Diskussion:Primzahl

Einige ältere Diskussionsbeiträge, die nicht die Themen "Was ist eine Primzahl", "Warum ist 1 keine Primzahl" oder "Primzahllücken" betreffen, wurden nach Diskussion:Primzahl/Archiv1 verschoben. Die - anscheinend erledigte - Diskussion zu Primzahllücken sollte auch ausgelagert werden (in ein weiteres Archiv dieser Seite oder auf Diskussion:Primzahllücke oder eine Unterseite). --SirJective 20:17, 23. Aug 2005 (CEST)

Alte Diskussion

Eine Zahl, die nicht Primzahl ist, nennt man zusammengesetzte Zahl.

Das ist nicht ganz korrekt. 0 und 1 sind weder Primzahl noch zusammengesetzt. Das sollte man noch irgendwie reinbringen. --Berni 22:32, 17. Dez 2003 (CET)

Danke fuer den Hinweis, das hatte ich uebersehen. --SirJective 11:41, 18. Dez 2003 (CET)

Die 0 gehört allerdings überhaupt nicht zum multiplikativen Monoid ${\mathbb {N}}$ der ganzen Zahlen, dessen Erzeugende die Primzahlen gerade sind. Zur 0 stellt sich m.E. von vorneherein gar nicht die Frage "prim oder zusammengesetzt". -- JFKCom 20:52, 13. Jul 2005 (CEST)

Abgesehen davon, dass Du an eine anderthalb Jahre alte Diskussion anknüpfst, sind Primzahlen auch für den Ring der ganzen Zahlen wichtig, und in vieler Hinsicht verhält sich 0 wie eine Primzahl (Erzeuger eines Primideals).--Gunther 21:08, 13. Jul 2005 (CEST)

Die Alt-Diskussion kannte ich nicht, die will dann auch gar nicht weiter aufwärmen. Ich habe nur mit der bestehenden Erstdefinition der Primheit ein Erstleser-Problem: Sie definiert prim u. zusammengesetzt jeweils für "nat. Zahlen > 1". Die folgende Bemerkung zu 0 u. 1 danach wirkt auf mich deshalb so künstlich, weil diese beiden Zahlen eben davor gerade ausgeschlossen wurden. Ich fände diese etwas subtile Betrachtung von 0 u. 1 eher im theoretischer angehauchten Teil weiter unten besser untergebracht. Der ursprüngliche Einwand ist ja m.E. durch die generelle Einschränkung auf >= 2 bereits "geheilt". -- JFKCom 23:03, 13. Jul 2005 (CEST)

Der Beitrag von SirJective, auf den Du geantwortet hast, stammt von Dezember 2003. Aktuelle Diskussionen findest Du fast immer unten. Bei dem Nachsatz (im Abschnitt "Formale Definition") geht es ja um den Begriff "zusammengesetzte Zahl", und da muss man dann 0 und 1 gesondert erwähnen.--Gunther 23:09, 13. Jul 2005 (CEST)

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Ich habe die alte Version wieder hergestellt, da die Änderungen am Sieb des Erasblabla unsinn sind. In der Praxis wird man dies so realisieren (werd ich gleich in den Artikel schreiben), aber am Anfang weiß man ja eigentlich noch nicht, daß 2 eine Primzahl ist. Analog könnte man auch die ersten 100 Primzahlen als bekannt voraussetzen und würde letztlich nichts anderes tun als ab da anfangen zu prüfen. Die Antwort zur Frage, warum 1 keine Primzahl ist habe ich aus den unten besprochenen Gründen gelöscht. --Coma 18:38, 27. Feb 2003 (CET)

Halo Coma, zu deiner Frage zu den Primzahlen: Die Zahl ist nur durch sich selbst teilbar. Sie durch 1 zu teilen ist das gleiche, wie sie durch sich selbst zu teilen. Die Bediengung für eine Primzahl ist also nicht erfüllt! bei weiteren Fragen --> Diskusion:Primzahlen DaB.

Wer sagt denn, daß "durch 1 teilbar sein" und "durch sich selbst teilbar sein" nicht das gleiche sein darf? Die Definition verlangt nur das beides zu gleich geht. Wenn es ein und das selbe ist, geht auch beides zu gleich... darum würd ich den punkt bei "warum 1 keine primzahl ist" löschen. das ist absoluter humbug. --Coma 13:36, 25. Feb 2003 (CET)

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Jede positive ganze Zahl lässts sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (eindeutige Primfaktorzerlegung). So besteht z.B. die Zahl 1050 aus den Primfaktoren 2 · 3 · 5 · 5 · 7.

Wenn jede ganze Zah mit einem Produkt aus primzahlen dargestellt werden kann, wie stellt man dann zum Beispiel die "7" oder die "11" dar? 7*1 geht ja nicht, da die "1" ja keine Primzahl ist, oder?

Soweit ich weiß ist das Produkt aus einer Zahl als die Zahl selbst und das Produkt aus 0 Faktoren als 1 definiert. --Caramdir 18:00, 28. Aug 2003 (CEST)

Ja, diese Festlegung ist üblich. Hab den Artikel Multiplikation entsprechend erweitert. Der Artikel über Addition sollte dann auch noch erweitert werden um Summen mit 1 oder 0 Summanden. In de.sci.mathematik war vor kurzem eine Diskussion über genau dieses Thema. Sollte man diese Festlegungen im Artikel noch begründen? --SirJective 18:52, 29. Aug 2003 (CEST)

Warum ist 1 keine Primzahl

Alte Version zur Frage "Warum ist 1 keine Primzahl wieder hergestellt"

Der neue Text ist mathematisch durchaus korrekt. Ich bin dennoch der Meinung, dass man dem Leser die Auswahl an Antworten überlassen sollte. Die oben genannte Frage, impliziert nämlich die Frage, warum Definiert man dies und das so, und nicht anderst. Man könnte doch einfach sagen, eine Primzahl ist eine natürliche Zahl die maximal 2 natürliche Teiler hat, dann ist 1 auch eine. Geht man auf weitere Ringe über, so stellt sich heraus, dass die angegebene Definition eigentlich die Definition eines irreduziblen Elements ist, und garnicht die eines Primelements. Stenggenommen müsste man hier eigentlich die Definition eines Primelements angeben. Aber das verwirrt Leute, die sich keine Gedanken über Verallgemeinerungen machen (wollen). Da Primzahl eine der am häufigsten aufgesuchten mathematischen Seiten in der Wikipedia ist, sollte man hier vorsichtig sein.--Berni 14:21, 29. Jan 2004 (CET)

Jede zahl hat unendlich viele Teiler, wenn diese nicht unterschiedlich sein müssen. So ist

• 1 = 1*1*1*1...
• 2 = 2*1*1*1*1...
• 3 = 3*1*1*1*1*1...
• 4 = 2*2*1*1*1...
• 5 = 5*1*1*1...
• 6 = 2*3*1*1*1... etc.

Wenn die 1 eine Primzahl WÄRE, dann würde folgende Definition gelten: Eine Zahl ist genau DANN eine Primzahl, wenn ihre Zerlegung außer sich selbst und der 1 keine anderen Zahlen enthält.

Das klingt einfach und logisch. Mathematik untersucht aber keine Naturgesetze, sondern formale Systeme, und davon gibt es unendlich viele, die allesamt völlig gleichberechtigt sind. man kann die 1 als primzahl definieren oder auch nicht - es geht nur darum, welches der beiden Systeme am zweckmäßigsten ist. --Modran 22:53, 24. Sep 2004 (CEST)

Warum ist die 1 keine Primzahl - Sieb des Eratosthenes

Hab folgenden Absatz aus dem Artikel entfernt:

• Eine komplexere Antwort bietet das Sieb des Eratosthenes. Dieses ist ein Verfahren zum heraussieben von Nichtprimzahlen. Alle Zahlen sind zu Anfang Primzahlen. Die erste Zahl wird als Primzahl markiert, und daraufhin alle Vielfachen der Primzahl ausgestrichen. Danach wird die erste nicht ausgestrichene Zahl als Primzahl markiert, und so weiter. Standardmässig beginnt man mit der 2, denn würde man mit der 1 als Primzahl beginnen, dann würde keine nicht ausgestrichene Primzahl mehr übrig bleiben.

Dies ist fuer mich keine Antwort auf die Frage. Das Siebverfahren funktioniert, weil die 1 keine Primzahl ist, nicht umgekehrt. Waere die 1 eine Primzahl, waere der Siebalgorithmus etwas anders. --SirJective 11:49, 4. Mai 2004 (CEST)

Das das Siebverfahren nur deswegen funktioniert, weil die 1 keine Primzahl ist, stellt doch keiner in Frage. Die Argumentation soll ja gerade darauf zielen, das die 1 keine Primzahl sein kann, weil sonst das Siebverfahren nicht funktionieren kann. Es soll die "Daumenschrauben" für "1 ist keine Primzahl"-Zweifler etwas enger schrauben. Mehr nicht. --Arbol01 12:02, 4. Mai 2004 (CEST)

Dieses Siebverfahren funktioniert, wenn 1 keine Primzahl ist. Wenn aber 1 eine Primzahl ist, funktioniert ein anderes Siebverfahren. Dieser Algorithmus ist mMn kein Argument fuer oder gegen die Primalitaet der 1. Ebensowenig wie "ohne die 0 gibt es kein neutrales Element der Addition in den natuerlichen Zahlen" fuer sich genommen kein Argument dafuer ist, die 0 zu den natuerlichen Zahlen hinzuzunehmen. --SirJective 12:23, 4. Mai 2004 (CEST)

Definition des Begriffs Primzahl

Wenn ich die alte Einleitung

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Teiler hat - nämlich 1 und die Zahl p selbst. Diese Definition impliziert, dass die beiden Teiler voneinander verschieden sind (durch das Wort „genau“).

mit der neuen vergleiche

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Teiler hat. Nämlich die 1 und die Zahl p für die 1<p gilt.

faellt mir auf, dass die Bedingung p>1 wieder drin ist, die durch die umstaendliche alte Formulierung vermieden werden sollte. Wenn wir diese Bedingung wieder drin haben, koennen wir gleich schreiben

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur die Zahlen 1 und p als positive Teiler hat.

--SirJective 12:23, 4. Mai 2004 (CEST)

Auch ich halte letzendlich diese Formulierung "Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur die Zahlen 1 und p als positive Teiler hat." für besser.

Das Problem ist ja immer, das irgendeinem Menschen diese Formulierung wieder nicht passt (Siehe Coma). --Arbol01 12:52, 4. Mai 2004 (CEST)

Ich hab jetzt beide verbreiteten Definitionen reingeschrieben. Ist es recht, dass ich die Liste der Primzahlen und der zusammengesetzten Zahlen reingeschrieben habe? --SirJective 14:23, 4. Mai 2004 (CEST)

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Die "auch für Laien geeignete" Definition

Eine Primzahl ist eine (positive) ganze Zahl, die nur durch die Zahl 1 und sich selbst (ganzzahlig) teilbar ist.

ist leider falsch, und das auch nach meinem Einschub, dass die Zahl größer als 1 sein muss:

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl, die größer als 1 ist und nur durch die Zahl 1 und sich selbst (ganzzahlig) teilbar ist.

