ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

See also

• Dirac-Gleichung
• Clifford-Algebra
• Zusammenhang (Differentialgeometrie)

Referenzen

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