Denn ganzzahlig ist jede ganze Zahl auch durch -1 teilbar... Wolfgang1018, meinst du, wir finden irgendwann eine einfache richtige Definition? --SirJective 12:07, 22. Sep 2004 (CEST)

Deine Einwände, SirJective, sind berechtigt! Danke für die Berichtigung und den Hinweis. Weil hier schon lange um eine einfache, aber korrekte Definition für die Einleitung gerungen wird, habe ich nochmals mit mir gerungen und mir eine zwar etwas längere, aber dennoch einfache, gut nachvollziehbare Formulierung überlegt und diese auch gleich in dem anschließenden Beispiel und Gegenbeispiel berücksichtigt. Ich hoffe, wir sind damit einer einfachen richtigen Definition näher oder sogar ganz nahe gekommen. Wolfgang1018 13:12, 22. Sep 2004 (CEST)

Sollte im ersten Satz nicht "ganze Zahl" durch "natürlich Zahl" ersetzt werden? -- tsor 19:23, 24. Sep 2004 (CEST)

Mmmmhhhhh, würde ich irgendwie auch sagen. Obwohl die ganzen Zahlen nicht im Wiederspruch stehen. (-2) z.B. ist durch vier Zahlen teilbar, nämlich -2, -1, 1 und 2. --Arbol01 20:04, 24. Sep 2004 (CEST)

Von negativen Promzahlen habe ich auch noch nichts gehört oder gelesen. Bei der "Formellen Definition" ein paar Zeilen ist auch von "natürlichen Zahlen" die Rede. Vielleicht sollten wir hier noch ein paar Meinungen abwarten bevor wir die mühsam erarbeitete Formulierung abändern. -- tsor 21:13, 24. Sep 2004 (CEST)

Ich habe jetzt das erste ganze Zahl durch natürliche Zahl ersetzt. Ehrlich gesagt finde ich die ganze Definition zum kringeln. Ob die wirklich einfacher zu verstehen ist, wage ich zu bezweifeln. Aber sei es drum. --Arbol01 22:22, 24. Sep 2004 (CEST)

"Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die selbst größer als 1 ist und von allen ganzen Zahlen größer als Null nur durch die Zahl 1 und sich selbst (ganzzahlig) teilbar ist, d.h. dass das Teilen (die Division) nur bei diesen beiden Fällen genau aufgeht und kein Rest oder Bruchteil verbleibt."

Ist das wirklich Euer Ernst? ;)

Über 50 Worte, um simple Primzahlen zu definieren? Das geht auf keinen Fall! Ich überleg mir mal was... ;) --Modran 23:16, 24. Sep 2004 (CEST)

Der Unterschied zwischen "ganze Zahl größer als 1" und "natürliche Zahl größer als 1" ist eher gering ;) Wolfgang, welcher Begriff sollte Schülern eher bekannt sein, ganze Zahl oder natürliche Zahl? Oder kennen die nur "Zahl"?

Die -2 entspricht nicht der Definition einer Primzahl, aber die Begriffe "Primzahl" und "zusammengesetzte Zahl" sind auch nur für natürliche Zahlen definiert. Die formale Definition sollte also unangetastet bleiben.

Die Einleitung ist jetzt immerhin richtig. Vielleicht sollte man die Liste der ersten Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen mit an den Anfang verlegen, ist vielleicht zur Verdeutlichung hilfreich? --SirJective 23:20, 24. Sep 2004 (CEST)

Was spricht denn gegen: "Eine (natürliche) Zahl ist (genau dann) prim, wenn sie mindestens zwei verschiedene (natürliche) Teiler aufweist"?

Da dann die 1 ebenfalls Primzahl ist, würde man gegen die Eindeutigkeit einer Primfaktorzerlegung verstoßen. Das zieht einen Rattenschwanz von Sonderbetrachtungen in Beweisen nach sich. Die Definition "eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern" ist absolut üblich und für jeden Schüler verständlich. Warum soll man also künstlich das ganze aufbauschen?--herw, + 18:41, 28. Nov 2004 (CET)

Wobei man wieder darauf hinweisen müßte, daß in diesem Fall 0 nicht zu den natürlichen Zahlen gehört - und wir haben wieder dasselbe problem, nur auf einer anderen Ebene...

Letztlich ist die Mathematik keine Naturwisenschaft. Sie wählt beliebige Axiome und Definitionen aus einer unendlichen Fülle vom Möglichkeiten aus. Deshalb muß sie immer wieder zeigen, daß die wenigen von ihr ausgewählten Systeme eine praktische Relevanz haben. Ein System, in dem die 1 eine primzahl ist, ist viel trivialer als eins, in dem sie es nicht ist, denn in diesem System ist 1 die EINZIGE Primzahl!

Ein solches System lohnt nicht der weiteren Untersuchung, es gibt darin nichts mehr zu entdecken! Volkswirtschaftlich gesprochen kann man dafür keine Fördergelder bekommen, weil es nichts zu untersuchen gibt. Die Primzahlen (ohne 1) hingegen haben - anders als noch vor 100 jahren - plötzlich eine enorme wirtschaftliche Bedeutung (eben weil der simple Verzicht auf die 1 ein enorm Komplexes System erzeugt)! Ich bin zwar auch ein Freund von freier Information wie in Wiki, aber manche persönliche Daten DARF ich einfach nicht unverschlüsselt über das Inet schicken - und die Primzahlen sind derzeit unsere einzige Möglichkeit, eine sichere Verschlüsselung zur Verfügung zu stellen. --Modran 23:43, 24. Sep 2004 (CEST)

Dagegen spricht, dass 4 eine natürliche Zahl ist, die mindestens zwei verschiedene natürliche Teiler hat. ;)

Ob die 0 zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht ist für Primzahlen ausnahmsweise völlig irrelevant, da es sowieso nur um "natürliche Zahlen größer als 1" geht und die 0 sowieso nicht Teiler einer solchen Zahl sein kann.

Ja, Mathematik ist sehr willkürlich bei der Wahl der Axiome und Definitionen, trotzdem sehe ich nicht die Notwendigkeit einer praktischen Relevanz. Ich denke, es geht an dieser Stelle der Diskussion nicht darum, ob die 1 eine Primzahl ist (dafür gibt's nen anderen Abschnitt hier), sondern um eine möglichst verständliche Formulierung des allgemein anerkannten Primzahlbegriffs. --SirJective 00:38, 25. Sep 2004 (CEST)

Ups ;) ja, ok. Ich hab trotzdem eine Ergänzung gemacht, was hälst Du davon? --Modran 00:45, 25. Sep 2004 (CEST)

Ganz ehrlich? Wenig. Die Willkürlichkeit mathematischer Systeme gilt ja ganz allgemein, und Beispiele für den praktischen Nutzen der gewählten Definition sind schon da.

Aber ganz nebenbei würde mich die Definition interessieren, nach der die 1 eine Primzahl wird und das System sehr langweilig wird. --SirJective 01:02, 25. Sep 2004 (CEST)

Definition: eine natürliche Zahl ist genau dann Prima, wenn sie selbst ihr einziger ganz- äh, natürlichzahliger Teiler ist. Es darf, um es eindeutiger zu machen, keine natürliche Zahl geben, die mit einer oder mehreren ANDEREN natürlichen Zahlen multipliziert p ergiobt: genau dann ist p prima. In Folge ist die 1 eine prima Zahl, denn sie besitzt keinen anderen Teiler außer sich selbst. Darüber hinaus gibt es keine anderen prima Zahlen, denn jede andere natürliche Zahl besitzt die 1 als Teiler. Selbst die Null, falls vorhanden. Was soll man mit dieser Definitionen anfangen? Man kann noch nicht einmal eine Aufteilung der natürlichen Zahlen in Primafaktoren beschreiben, da der einzige in Frage kommende Faktor - die 1 - mit sich selbst multipliziert einfach sehr selbstverliebt reagiert. --Modran 04:37, 12. Mär 2005 (CET)

Ich verstehe. Interessant, wie eine leichte Abwandlung der Definition einen uninteressanten Gegenstand liefern kann :) Der von dir im September eingefügte Absatz erklärt zwar, warum wir bestimmte Definitionen nicht verwenden. Er erklärt aber nicht, warum die Definition nicht lautet "Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie höchstens zwei verschiedene natürliche Teiler hat". Diese würde alle Primzahlen und die 1 einschließen, aber die 0 ausschließen (weil sie unendlich viele Teiler hat), und diese oder eine äquivalente scheint ja diejenige Definition zu sein, die die meisten im Kopf haben, wenn sie die Frage "Warum ist eigentlich die 1 keine Primzahl?" stellen. RSA funktioniert auch mit dieser abgewandelten Definition, denn in der Praxis arbeitet man sowieso mit riesigen Zahlen, so dass die Primalität der 1 gar keine Rolle spielt.

Wie gesagt, ich halte wirtschaftliche Gründe oder die "praktische Relevanz" kaum für ausschlaggebend, wenn es um mathematische Definitionen geht (und außerdem stand die Definition einer Primzahl schon fest, lange bevor man einen "praktischen Nutzen" kannte). --SirJective 16:11, 23. Mär 2005 (CET)

Primzahl-Lücken

Umgekehrt ist n!+1 sicher eine Primzahl, denn analog kann man hier den Beweis von Euklid verwenden, der zeigt, dass es keine höchste Primzahl gibt.

Diese Folgerung ist falsch. Nicht, das es eine größte Primzahl gäbe, aber n!+1 kann das Produkt zweier Primzahlen sein, die beide, jeder für sich, größer als n sind:

4!+1 = 25, 5!+1 = 121, 6!+1 = 7*103, 7!+1 = 71*71, 8!+1 = 61*661, ...

Das Gegenteil scheint der Fall zu sein, nämlich das n!+1 eher eine zusammengesetze Zahl ist, denn eine Primzahl. --Arbol01 16:34, 12. Dez 2004 (CET)

Nachtrag: Die nächtste Primzahl der Form n!+1 ist nach 3!+1 die 11!+1. --Arbol01 16:35, 12. Dez 2004 (CET)

Das geht ja heiß her in dem Abschnitt. *gg*

Kann jetzt bitte noch jemand die zweite Tabelle erklären, insbesondere den Tabellenkopf?

			theoretische Lücke			praktische Lücke
n	n!+2	n!+n	$l_{th}$	$u_{th}$	$o_{th}$	$l_{pr}$	$u_{pr}$	$o_{pr}$

--SirJective 20:39, 12. Dez 2004 (CET)

Gerne:

theoretische Lücke und praktische Lücke meint, das dem Verfahren theoretisch eine Lücke nach n!+2 ... n!+n, diese Lücke (n-1) Nichtprimzahlen enthält, sie praktisch mindestens genauso groß ist, häufig aber größer.

Es soll kein Beweis für etwas darstellen, sondern nur ein paar schöne Beispiele. l ist die Größe der Lücke, u die untere Grenze und o die obere Grenze.

Nochmal zu Rat: Mit einer Nichtprimzahl ist 2!+2 = 4 der einzige Fall, wo die Lücke nach der Formel das einzige mal, als erste maximale Lücke auftritt. Bei allen anderen Lückel n!+2 ... n!+n gibt es immer wenigstens einen Fall, wo eine Lücke mit (n-1) Nichtprimzahlen vorher vorkommt. Das rechtfertigt ein fast nie --Arbol01 21:01, 12. Dez 2004 (CET)

Meine Formulierung "nicht notwendig(erweise)" ist bereits durch ein Beispiel bestätigt. Für fast alle müsste man zeigen, dass die Lücke "4" tatsächlich die einzige ist bzw. dass es darüberhinaus nur endlich viele weitere gibt. Ich sehe auch, dass diese Vermutung offensichtlich richtig ist. "Das sieht man doch!" ist aber kein Beweis. In der Mathematik sollte man pingelig sein. Das macht ihren Reiz aus. --Rat 21:17, 12. Dez 2004 (CET)

Ich weiß nicht, ob es einen Beweissatz gibt. Ich sehe es so, es kommt endlich mal vor (praktisch mehr als einmal), das der Fall das erste Mal vorkommt, und unendlich oft, das der Algorithmus eben nicht das erste mal liefert. Endlich durch Unendlich = 0. Nebenbei, wie wichtig ist der Punkt, um den sich gestritten wird eigentlich. Viel wichtiger, unf frappanter ist doch, das Ralf Pfeifer, der das ganze Verfahren auf das Tablett gebracht hat, zurecht dieses Verfahren im Artikel erwähnt hat. --Arbol01 21:31, 12. Dez 2004 (CET)

Der Punkt ist vollkommen unwichtig. Daher streite ich auch nicht darüber. Deine Änderungen heute zwischen 16:27 und 18:10 deuten aber darauf hin, dass du auf eine schlüssige Argumentation Wert legst. Dass der Algorithmus unendlich oft nicht das Erstvorkommen liefert, ist zunächst mal eine Vermutung. Dafür spricht lediglich, dass du und ich außer 4 noch keinen weiteren Fall gefunden haben (vermutlich haben wir auch beide nicht gesucht, da es ja so offensichtlich ist). Wer sagt aber, dass das ab 10^10^10 immer noch so ist? Wenn ab dann immer das Erstvorkommen geliefert würde, könnte man eben nicht "so gut wie nie" sagen. Und dann nutzt auch das <frier>Endlich durch Unendlich = 0</frier> nichts mehr, mit dem man aus 2 Gründen nichts anfangen kann. a) du schließt aus der vermuteten Unendlichkeit auf die Richtigkeit deiner Vermutung und kommst damit b) auf eine falsche Aussage, die durch Umformung 0 mal Unendlich = Endlich ergibt. Aus der falschen Aussage schließt du auf "so gut wie nie". Du kannst auch jeden anderen Schluss ziehen. Ex falso quodlibet. So und jetzt ist genug Oberlehrer für heute ;-) --Rat 22:17, 12. Dez 2004 (CET)

Deine Änderungen heute zwischen 16:27 und 18:10 deuten aber darauf hin, dass du auf eine schlüssige Argumentation Wert legst. - Treffer, versenkt. Du hast natürlich recht, ich lege an und für sich wert auf eine schlüssige Argumentation, wobei ich natürlich wußte, das n!+1 nicht zwangsläufig eine Primzahl ist. Was viel schwerer wiegt, und darauf spielst Du an, ich habe Ralf Pfeifer die Goldbach-Vermutung nicht als Eigenschaft durchgehen lassen. Also schön, ich ändere es wieder auf die schwache Version. Was mich persönlich ärgert ist, daß ich Ralf Verfahren zum generieren von beliebig großen Primzahl-Lücken (ungeprüft) angezweifelt habe. Er hat zwar 1 1/2 mal in das Klo gegriffen, was aber nicht bedeutet, das er immer in das Klo greift. So etwas verzeihe ich mir fast nie. Hoffentlich hat ihn das nicht abgeschreckt. --Arbol01 22:28, 12. Dez 2004 (CET)

kgv

Im Artikel steht mehrmals "kgv(2,...)" ohne Erklärung, was das ist. -- Martin Vogel $\circ$ 15:53, 13. Dez 2004 (CET)

Asche auf mein Haupt: kleinstes gemeinsames vielfaches. Ich verlinke wenigstens eines davon noch. --Arbol01 17:02, 13. Dez 2004 (CET)

Noch eine Erläuterung: Warum kann man statt n!+2 bis n!+n, kgv(1,..,n)+2 bis kgv(1,..,n)+n benutzen? Der kgv(1,...,n) enthält, ebenso wie n! jeden Teiler von 2 bis n. --217.233.224.201 17:59, 13. Dez 2004 (CET)

Und schon ist offensichtlich, dass das "Fakultätsverfahren" außer im Fall 2!+2 nie das erste Vorkommen einer Lücke vorgegebener Mindestlänge liefern kann, da das "KGV-Verfahren" stets ein noch früheres Vorkommen angibt (allerdings wohl wieder nicht das erste).

Allerdings drängt sich mir die Frage auf, ob diese Beobachtungen noch in den Hauptartikel gehören, oder nicht vielleicht doch woanders hin (Unterseite? Diskussion?). --Rat 20:40, 13. Dez 2004 (CET)

Das Verfahren als Alternative zur Fakultät sollte erhalten bleiben. Auf die etwas flapsige Bemerkung dazu kann ich getrost auch verzichten. --Arbol01 20:45, 13. Dez 2004 (CET)

fakultät gegen kgV

Es stimmt, der (das) kgV liefert gegenüber der Fakultät die früheren Lücken. Genau betrachtet, sind aber bei der Fakultät die vier ersten praktischen Lücken genau die, die in der Wirklichkeit zum ersten mal auftauchen, während das bei dem kgV nicht so ist. Das Verfahren mit dem kgV spielt seine Vorteile erst ab kgV(1,..,6) aus, wenn die Lücke bei 6! zwischen 721 und 727 liegt, während bei kgV(1,..,6) die Lücke zwischen 61 und 67 liegt. Die beiden ersten Lücken, 2! und 3! bzw. kgV(1,..,2) und kgV(1,..,3), sind identisch. Arbol01 21:19, 13. Dez 2004 (CET)

Eigenschaften von Primzahlen

Ich finde, das der Abschnitt Eigenschaften von Primzahlen etwas unstrukturiert ist. So finden sich gerade am Anfang Dinge, die meiner Meinung nicht dort hingehören, wie Dewdneys Wertschätzng der Primzahl oder das sich jede zusammengesetzte Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen läßt. Meine Einschübe müßten AFAIK ebenfalls gegliedert werden. Bevor ich mich aber über den Abschnitt hermache, würde ich gerne wissen, der Rest so meint. --Arbol01 20:28, 14. Dez 2004 (CET)

Tabellen

Es ist schön, wenn man Tabellen erweitert, aber sie sollten so einfach wie möglich sein, und eine Tabelle sollte IMO nicht mehr als genau die Größe eines Bildschirms besitzen. Ansonsten wird die Tabelle unübersichtlich.

Was den Verweis auf andere Artikel angeht, sollte der Artikel, auf den verwiesen wird auch existieren. --Arbol01 14:36, 25. Feb 2005 (CET)

Nachtrag: Vorschlag zur Güte: Lege in www.wikisource eine Tabelle der Primzahllücken an, und verweise auf diese Tabelle. In Wikisource können die Tabellen beliebig groß sein. --Arbol01 14:41, 25. Feb 2005 (CET)

Verlagerte Diskussion

Folgende Diskussionsbeiträge warem im Artikel als HTML-Kommentar versteckt:

• !-- Eine Liste der Primzahlenlücken ist hier zu finden. --

Benutzer:213.68.175.4

• !-- Von einem eigenen Artikel Liste der Primzahllücken in der Wikipedia selbst würde ich abraten. Mir ist es egal, aber sie wird wahrscheinlich schnell von jemand anderem auf die Löschliste gesetzt

Benutzer:Arbol01

• !-- Es gibt einen Artikel Primzahlenlücke. Der Sollte hier verlinkt werden und der nachfolgende Bereich ggf. gekürzt werden. Ich kenne mich zu wenig aus, um es selbst zu machen. -- Benutzer:Stern

--

Pjacobi 16:27, 25. Feb 2005 (CET)

Wenn schon denn schon in der richtigen Zeitlichen Reihenfolge, und hier noch etwas von mir, auf Sterns Diskussionsseite:

Hallo Stern, dieser Artikel ist erst heute dadurch entstanden, da dem anonymen IP nicht gefallen hat, das mir seine Gestaltung der Tabelle der Lücken zwischen den Primzahlen nicht gefallen hat, und ich meine Version wieder hergestellt habe.

Ich wäre durchaus bereit, den Teil aus dem Artikel Primzahl auszulagern, und in den neuen Artikel einzuarbeiten. Nur ich würde auf meine Version der Tabelle bestehen, da diese kompakter ist, und ich bin mir auch nicht sicher, ob das Lemma "Primzahlenlücke" korrekt ist. --Arbol01 16:11, 25. Feb 2005 (CET)

Ob der Teil ausgelagert wird, ist mir ehrlich gesagt egal. Ich nehme nur alle HTML-Kommentare aus Artikeln heraus, wo ich über sie stolpere.

Ich habe hier die Tabellen umformatiert, damit auch bei kleineren Fensterbreiten kein horizontaler Scrollbar nötig ist, leider kein 100%-ger Erfolg, da die kgv Tabelle schon für sich alleine sehr breit ist.

Pjacobi 16:53, 25. Feb 2005 (CET)

Muß das sein? Ich habe lieber 4 Tabellen nebeneinander und eine Scrollbar, als keine Scrollbar und dieses Desaster. Ich werde also eine Übertabelle drüberstülpen! --Arbol01

Wenn Dein Fenster breit genug ist, sind die Tabellen alle nebeneinander. Nur bei schmalerem Fenster kommen sie untereinander. --Pjacobi 17:15, 25. Feb 2005 (CET)

Ooops, da hat ja jemand einen Teil gelöscht... Habe ich wieder revertiert. --Pjacobi 17:17, 25. Feb 2005 (CET)

Ich war es zwar nicht, aber ich bin ihm, wer auch immer es war, nicht böse. Wenn Du es noch nicht festgestellt hast: nicht jeder hat 1024x768 Auflösung oder größer. Und eine vierte Tabelle versetzt unter drei anderen Tabellen sieht sch.. aus. --Arbol01 17:37, 25. Feb 2005 (CET)

Ich teste solche Formatierungen immer mit 800x600 und finde die Seite OK, wenn uns vielleicht noch eine Möglichkeit einfällt, die kgv Tabelle etwas schmaler zu bekommen. --Pjacobi 17:39, 25. Feb 2005 (CET)

Theoretische und praktische Lücke

Da momentan eifrig an diesem Abschnitt geschraubt wird, möchte ich auch meinen Senf dazu loswerden: Mir gefallen die Begriffe theoretische Lücke und praktische Lücke gar nicht. Denn die Lücke zwischen zwei Primzahlen hat eine bestimmbare, feste Größe, weshalb mir die Begriffe theoretische und praktische Lücke etwas gekünstelt vorkommen.

Mein Vorschlag ist, den Begriff praktische Lücke einfach durch Lücke zu ersetzen und anstelle von theoretische Lücke etwas im Stil von untere Schranke zu schreiben.

Was denken andere?--MKI 10:00, 26. Feb 2005 (CET)

Ich finde den Begriff Schranke erst recht gekünstelt. Wie wäre es mit berechnete Lücke und tatsächliche Lücke ? --Arbol01 10:05, 26. Feb 2005 (CET)

Der Begriff Schranke ist aber in der deutschsprachigen Mathematik der Standardbegriff für solche Abschätzungen. Dein Änderungsvorschlag ist deutlich besser als der jetzige Artikel. Schranke wäre in meinen Augen aber noch angebrachter, weil es wie gesagt in diesem Bereich dem üblichen Sprachgebrauch entspricht.--MKI 10:57, 26. Feb 2005 (CET)

Vergiß bitte nicht, das wir es hier größtenteils mit Nichtmathematikern zu tun haben, die Wikipedia benutzen sollen. Nebenbei habe ich auch meine Schwierigkeiten mit Schranken. Genauewr gesagt habe ich das mit den oberen und unteren Schranken nie so richtig kapiert, wenn überhaupt. --Arbol01 11:21, 26. Feb 2005 (CET)

zur Erzeugung von Primzahllücken mittels kgV

Die Erzeugung von Primzahllücken mit dem kgV lässt sich sofort verbessern: Eine Lücke der Länge n erhält man so: Sei $\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen und $M:=\mathbb {P} \cap \{1,2,\ldots ,n+1\}$. Mit $m:=\prod _{p\in M}p$ sind dann die $n$ Zahlen $m+2$ bis $m+n+1$ alle zusammengesetzt.

Es ergibt sich beispielsweise, dass die Zahlen 212 bis 220 eine Lücke der Länge 9 bilden. Die kgV-Methode liefert laut Tabelle für eine Lücke der Länge 9 die Zahlen 2522 bis 2530.

Ich habe ein wenig den Eindruck, dass hier ein paar Leute selber rumgerechnet und ihre Resultate in den Artikel eingefügt haben. So ist die Wikipedia aber nicht gedacht.

Die Fakultät-Methode ist in Ordnung, weil sie ein schnelles Argument dafür liefert, dass die Lücken beliebig groß werden. Ob die dazugehörige Tabelle unbedingt nötig ist, ist eine andere Frage. Aber die kgV Methode ist mit Sicherheit ein "privates Forschungsergebnis" und hier deplaziert, denn die Verbesserung, die ich oben hingeschrieben habe, liegt eigentlich auf der Hand, wenn man die kgV-Methode verstanden hat. Wenn man wirklich eine gute Erzeugungsmethode für Primzahllücken in dem Artikel haben will, dann sollte mindestens diese Verbesserung im Artikel auftauchen und nicht die kgV-Methode. Allerdings handelt es sich auch in diesem Fall um eine kurze Rechnerei meinerseits, ich weiß nicht, ob es noch bessere, ähnlich effiziente Methoden zur Erzeugung von Primzahllücken gibt. Darum bin ich der Meinung, dass die kgV-Methode aus dem Artikel rausgenommen werden sollte und derjenige, der eine gute Erzeugungsmethode im Artikel sehen möchte, mal schaut was es in der Literatur zu diesem Thema gibt.--MKI 10:57, 26. Feb 2005 (CET)

Im Augenblick nervst Du. Erkläre deine Methode bitte so, das man sie auch nachvollziehen kann. Wenn sie wirklich praktikabel ist, wenn sie also wirklich effizienter als kgv ist, wäre das ein Wunder erster Güte.

Warum kgv (von mir) reingebracht worden ist, liegt daran, das kgv weniger Redundanzen als die Fakultät besitzt.

Beispiel:

7! ist teilbar durchgehend telbar durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, und 10, und ergibt 5040

kgv(1,2,3,4,5,6,7) ist dagegen durchgehend teilbar durch 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 und ergibt nur 420, ist also wesentlich kompakter. Wie Du es much kompakter machen möchtest, will ich sehen.

Das ich getüftelt habe spielt dabei keine Rolle, da es auch auf die korrektheit ankommt, und nicht rein auf den Verbreitungsgrad. --Arbol01 11:41, 26. Feb 2005 (CET)

Was soll denn dieser Ton? Hast du überhaupt probiert das Schema nachzuvollziehen? Setz doch einfach mal n=9 und probiere aus was passiert.

Dass das kgV-Schema von dir stammt, wusste ich nicht (ich dachte es wäre von der IP, die in den letzten Tagen an dem Artikel etliche Änderungen vorgenommen hat. Ich sage das, damit du nicht denkst, ich hätte es auf dich abgesehen. Es ändert aber nichts an meiner Meinung, dass das kgV-Schema hier eigentlich nichts verloren hat.

Zu deinem Beispiel: Multipliziere alle Primzahlen kleinergleich 10, da kommt 2*3*5*7 = 210 raus. 210 ist dann durch alle Primzahlen kleinergleich 10 teilbar, und das reicht dafür aus, dass die Zahlen 210+2, 210+3, 210+4, 210+5, 210+6, 210+7, 210+8, 210+9 und 210+10 alle zusammengesetzt sind, also eine Primzahllücke der Länge 9 ergeben.--MKI 12:01, 26. Feb 2005 (CET)

Ich habe halt das Gefühl, du willst einem (mir) nur Knüppel zwischen die Beine werfen.

Ich will dir keine Knüppel zwischen die Beine werfen, bestimmt nicht. Aber scheinbar gibt es eine große Überschneidung von unseren Beobachtungslisten, und da du zudem in der Regel sehr schnell auf Änderungen/Diskussionsbeiträge reagierst, begegnen wir uns hier zwangsweise öfter. Ich denke du musst zugeben, dass die Sachen, die ich bis jetzt angemahnt habe, doch immer eine Berechtigung hatten.

Wenn du dich in dieser Hinsicht von mir unfair behandelt vorkommst, dann schreib es mir bitte sachlich in meine Diskussionsseite rein und wahre in den Diskussionen einen angemessenen Ton.--MKI 13:12, 26. Feb 2005 (CET)

Multipliziere alle Primzahlen kleinergleich 10, da kommt 2*3*5*7 = 210: Das verstehe ich wiederum. Ob es so einfach sein kann weiß ich nicht. Dein Schema weicht von dem der Fakultät ab. Es ist nachvollziebar, das n!+2 durch 2 teilbar, n!+3 durch 3 teilbar ... n!+n durch n teilbar ist. Das gleiche gilt auch für kgv(1,..n).

212 ist durch 2 teilbar, 213 durch 3, 214 nicht durch 4, 218 nicht durch 8 und 219 nicht durch 9 teilbar. Das die Lücke zwischen 212 und 220 aus Nichtprimzahlen besteht, könnte schon Zufall sein. Gibt es eine Begründung für deine Annahme. Ich teste deinen Algorithmus mal durch.

Ich versuche, meinem Schema eine verständliche Begründung zu geben: Du multiplizierst alle Primzahlen kleinergleich n zusammen, das Ergebnis sei a, und a ist durch alle Primzahlen kleinergleich n teilbar. Für eine solche Primzahl p ist dann a+p sicher nicht prim, weil beide Summanden durch p teilbar sind. Sei nun m eine zusammengesetzte Zahl mit 2 < m <= n. Dann ist m auch durch eine Primzahl p kleinergleich n teilbar. Da a durch alle Primzahlen kleinergleich n teilbar ist, ist auch a+m durch p teilbar, und auch in diesem Falle ist a+m eine zusammengesetzte Zahl. Also sind die Zahlen a+2,..., a+n eine Primzahllücke der Länge n-1.--MKI 13:12, 26. Feb 2005 (CET)

Ach ja, ein Nachteil deines Systems ist auch, das der Computer/Mensch die Primzahlen kenne muß. --Arbol01 12:32, 26. Feb 2005 (CET)

Das ist kein Nachteil, glaube ich. Denn alle Primzahlen in einem Bereich lassen sich effizient mit dem Sieb des Eratosthenes berechnen. Die bei der anschließenden Multiplikation entstehenden Zahlen wachsen exponentiell mit der Größe dieses Bereichs. Und da in meinem Verfahren im Gegensatz zu dem kgV-Verfahren Faktoren einspart, fallen einige der Multiplikationen dieser großen Zahlen weg, was wieder erheblich Laufzeit einspart. Wahrscheinlich wird das Verfahren für große n dadurch gegenüber dem kgV (das im übrigen zur Berechnung auch seine Zeit braucht) sogar schneller. Genau durchgerechnet habe ich das aber nicht.--MKI 13:12, 26. Feb 2005 (CET)

Um meinen gerechten Teil der Haue abzubekommen: Wenn sich die kgV Methode als weniger relevant erweist, wären wie wenigstens die breite Tabelle los! --Pjacobi 12:08, 26. Feb 2005 (CET)

Das könnte Dir so passen. --Arbol01 12:32, 26. Feb 2005 (CET)

Meinen Senf auch noch dazu: Ich finde es bemerkenswert, dass der umfangreichste Unterabschnitt im Artikel Primzahl von den Bereichen handelt, in denen keine Primzahlen vorkommen. Insbesondere da es einen eigenen Artikel Primzahllücke gibt, in dem das Gleiche noch einmal durchgekaut wird. Meiner bescheidenen Meinung nach (IMHO) könnte man die Tabellen gänzlich einsparen und auf den ausführlicheren Artikel verweisen. --Rat 17:58, 26. Feb 2005 (CET)

Primzahl-Formel

Eine "Formel" zur "Berechnung" aller Primzahlen --Gunther 16:05, 27. Feb 2005 (CET)

Ich dachte, es gibt keine Formel zur Berechnung aller Primzahlen?! Oder doch? -- CdaMVvWgS 22:11, 22. Apr 2005 (CEST)

Deshalb die Anführungszeichen: Es gibt ein Polynom (in mehreren Variablen), für das gilt, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn sie Funktionswert des Polynoms für ganzzahlige Werte der Argumente ist. Über die negativen Funktionswerte ist nichts ausgesagt. Man kann also systematisch alle Funktionswerte durchgehen; die positiven liefern genau die Primzahlen.--Gunther 22:25, 22. Apr 2005 (CEST)

Ich bilde mir ein gelesen zu haben, dass überhaupt keine Belegung bekannt ist, für die dieses Polynom einen positiven Wert liefert. Stimmt das?--MKI 03:19, 23. Apr 2005 (CEST)

"Genau dann, wenn"

Zulässige Formulierungen sind:

• "...ist genau dann eine Primzahl, wenn..."
• "...wird Primzahl genannt, wenn..."
• Wenn explizit dasteht, dass etwas definiert wird: "...ist eine Primzahl, wenn...".

Nicht gut:

• "...ist Primzahl, wenn..." (ohne explizite Erwähnung einer Definition)
• "...wird genau dann Primzahl genannt, wenn..." (das Nennen ist keine mathematische Aussage)

Der dritte akzeptable Punkt oben ist im konkreten Fall nicht gegeben, weil es sich um zwei Bedingungen handelt, und nur eine davon kann die Definition sein.

"Alternative Formulierung" finde ich nicht gut, weil nicht nur umformuliert wird. Aus der Tatsache, dass eine Zahl genau zwei Teiler hat, auf die zwei Teiler zu kommen, ist zwar nicht schwierig, aber nicht nur eine Frage der Formulierung.--Gunther 02:17, 28. Mär 2005 (CEST)

Es ging mir hierbei nicht um Worte (Formulierungen), sondern einzig um die Sache (kurze und treffende Definition des Begriffs "Primzahl").

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: "(Alternativ: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern.)" Das stelle ich hier zur ernsthaften Diskussion. Alle vorherigen (meine eingeschlossen) Definitionen beginnen mit einer indirekten Erklärung: ...wird Primzahl genannt...

Aber in einer Enzyklopädie müssen wir _direkte_ Erklärungen geben, deshalb dieser Beitrag.

Ich hatte die Änderung des anonymen Benutzers von genau dann, wenn zu wenn rückgängig gemacht, da es weitere solche Stellen im Artikel gab, die nicht geändert wurden. Wenn jemand eine konsistente Änderung vornimmt habe ich nichts dagegen. Außerdem erschien mir dieser Benutzer aufgrund von einer anderen Änderung (A-Primzahl) als unseriös.

Für "weitere Definitionen" schlage ich eine Formulierung in der Art Die Primzahlen lassen sich auch durch folgende Eigenschaft charakterisieren: vor.--MKI 11:47, 28. Mär 2005 (CEST)

"Außerdem erschien mir dieser Benutzer aufgrund von einer anderen Änderung (A-Primzahl) als unseriös." Ich muß an dieser Stelle offenbaren, daß dieser betreffende Benutzer (der mit den ominösen "A-Primzahlen") der gleiche Benutzer ist, der alle letzten Verfeinerungen und Präzisierungen der Definition von "Primzahl" in diesem Wiki-Artikel vorgenommen hat, nämlich

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Die unsinnigen "A-Primzahlen" sind natürlich testhalber vorgeschlagen worden. Die direkte Definition "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern.", die an Prägnanz schwer zu überbieten sein dürfte, und meine anderen, vorhergehenden indirekten Definitionen hingegen sind ebenso kurz wie verständlich und korrekt. Ich freue mich auf prägnantere Definitionen.

Es ist immer erfreulich, wenn sich neue Mitarbeiter finden. Ein Tip zum Umgang mit Deinen Mitautoren: Wenn deutlich wird, dass es unterschiedliche Auffassungen zu einer Frage gibt (im konkreten Fall haben drei verschiedene Benutzer Deine Änderungen jeweils rückgängig gemacht), ist es sinnvoller, die Frage auf der Diskussionsseite zu klären, bevor man weitere Änderungen vornimmt. Ansonsten besteht die Gefahr, einen unseriösen Eindruck zu machen, auch wenn die Änderungen für sich vielleicht ihre Berechtigung hatten. Die Artikelseite zu Testzwecken zu missbrauchen ist ebenfalls nicht hilfreich.

Wenn Du Dich nicht als fester Benutzer anmeldest, hast Du es ohnehin etwas schwerer. Es ist leider so, dass es viele unangemeldete Benutzer gibt, die glauben, sich mit einem "hihi" o.ä. auf einer Artikelseite verewigen zu müssen.

--Gunther 10:32, 30. Mär 2005 (CEST)

Verstanden: Aus den von Dir genannten Gründen habe ich meine letzte Änderung des Abschnitts "Formale Definition" hier zur Diskussion gestellt. Falls sich jemand an der in Klammern gesetzten Alternativdefinition im Artikel stören sollte (oder gar etwas Falsches daran findet), dann wird er/sie diese Zeile ohnehin löschen. Ich habe damit kein Problem.

Ich bin in der Tat kein registrierter Wiki-Beiträger und habe meine Gründe dafür. Da meine Beiträge hier stets mit meinem vollen Namen und meiner E-Mail-Adresse versehen sind, wird niemand mich als anonymen Benutzer verstehen können. Es bleibt noch viel zu verbessern im Artikel "Primzahl". Laßt uns gemeinsam daran arbeiten.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Mein Kürzel für die Zusammenfassung wird künftig lauten ROHA

"Siehe auch" entrümpeln

Derzeitiger Inhalt von "Siehe auch":

• Primzahlsatz: raus, steht schon oben
• Faktorisierung: ok
• Ungelöste Probleme der Mathematik: was hat das direkt mit Primzahlen zu tun? Dass dort nur ein paar Probleme der elementaren Zahlentheorie aufgelistet sind, ist kein Grund.
• Sieb des Eratosthenes: ok
• Zeisel-Zahl: unwichtig, raus
• Liste besonderer Zahlen: Bezug?
• Portal Mathematik: ok
• Pseudoprimzahlen: ok, vielleicht aber besser unter "Verallgemeinerungen"
• Giuga-Zahl: besser unter "Verallgemeinerungen"
• Primzahllücke: hat schon einen eigenen Abschnitt, der mit "Verteilung" vereinigt werden sollte. Arbol, warum soll das stehenbleiben?
• Eisenstein-Zahlen: sehe keinen direkten Bezug
• Gauß'sche Zahlen: sollte in einen Abschnitt über Primzahlen der Formen 4k+1 und 4k+3

Kommentare, Einsprüche?--Gunther 14:41, 2. Mai 2005 (CEST)

Ich habe keine Problem mit der Siehe auch-Entrümpelung. Pseudoprimzahl, Carmichael-Zahl und Giuga-Zahl laufen schon unter Eigenschaften (der Primzahlen).

Primzahlen der Form 4k+/-1 und 6k+/-1 laufen ebenfalls unter Eigenschaften. Demnach würden die Gaußschen Zahlen dorthin gehören.

Sieb des Erathostenes ist schon in dem Abschnitt Primzahltest abgehandelt. --Arbol01 15:37, 2. Mai 2005 (CEST)

Möbius-Funktion

Hallo Gunther,

was hat Dir denn an der Möbius-Funktion Missfallen? --Arbol01 18:33, 14. Mai 2005 (CEST)

Es ist nicht gerade eine "Eigenschaft" von Primzahlen, dass $\mu (p)=-1$ ist. Das ist eine Eigenschaft der Möbius-Funktion, die zum Verständnis des Begriffes "Primzahl" nichts beiträgt.--Gunther 01:46, 15. Mai 2005 (CEST)

Euklid

...zeigt nicht direkt, dass man aus endlich vielen Primzahlen eine größere konstruieren kann, sondern nur, dass es weitere geben muss.--Gunther 02:05, 21. Mai 2005 (CEST)

..."zeigt nicht direkt, dass man aus endlich vielen Primzahlen eine größere konstruieren kann, sondern nur, dass es weitere geben muss."--Gunther 02:05, 21. Mai 2005 (CEST)

Bisher dachte ich, daß Euklid sehr wohl zeigte: Wenn es nicht endlich viele Primzahlen gibt, dann sind derer unendlich viele. Niemand braucht diese Primzahlen "konstruieren", und trotzdem sind sie da. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Gunther, bitte etwas mehr Klarheit -- "Daß es weitere geben muß" -- Na ja, welche denn ? Kleinere oder größere ? Danke. Wir reden über Primzahlen, nicht über Teppiche oder Fenster.

Siehe Satz von Euklid. Man kann nicht sagen, ob die Primteiler von $n$ (Bezeichnungen siehe dort) größer oder kleiner als $\max\{p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}\}$ sind, nur dass sie andere Primzahlen sein müssen.--Gunther 10:11, 21. Mai 2005 (CEST)

Wenn man das Produkt beliebiger Primzahlen nimmt, die man kennt, dann stimmt es, daß man nicht sagen man, ob es sich um größere oder kleinere, unbekannte Primzahlen handelt. Wenn man aber sicher sein kann, das es sich um ein primorial handelt, dann ist/sind die Primzahl(en) größer als die des Primorial. --Arbol01 10:31, 21. Mai 2005 (CEST)

Satz von Euklid gibt recht genau die von Euklid bewiesene Aussage wieder, siehe hier.--Gunther 10:56, 21. Mai 2005 (CEST)

Primzahlformeln und größte bekannte Primzahl

• Ich wollte den Unterschied deutlich machen, weshalb es eine größte bekannte Primzahl, aber keine größte bekannte Zweierpotenz gibt.
• Kann man beweisen, dass es keine Primzahlformel gibt?
• Die Formel $p(n)=n$ liefert etwa mit Wahrscheinlichkeit $1/{\log n}$ eine Primzahl.

--Gunther 10:53, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich wollte das lieber auseinanderhalten.

Nein, man kann nicht beweisen, das es keine Primzahlformel gibt, oder zumindest ich kann es nicht. Gefunden hat bisher keiner eine. Ansonsten könnte man sich die Sache mit den Primzahlrekorden ersparen.

Die Formel $p(n)=n$ liefert etwa mit Wahrscheinlichkeit $1/{\log n}$ eine Primzahl. Das ist falsch. pi(n) = $n/{\log n}$ besagt lediglich, das es im Bereich zwischen 2 und n ungefähr pi(n) Primzahlen gibt. Diese Formel umzudrehen, um bei dem Wechsel x=pi(a) und x+1 = pi(b) zu sagen, das b eine Primzahl ist, ist sehr spekulativ. andererseits kann man es natürlich mal probieren. --Arbol01 11:09, 21. Mai 2005 (CEST)

Natürlich ist die Zahl $2k$ nicht mit Wahrscheinlichkeit $1/{\log 2k}$ eine Primzahl (genausowenig aber $2^{2k}-1$). Mein Punkt war, dass die Formulierung "eine gewisse Wahrscheinlichkeit" so schwammig ist, dass sie auch schon auf $p(n)=n$ zutrifft.--Gunther 11:14, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich arbeite noch daran. Man kann auch noch 6n+1, 6n-1, 4n+1 und 4n-1 anführen. --Arbol01 11:25, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich würde den präzisen Teil (Dirichletscher Primzahlsatz) in "Primzahlverteilung", den Teil mit Mersenne-Primzahlen in "Größte bekannte Primzahl" eingliedern. Ich nehme nicht an, dass man irgendwie beweisen (oder auch nur vernünftig formulieren) kann, dass Mersenne-Zahlen wahrscheinlicher prim sind als andere Zahlen. Haben die Primorials irgendeine theoretische oder praktische Anwendung?--Gunther 11:33, 21. Mai 2005 (CEST)

• Dann gliedere es ein (du hast eine gewisse Vorstellung oder Idee, die ich nicht habe).
• Ich weiß es nicht. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, das bei p(n)=n p(n) eine Primzahl ist höher, als bei p(n)=2*n, und bei p(n)=6n+1 höher als bei p(n)=6n+3.
• Eine theoretische Anwending sicher, sogar zwei. Einmal bei dem Satz von Euklid und zweitens bei den Primzahllücken. Primorial und Primorial prime. Ansonsten schaue ich nochmal im Ribenboim nach. --Arbol01 11:45, 21. Mai 2005 (CEST)

Ein Problem besteht darin, dass es auf den natürlichen Zahlen kein kanonisches Wahrscheinlichkeitsmaß gibt, und mit der Dichte wie im dirichletschen Primzahlsatz kommt man bei Mengen, von denen man nicht weiß, dass sie unendlich sind, nicht weiter. Natürlich ist die relative Dichte der Primzahlen im Vergleich zu den ungeraden Zahlen doppelt so gross wie die im Vergleich zu allen Zahlen. Aber viel mehr dürfte da nicht zu holen sein.--Gunther 13:00, 21. Mai 2005 (CEST)

Was ich übersehen habe (ist mir eben beim Einkaufen aufgegangen), bei der Mersenne-Formel und dem Primorial geht es ja auch darum, möglichst große Zahlen zu erzeugen. Bei 6n+-1 ist die Dichte noch einen Hauch größer, als bei den ungeraden Zahlen. --Arbol01 13:08, 21. Mai 2005 (CEST)

Man kann die Dichte "beliebig groß" machen: Nach Primzahlsatz und Dirichlet ist asymptotisch

${\frac {\#\{p\leq x,p\equiv a{\pmod {m}}\}}{\#\{k\leq x,k\equiv a{\pmod {m}}\}}}\sim {\frac {1}{\log x}}\cdot {\frac {m}{\varphi (m)}}.$

Die Gesamtdichte ist natürlich trotzdem Null.--Gunther 13:24, 21. Mai 2005 (CEST)

Was haben die obigen/untigen Ausführungen denn mit meiner Aussage zu tun, daß es stets eine "größte bekannte" Primzahl gibt ? Ich sage: nicht das Geringste ! Also bitte, fügt meine kleine Feststellung wieder ein in die Wiki-Primzahl_Seite, bevor ich gezwungen bin, es (abermals) selbst zu tun. (Die Nebenrechnungen haben mit dieser Aussage rein gar nichts zu tun; sie dienen nur als wertloser Schmuck für den Verfasser.) Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ich hab's mal so formuliert, wie ich es für richtig halte. Martin Vogel 03:16, 29. Mai 2005 (CEST)

Das "stets" habe ich herausgenommen. Solange nicht geklärt ist, ob es eine "Primzahlformel" gibt, kann man nicht wissen, ob es nicht morgen auf einmal keine größte bekannte Primzahl mehr gibt.--Gunther 15:04, 29. Mai 2005 (CEST)

Die obige Aussage ist ungültig, da jederzeit eine Primzahl bekannt ist, deren Größe alle kleineren vorher bekannten Primzahlen übersteigt. Beispiel: Die Zahl 5 war irgendwann die größte bekannte Primzahl, nämlich als nur die 2 und die 3 als Primzahlen identifiziert waren. Vorher war die größte bekannte Primzahl die 3, und davor die 2. Das "stets" ist also ganz unabhängig von einer irgendwie gearteten "Primzahlformel". Dies nur zur Klarstellung für diejenigen, die zwar das Wort "Primzahl" kennen, aber nicht so recht etwas mit dem _Begriff_ "Primzahl" anzufangen wissen. Kurzfassung: Die elementare Logik besagt, wenn es keine größte Primzahl gibt, dann muß es _stets_ und _immer_ eine größte "bekannte" Primzahl geben. (So wie es stets eine größere natürliche Zahl als jede vorgelegte gibt.) Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Worauf der Verfasser abzielt ist natürlich folgendes: Falls niemand eine _neue und größere_ Primzahl findet, dann gibt es keine "neue" größte bekannte Primzahl. Na ja, dann bleibt immer noch die "alte" Primzahl die größte bekannte...

PPS: Nochmals zur Klarstellung: Eine größte _bekannte_ (und auf dieses Wort _bekannte_ kommt es hier allein an) Primzahl gab es stets und immer, solange Menschen nach Primzahlen gesucht haben.

Nein. Findet z.B. jemand morgen heraus, dass jede Zahl der Form $3^{2^{n}}+2$ (oder wie auch immer) eine Primzahl ist, dann gibt es keine größte bekannte Primzahl mehr, weil es auf einmal leicht ist, beliebig große Primzahlen anzugeben. Das versuche ich mit der Bemerkung über die Zweierpotenzen auszudrücken.--Gunther 08:43, 4. Jun 2005 (CEST)

"weil es auf einmal leicht ist, beliebig große Primzahlen anzugeben." Das versuche ich gerade zu erklären: Wenn jemand morgen (oder in der nächsten Sekunde) herausfindet, daß eine Zahl "b" eine größere Primzahl als eine zuvor bekannte Primzahl "a" ist (also 5 > 3) -- dann ist es völlig hinreichend, diese Primzahl "bekannt zu geben", damit diese Primzahl als die größte "bekannte" Primzahl gelten kann. Falls jede Zahle der Form "$3^{2^{n}}+2$ (oder wie auch immer)" eine Primzahl wäre, so wäre allein diejenige Primzahl die "größte _bekannte_ Primzahl", welche wenigstens zwei Autoritäten (außer meiner oder deiner selbst) für gültige Primzahlen befunden hätten. Aber dies ändert nichts am Sachverhalt: Die größte Primzahl kann es nicht geben. Die größte _bekannte_ (Sekunden spielen hier natürlich gar keine Rolle) Primzahl muß es logischerweise geben. Daran führt kein Weg vorbei, solange die Primzahl 5 größer als die Primzahl 3 ist. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: "Bekannt" bedeutet für mich, daß ein anerkannter Beweis der Primalität vorliegt.

Eine "Primzahlformel" ist doch das Sieb des Eratosthenes, damit kann man doch lückenlos alle Primzahlen berechnen. Sehr aufwändig, aber berechenbar. — Martin Vogel 17:34, 29. Mai 2005 (CEST)

Natürlich ist auch der Euklids Beweis eine Konstruktionsvorschrift für unendlich viele Primzahlen. Aber willst Du behaupten, dass es eine größte bekannte Zweierpotenz oder eine größte bekannte natürliche Zahl gibt? Diesen Unterschied versuche ich zu erklären.--Gunther 17:38, 29. Mai 2005 (CEST)

Mit Eratosthenes findet man lückenlos alle Primzahlen, mit Euklid zwar unendlich viele, aber nicht alle, sondern es gibt Lücken. Wo ist jetzt der prinzipielle Unterschied zu den natürlichen Zahlen? Bei beiden findet man die nächstgrößere zu jeder gegebenen Zahl, indem man rechnet. Bei den Primzahlen zunehmend langwieriger und aufwändiger, bei den natürlichen Zahlen durch addieren einer Eins. Aber in beiden Fällen geht es einen Schritt weiter, beliebig oft wiederholbar. — Martin Vogel 22:12, 29. Mai 2005 (CEST)

Trotzdem wäre es lächerlich, von der größten bekannten natürlichen Zahl zu sprechen, auch wenn natürlich in der gesamten Geschichte der Menschheit nur endlich viele betrachtet wurden.--Gunther 22:18, 29. Mai 2005 (CEST)

Natürliche Zahlen muss man ja auch nicht ausrechnen. Man kann leicht die grösste natürliche Zahl in einem beliebig grossen Intervall angeben, für die grösste Primzahl ist das ohne Rückgriff auf eine beliebig grosse Rechenleistung nicht möglich. --213.54.194.248 07:36, 4. Jun 2005 (CEST)

Anderes Beispiel: was ist der größte bekannte Binomialkoeffizient? Was ist die größte bekannte Zahl n, die sich in der Form n=k! darstellen lässt? Was ist die größte bekannte Zweierpotenz? Sobald ein "einfaches" Rezpet da ist, zu einer größten Zahl mit einer bestimmten Eigenschaft eine noch größere Zahl mit der selben Eigenschaft zu finden, hat es keinen Sinn mehr, von der größten bekannten Zahl mit dieser Eigenschaft zu sprechen. --NeoUrfahraner 12:36, 4. Jun 2005 (CEST)

Interessant wäre evtl. die Betrachtung der Komplexitätsklasse, etwa des Aufwands zur Berechnung der $n+1$-grössten Primzahl bei $n$ bekannten. Laut Primzahltest ist der reine Test polynomiell komplex. --213.54.209.168 19:03, 4. Jun 2005 (CEST)

Ja. Wenn es ein einfaches Verfahren gäbe, aus der $n$-ten Primzahl die $n+1$-te zu berechnen, hätte es keinen Sinn mehr, von der größten bekannten Primzahl zu sprechen. Ein solches Verfahren ist aber nicht bekannt; die Berechnung der $n+1$-ten ist genauso schwierig. --NeoUrfahraner 19:09, 4. Jun 2005 (CEST)

Das Verfahren ist ja an sich trivial, Primzahlsieb erweitern, ein paar Striche ziehen und nachschauen (bildlich gesprochen). Die Frage ist jetzt wie effektiv bzgl. Rechenzeit und Speicherplatz man das ausführen kann. --213.54.221.37 19:50, 4. Jun 2005 (CEST)

Das Primzahlsieb wird nicht einfacher, wenn Du bei einer großen bekannten Primzahl startest; Du musst trotzdem wieder mit den ersten Primzahlen zu sieben beginnen. Für jede Primzahl brauchst Du mindestens ein Bit; das Weltall hat ca. $10^{8}0$ Atome; spätestens bei $10^{8}0$ bist Du mit dem Sieben am Ende. Die derzeit größte bekannte Primzahl ist um Größenordnungen größer. --NeoUrfahraner 19:15, 5. Jun 2005 (CEST)

Das ist einfach zu beantworten: Ließ meinen letzten Beitrag etwas genauer. Dann wirst Du hoffentlich etwas klüger. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Nein, Dein Beitrag beantwortet nicht die Frage, was der größte bekannte Binomialkoeffizient sein soll. Man braucht keine 2 Autoritäten um festzustellen, welches der größte bekannte Binomialkoeffizient ist. Warum wohl setzt die EFF einen Preis für die erste Primzahl größer als XXX aus, nicht aber für den ersten Binomialkoeffizienten, der einen bestimmten Wert überschreitet? Warum interessiert sich niemand für den größten Binomialkoeffizienten? Der Trugschluss ist ganz einfach, dass man auf die zwei Autoritäten verzichten kann, sobald ein einfacher Algorithmus zum Berechnen beliebig großer Primzahlen vorliegt. Angenommen, die Gunther-Formel $3^{2^{n}}+2$ liefert wirklich Primzahlen, und zwei Autoritäten bestätigen diese Formel. Ich sage dann, $3^{2^{12345678}}+2$ ist die größte bekannte Primzahl; was hindert dann Gunther daran, zu sagen, nein $3^{2^{12345679}}+2$ ist eine größere Primzahl? --NeoUrfahraner 14:41, 4. Jun 2005 (CEST)

@MKI: so wirklich glücklich bin ich mit Deiner Formulierung auch nicht. Was heißt "bis heute"? Was war vor 10 Millionen Jahren die größte bekannte Primzahl? Die Verfechter von "stets" oder "immer" wollen ja eine Auskunft auch für den Fall machen, dass vielleicht irgendwann eine Formel zur effizienten Berechnung von Primzahlen gefunden wird; da kann man ds "bis heute stets" genausogut durch ein "lediglich" ersetzen". --NeoUrfahraner 14:41, 4. Jun 2005 (CEST)

Habs abgeändert. Mit deinem Binomialkoeffizienten-Beispiel bin ich auch nicht so wirklich glücklich, schließlich ist jede natürliche Zahl auch ein Binomialkoeffizient, so dass man die Diskussion darüber auf die ergebnislose Diskussion über die natürlichen Zahlen weiter oben zurückführen kann. Nimm stattdessen besser die mittleren Binomialkoeffizienten oder die Fakultäten oder ähnliches.--MKI 15:21, 4. Jun 2005 (CEST)

Bzgl. dem Binomialkoeffizienten-Beispiel stimme ich Dir zu; mit der geänderten Formulierung bin ich zwar nicht wirklich glücklich (sie ist IMHO umständlicher als notwendig), kann aber damit leben. --NeoUrfahraner 16:05, 4. Jun 2005 (CEST)

Was konkret findest du denn unnötig umständlich?--MKI 01:35, 5. Jun 2005 (CEST)

Der Satzteil "so dass es stets eine größte bekannte Primzahl gab, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen" ist eigentlich nur verständlich, wenn man diese Diskussion kennt. Wenn man sich The Largest Known Prime by Year ansieht, findet man gesicherte Aussagen erst ab 1588; genaugenommen wirft diese Formulierung erst recht die Frage auf, was "bekannte Primzahl" eigentlich bedeutet - siehe auch die Anmerkung von Benutzer:Chef weiter unten. Bevor wir aber den Edit-War fortsetzen müssen, ist es wohl vernünftiger, bei der derzeitigen Formulierung zu bleiben. --NeoUrfahraner 19:15, 5. Jun 2005 (CEST)

Der vordere Satzteil war zuvor schon Bestandteil des Artikels, einige Leute (ich nicht) schienen da großen Wert darauf zu legen. Den Teil nach dem Komma habe ich nach deinem Einwand eingefügt, auch hier habe ich nichts dagegen, sollte er wieder entfernt werden. Prinzipiell bin ich der Ansicht, dass man durch Wortzerklauberei viele Artikel (auch und genauso in traditionellen Enzyklopädien) kaputtdiskutieren könnte, und dass man dennoch andererseits den Lesern die Prise Menschenverstand zutrauen kann, die es einem erlaubt auf ansonsten nötige Sicherheitsfloskeln zu verzichten.--MKI 19:40, 5. Jun 2005 (CEST)

Was ich befürchtet habe, ist eingetreten; "bis heute" reicht den "stets"-Verfechtern nicht. Die jetzige Formulierung von 84.148.88.166 ist völlig Fehl am Platz und emprisch nicht belegt (bei welcher Untersuchung wurde denn festgestellt, was für die meisten Menschen einsichtig ist?) --NeoUrfahraner 15:01, 4. Jun 2005 (CEST)

Ich möchte mal zwei Punkte zur Klärung einbringen:

1. Es gibt Formeln, die theoretisch jede Primzahl liefern, wenn man unendlich viel Zeit hat, darin Variablen einzusetzen. Siehe etwa hier und hier. Im Grunde gilt das auch für die Verfahren Eratosthenes' und Euklids, da gebe ich Martin Vogel recht.
2. Die Frage ist nun, was man unter "größte bekannte Primzahl" versteht.
   1. Versteht man darunter "theoretisch (= mit hinreichend großem Zeitaufwand) berechenbare Primzahl, die größer ist als alle anderen theoretisch berechenbaren Primzahlen" so gibt es keine größte bekannte Primzahl.
   2. Versteht man darunter "Zahl, die man (1) explizit als Term aus anderen Zahlen aufschreiben kann, und von der man weiß, (2)daß sie eine Primzahl ist, (3) daß sie größer ist als alle anderen Zahlen mit (1) und (2)", dann hat es zumindest bisher immer eine größte bekannte Primzahl gegeben - wenn ich die Formeln richtig lese, geben sie nämlich keinerlei Möglichkeit außer brute force, zu einer Primzahl eine größere Primzahl zu finden. Ob das so bleibt, weiß ich nicht (wenn z.B. jemand eine Formel fände, die jede Primzahl liefert, und man zusätzlich sagen könnte, wann diese Formel beliebig große Terme liefert, wäre es nicht mehr so. Hier liegt Hans Rosenthal sicherlich falsch.)

Jedenfalls geht der Streit nur um die Frage, was man unter "bekannt" versteht. Ich neige zur zweiten Auffassung, würde aber verstehen, wenn (zumindest nicht-finitistische) Mathematiker die erste vorziehen. Das immer oder stets ist zu verneinen, es sei denn, es gibt einen Beweis, daß eine Formel wie die kursiv beschriebene nicht existiert.--Chef Diskussion 15:04, 4. Jun 2005 (CEST)

Ja, Du hast recht. Deswegen ist die Verwendung eines auf die Zukunft bezogenen Wortes "stets" problematisch, weil es mehr Fragen aufwirft (nämlich "Was heißt bekannt?") als es beantwortet. Mit Prognosen verlässt man das gesicherte mathematische Fundament und begibt sich auf wackeligen philosophischen Boden. --NeoUrfahraner 16:02, 4. Jun 2005 (CEST)

Ich sag mal so: Die Mathematiker haben vom Begriff "stets" den Begriff "Stetigkeit" abgeleitet. Sie waren damit "bisher" sehr erfolgreich. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ja, ich habe mich inzwischen ein wenig korrigert. "Stets" für die Vergangenheit passt; nur für die Zukunft ist es problematisch. Um bei der Stetigkeit zu bleiben: Wenn eine Funktion im Intervall $(-\infty ,2005)$ stetig ist, heißt das noch lange nicht, dass sie auch im Intervall $(2010,2150)$ stetig sein wird. --NeoUrfahraner 16:41, 4. Jun 2005 (CEST)

Die größte bekannte Primzahl in neuerer Zeit war immer eine Mersenne-Primzahl

Der Satz "Die größte bekannte Primzahl in neuerer Zeit war immer eine Mersenne-Primzahl" stimmt nicht; beispielsweise war von 1989 bis 1992 die Zahl $391581\cdot 2^{216193}-1$ größte bekannte Primzahl, siehe The Largest Known Prime by Year "Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen diesen Typs auf Primalität untersucht" stimmt auch nicht; Yves Gallot's Proth.exe sucht etwas andere Typen $k\cdot 2^{n}\pm 1$ von Primzahlen und belegt z.B. Platz 5 von THE LARGEST KNOWN PRIMES. --NeoUrfahraner 16:25, 4. Jun 2005 (CEST)

Die Neuerungen gehen auf mich zurück.

1. Meine Formulierung war Die größte bekannte Primzahl war praktisch immer eine Mersenne-Primzahl, zugegeben etwas schwammig, aber ich wollte mich nicht festnageln da ich es nicht ganz genau wusste. Benutzer:84.148.88.166 war anderer Meinung und hat das Wort praktisch mit dem Kommentar ROHA; Es geht nicht um die "Form", sondern um die Sache. Kann niemand diese einfachen Sachverhalte _auseinander halten_ ? Die _Form_ spielt keine Rolle (5>3), das _Verständnis_ zählt ! Verstanden...? entfernt. In der englischen Wikipedia behaupten sie übrigens, dass seit dem Einsatz von Rechnern die größte bekannte Primzahl immer eine Mersenne-Primzahl gewesen sei, das stimmt dann wohl auch nicht.

2. Ich wusste nicht, dass tatsächlich auch andere Typen von Zahlen für große Primzahlen untersucht werden. Ich bessere es aus.--MKI 16:35, 4. Jun 2005 (CEST)

Doch, es gibt auch noch andere Arten von großen Primzahlen, die von Interesse sind. Z.B. solche, die Bestandteil von großen Carmichael-Zahlen sind (siehe Carmichael-Zahlen nach Chernick und des anderen Generators). --Arbol01 14:28, 6. Jun 2005 (CEST)

Groß ist relativ. Hier geht es um die Größenordnung der Rekordprimzahlen. Ich glaube nicht dass nur annähernd so große Primfaktoren von Carmichael-Zahlen bekannt sind.--MKI 14:51, 6. Jun 2005 (CEST)

Zitat:"Für k=10³²⁹-4624879 die eine 1000 stellige Carmichael-Zahl erzeugt, ergeben sich die drei folgenden Faktoren:

(12936*10³²⁹-59827428149)*(14784*10³²⁹-68374203599)*(20328*10³²⁹-94014529949) "

Das ist nicht die größte Carmichael-Zahl, die bekannt ist, aber es gibt bie bei den Primzahlen auch Carmichael-Zahl Rekorde, bei denen riesige Primzahlen mit abfallen. Gegen die Mersenne-Zahlen können diese allerdings nicht anstinken.

1998 lag der Rekord von Dubner bei eine Carmichael-Zahl mit drei Primfaktoren bei einer 10200stelligen Zahl. Das bedeutet, das jede der drei Primzahlen etwa 3400 Stellen hatte --Arbol01 14:59, 6. Jun 2005 (CEST)

Die Primzahlen, die du oben genannt hast, sind mit heutigen Rechner nichts besonderes mehr. Die Eingabe nextprime(10^330) in gp (frontend für pari, ein Computeralgebrasystem) gibt auf meinem Athlon-1000 nach ein paar Sekunden eine Primzahl aus, die größer ist als die von dir genannten.--MKI 16:26, 6. Jun 2005 (CEST)

Danke für die neue Formulierung; noch eine Anmerkung: "Es macht sich aber niemand die Mühe, nach diesen zu suchen, da die Identifikation dieser Primzahlen ungleich aufwändiger wäre als beispielsweise das Auffinden einer noch größeren Mersenne-Primzahl." Abgesehen davon, dass die Anzahl dieser Primzhalen sowieso größer als die zahl der Atome im Universum ist, wird sehr wohl nach einzelnen dieser Primzahlen gesucht. Chris Caldwell reiht unter seinen Titanen auch solche Leute, die nicht die größte, aber eine andere große Primzahl in der Wertung gefunden haben. Solche Primzahlen sind beispielsweise bei der Lösung des Sierpinski Problems von Interesse. Platz 5 von THE LARGEST KNOWN PRIMES ist beispiesweise ein Beitrag zur Lösung des Sierpinski Problems; es kann durchaus sein, dass man bei der Lösung des Sierpinski Problems in die angegeben Lücke vorstoßen muss. Vielleicht kannst Du auch hier eine passende Formulierung finden. --NeoUrfahraner 19:48, 5. Jun 2005 (CEST)

Größte bekannte Primzahl (Fortsetzung)

Aber kommt einfach mal auf die Ausgangsfrage zurück: "daß es stets eine "größte bekannte" Primzahl gibt"? Das war die Ausgangsfrage. Eigentlich war es die zwangsläufig richtige und logisch korrekte Eingangsbehauptung. Ist inzwischen vielleicht ein neuer Ausgang gefunden ? Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Du bringst die Diskussionen durcheinander. Hier geht es um Die größte bekannte Primzahl in neuerer Zeit war immer eine Mersenne-Primzahl. Die Diskussion, die du suchst, findest du einen Abschnitt weiter oben.--MKI 17:56, 4. Jun 2005 (CEST)

Könnte es nicht sein, daß ich nicht die Diskussion, sondern nur Deinen Geist durcheinander bringe ? Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Zur Erinnerung: Ausgangspunkt dieser Diskussion war das Thema größte bekannte Primzahl, nicht: Die größte bekannte Primzahl in neuerer Zeit war immer eine Mersenne-Primzahl. Letzteres Thema wurde erst später eingeführt und hat die ursprüngliche Diskussion leider überlagert. Um auf das Ausgangsthema zurückzukommen, stelle ich folgende Frage: Warum wohl trägt die Webseite THE LARGEST KNOWN PRIMES diesen Namen, DIE GRÖSSTEN BEKANNTEN PRIMZAHLEN ? Wäre die Qualifizierung _KNOWN_ im Namen nicht von Bedeutung, so hätte Prof. Chris Caldwell sie gewiß nicht verwendet. Der wesentliche Unterschied zwischen "größte natürliche Zahl" und "größte bekannte Primzahl" besteht darin, daß es für die natürlichen Zahlen eine wohldefinierte Bildungvorschrift (Axiom) gibt, für die Primzahlen aber nicht. Ich bin offengesagt etwas erstaunt, daß die Bedeutung des Wortes "bekannt" im Zusammenhang mit den Primzahlen so vielen Schreibern in diesem Forum mehr oder weniger unbekannt zu sein scheint. Wie wäre es mit einem Frage- und Antwortspiel, um den Sachverhalt zu klären ? A: Ich kenne die Primzahl 2, kennst du eine größere Primzahl ? B: Ja, ich kenne die Primzahl 3, kennst du eine größere Primzahl ? A: Ja, ich kenne die Primzahl 5,... usw. Dieses Spiel kann sich ewig hinziehen oder auch sehr kurz dauern. Dieses Spiel wird einen Gewinner haben, wenn es zeitlich begrenzt wird.

Herr Rosenthal, Sie schreiben: Der wesentliche Unterschied zwischen "größte natürliche Zahl" und "größte bekannte Primzahl" besteht darin, daß es für die natürlichen Zahlen eine wohldefinierte Bildungvorschrift (Axiom) gibt, für die Primzahlen aber nicht. Vielleicht ist es Ihrer Aufmerksamkeit entgangen, daß sich genau um diese Frage - gibt es eine "wohldefinierte Bildungsvorschrift für Primzahlen" - die ganze bisherige Diskussion dreht. Ich hatte unter anderem zu zwei solchen Formeln je einen Link angegeben und dann die Frage gestellt, ob diese als das gelten können, was Sie "wohldefinierte Bildungsvorschrift" nennen. In dieser nicht rein mathematischen Frage kann man verschiedene Standpunkte vertreten, allerdings scheinen mir alle hier einer Meinung - nämlich mit dem jetzigen Artikel zufrieden - zu sein; außer Ihnen, was evtl. daran liegt, dass Sie nicht auf demselben Diskussionsstand sind. Vielleicht ja jetzt. --Chef Diskussion 02:25, 12. Jun 2005 (CEST)

Eines vorweg: Manchmal fällt es mir schwer zu unterscheiden, wen in diesem Forum ich

duzen darf und wen ich siezen muß. Ich werde also folgender Konvention folgen: Wer mich duzt, den rede ich mit "du" an, die anderen mit "Sie". Vielleicht erinnern Sie sich noch (andernfalls können Sie es leicht in der Versions-Geschichte zum Artikel "Primzahl" finden: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Primzahl&diff=next&oldid=5143304), daß ich das Kapitel "Größte Primzahl" aus guten Gründen in "Größte bekannte Primzahl" umbenannt habe. Hiermit begann diese Diskussion zum Thema "größte _bekannte_ Primzahl". Diese Diskussion hat seither ihre eigenen Wege genommen, und das ist ganz in Ordnung. Dafür ist die Seite "Diskussion" letztendlich gedacht. Ihre Aussage "allerdings scheinen mir alle hier einer Meinung - nämlich mit dem jetzigen Artikel zufrieden - zu sein; außer Ihnen," klingt in meinen Ohren sehr befremdlich. Ist das wirklich Ihr Maßstab bei der Mitarbeit an einem Artikel in der Wikipedia, daß "alle einer Meinung" sind damit ? Glauben Sie allen Ernstes, ein Wikipedia-Artikel zeichnet sich in erster Linie dadurch aus (und verdient am Ende gar das Prädikat "exzellent"), daß alle seine Leser und Schreiber _einer Meinung_ sind ? Ich habe ein anderes Verständnis des Wikipedia-Prinzips: Ein Artikel kann nur dann verbessert werden und wachsen, wenn dessen Beiträger sich mit dem Erreichten niemals zufrieden geben und immer wieder daran arbeiten. Nur so können sie fortschreiten, auch wenn sie zuzeiten irren. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Übrigens, ich glaube auf dem aktuellen Diskussionsstand zu sein. Sind Sie es ?

Es gibt in der Wikipedia Konventionen, wo welche Diskussion geführt wird. Ich habe für ein neues Thema extra einen neuen Abschnitt begonnen; das alte Thema bitte oben diskutieren. --NeoUrfahraner 18:52, 4. Jun 2005 (CEST)

Das ist ein fairer Vorschlag. Den Wiki-Konventionen folge ich ohne Murren, da sie vernünftig sind. Wenn nur die Beiträger zum Thema "größte bekannte Primzahl" einer solchen (in diesem Falle mathematschen) Konvention zu folgen bereit wären. Ich wäre schier glücklich! Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Da Du anscheinend unbedingt hier unten weiter diskutieren willst, habe ich eine Zwischenüberschrift eingeführt, um ein wenig Ordnung hereinzubringen. Nach meinem Verständnis ist der Stand der Diskussion nun folgender: Benutzer:Chef hat die berechtigte Frage aufgeworfen, was man unter "größte bekannte Primzahl" versteht. Meiner Meinung nach bieten sich Dir folgende Möglichkeiten:

• Wikipedia dient nicht der Theoriefindung, sondern der Theoriedarstellung Am besten ist, Du findest ein mathematisches Literaturzitat, in dem steht, dass NN im Jahr YYYY bewiesen hat, dass es stets eine größte bekannte Primzahl gibt. Dann sind wir auf gesichertem objektivem Boden, das kann man wunderbar in die Wikipedia einbauen und nachlesen, wie NN "größte bekannte Primzahl" definiert hat.
• oder Du lieferst eine mehr oder weniger anerkannte Definition, wie "bekannte Primzahl" zu definieren ist, sodass man dann überprüfen kann, ob die so definierte Menge aller bekannten Primzahlen tatsächlich endlich ist. Die Electronic Frontier Foundation verwendet für ihren Preis eine Definition; das sind aber Wettbewerbsregeln, die keine mathematische Definition sind!
• Die dritte Möglichkeit ist, eine Abstimmung zu organisieren, in der wir gemeinsam über verschiedene Formulierungen abstimmen. Solche Abstimmungen sind natürlich kein Beweis, aber ein in der Wikipedia üblicher Vorgang. Damit kann man zumindest feststellen, ob "aus für die meisten Menschen einsichtigen und trivialen logischen Gründen, stets und immer eine größte bekannte Primzahl gibt". Abstimmen dürfen leider nur namentlich angemeldete Wikipedianer; anmelden kannst Du aber immer noch nachholen.

Ich hoffe, die Situation ist so weit klar für Dich; ich werde jetzt für zwei Wochen auf Urlaub fahren und kann daher in dieser Zeit nicht mehr miteditieren. --NeoUrfahraner 19:37, 5. Jun 2005 (CEST)

Dein wohlverdienter Urlaub wird Dir sicherlich viel Zeit zum nachdenken über die Primzahlen lassen. Danach aber erwarte ich eine klare Auskunft zum Thema: "PS: Zur Erinnerung: Ausgangspunkt dieser Diskussion war das Thema größte bekannte". Ist doch Ehrensache für Dich, oder ? Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ich weiß jetzt nicht recht, worüber Du klare Auskunft von mir haben willst. Ich hätte aber gerne klare Auskunft von Dir, wie eine exakte Definition von bekannte Primzahl aussehen soll. Ist doch Ehrensache für Dich, oder? --NeoUrfahraner 11:30, 21. Jun 2005 (CEST)

Ehrensache! Die exakte Definition von "bekannte Primzahl" ist: Eine Zahl, welche der _Definition_ des Begriffs "Primzahl" genügt. (Das schließt natürlicherweise ihre _Bekanntheit_ ein, ansonsten sie nicht der Definition genügen könnte.) Allerdings war mein Ausgangspunkt nicht der Begriff der "bekannten" Primzahl, sondern der "größten bekannten" Primzahl. Das ist etwas anderes. Aber auch hierfür gebe ich eine exakte Definition: Die größte bekannte Primzahl ist stets diejenige, welche den Zahlenwert jeder zuvor veröffentlichten Primzahl übersteigt. Eine verfeinerung dieser Definitionen ist doch Ehrensache für Dich, oder... Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

So einfach ist das nicht. Definiere n als die kleinste Primzahl größer als $10^{1.000.000.000}$. Dann ist n eine eindeutig bestimmte Zahl, die "der Definition des Begriffes Primzahl genügt", aber im allgemeinen Verständnis des Wortes nicht bekannt.--Gunther 08:27, 26. Jun 2005 (CEST)

Das erinnert mich an das alte Spiel: Sei etwas schwarz. Nun definiere schwarz als weiß. Dann ist weiß schwarz. Und schwarz weiß. Und so weiter... Auf solche Diskussionen werde ich mich tunlichst _nicht_ einlassen. Bitte gehe direkt und ohne Umwege auf meine Definitionen ein. Oder formuliere bessere. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Noch ein letzter Hinweis: Definitionen in der Mathematik beziehen sich nicht auf Einzelfälle ("Definiere n als die kleinste Primzahl größer als..."), sie schaffen vielmehr den Grund, auf dem die allgemeinen Prinzipien der Mathematik aufbauen.

Ich habe Dir ein Beispiel einer Zahl n genannt, auf die Deine Definition zutrifft, die aber nicht als bekannt angesehen wird. Leider kann ich Deinen tiefsinnigen Ausführungen zum Thema Schwarz und Weiß nicht entnehmen, welchen Teil dieser Behauptung Du bestreitest und weshalb.--Gunther 09:12, 26. Jun 2005 (CEST)

"Ich habe Dir ein Beispiel einer Zahl n genannt, auf die Deine Definition zutrifft, die aber nicht als bekannt angesehen wird." Eine Zahl, genauer Primzahl, die nicht als _bekannt_ angesehen wird, hat mit meiner Definition nichts zu tun, da meine Definition von "bekannten Primzahlen" und "größten bekannten" Primzahlen handelt. Bitte verstehe mich recht: Wir reden hier nicht über Linsen und Erbsen, sondern über die Begriffe "bekannte" und "größte bekannte" Primzahl. Dein Beispiel hält meiner Definition nicht stand, sowenig wie meine Definition auf Dein Beispiel zutrifft. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Kernbegriffe sind "bekannt" und "größt"; und kannst Du Deine Zahl "n" ausschreiben? Narürlich nicht, sie ist ja _unbekannt_. Meine Definition aber handelt nur von _bekannten_ Größen.

Ah, mein Fehler: Neo hatte Dich aufgefordert, "bekannt" zu definieren, und ich dachte, Du wolltest das tun.--Gunther 09:57, 26. Jun 2005 (CEST)

Hans, Du hast es bis jetzt nicht geschafft, eine Definition von "bekannt" zu geben. "bekannt" ist kein "Kernbegriff" (was meinst Du genau damit?) und im Gegensatz zur Größer-Relation ist mir keine mathematisch exakte Definition dafür bekannt. Das von Gunther gegebene Beispiel kleinste Primzahl größer als $10^{1.000.000.000}$ genügt offensichtlich Deiner Definition von "bekannter Primzahl", denn nach Deiner Definition ist ja jede Primzahl "bekannt". Umgekehrt bezweifle ich aber, dass es vor 1588 eine größte bekannte Primzahl gab (siehe The Largest Known Prime by Year). Was war denn im Jahr 1492 die größte bekannte Primzahl? Wenn Du nicht in der Lage bist, "bekannt" zu definieren, werde ich die von mir erwähnte dritte Möglichkeit einleiten und vorschlagen, eine Abstimmung darüber zu machen, ob wir bei der derzeitigen Formulierung bleiben oder die Formulierung so dass es stets eine größte bekannte Primzahl gab, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit ist es ... streichen und durch die Version vom 2. Mai 2005 Die derzeit größte bekannte Primzahl ist ... ersetzen. --NeoUrfahraner 09:11, 27. Jun 2005 (CEST)

Ich habe sehr verständliche Definitionen sowohl von "bekannte Primzahl" als auch von "größte bekannte Primzahl" auf dieser Seite gegeben. Wiederholung: Eine "bekannte Primzahl" ist eine Zahl, die der Definition der "Primzahl" genügt und im Internet zur Verifizierung verfügbar ist. Eine "größte bekannte Primzahl" ist eine Zahl, die "der Definition der "Primzahl" genügt" und größer als jede zuvor bekannte Primzahl ist und im Internet zur Verifizierung verfügbar ist. Diese Definitionenen sind vollständig. Mehr kann ich nicht für Dich tun. (Ich drehe mich hier im Kreis: "Bekannt" bedeutet "nachvollziehbar" -- und "größtbekannt" bedeutet nichts anderes.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Eine letzte Erläuterung: Wenn ich sage, daß die 3 mir "bekannt" ist, dann muß ich die Drei hinschreiben können: 3 oder drei. Ich muß auch diese Tatsache anderen mitgeteilt haben, die mich bestätigen. Es ist hingegen nicht hinreichend einfach zu behaupten: "Es gibt eine größere Primzahl als die 2."

Ich habe geschrieben: "Es ist hingegen nicht hinreichend einfach zu behaupten: "Es gibt eine größere Primzahl als die 2."" Für diese falsche und dumme Aussage sollte ich mich *zaunpfählen* lassen ! Ich nehme diesen Unsinn zurück. Natürlich ist es hinreichend zu behaupten: "Es gibt eine größere Primzahl als die 2." Euklid mag sich im Grabe drehen ob meines Hirnrisses. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Entschuldigung bei allen Lesern. Ich werde mich künftig auf die "123" beschränken.

Natürlich drehst Du Dich im Kreis. "im Internet zur Verifizierung verfügbar" ist keine mathematische Definition. Was war denn die größte bekannte Primzahl, als es noch kein Internet gab? Was bedeutet "hinschreiben"? In welchem Sinn ist $2^{25.964.951}-1$ "hingeschrieben"? Da steht ja nur eine Formel, mit der man die Zahl berechnen kann. Welche Formeln sind erlaubt, damit eine Zahl als bekannt gilt, welche Formeln sind nicht erlaubt? Was war denn die größte bekannte Primzahl für Fermat, der geglaubt hat, dass alle Fermat Zahlen Primzahlen wären? Und nochmals, was war denn im Jahr 1492 die größte bekannte Primzahl? --NeoUrfahraner 2. Jul 2005 08:32 (CEST)

""im Internet zur Verifizierung verfügbar" ist keine mathematische Definition.". Ich weiß, ich habe auch an keiner Stelle behauptet, daß "bekannt" oder "verifizierbar" ein mathematischer Begriff sei. Ich habe versucht, eine sprachliche Erklärung des Begriffs "bekannt" zu geben, nicht mehr und nicht weniger. Jetzt bist Du wieder an der Reihe. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ohne mathematische Definition von bekannt ist aber die Aussage "daß es stets eine "größte bekannte" Primzahl gibt" sinnlos. Es herrscht zwar heute Einigkeit darüber, dass $2^{25.964.951}-1$ als "bekannt" anzusehen ist; es kann aber durchaus sein, dass jemenad eine neue Formel für Primzhalen findet, die manche Leute als "bekannte Primzahlen" anerkennen, andere Leute aber nicht. Schon bei der Frage, ob M4253 jemals die größte bekannte Primzahl war, gibt es unterschiedliche Interpretationsmöglichkeiten. "Does a machine result need to be observed by a human before it can be said to be 'discovered'?", siehe The Largest Known Prime by Year --NeoUrfahraner 2. Jul 2005 18:50 (CEST)

"Does a machine result need to be observed by a human before it can be said to be 'discovered'?" -- Yes, absolutely. As long as machines are constructed ("discovered") by human beings, all their results can only be "discovered" or known by the latter. Since the term "observance" can only be attributed to "observers", there is always an entity needed that "observes" or controlles. Once the machines will have taken over the power from human beings, the humans will have to revise their understanding of what "known" means. But it`s still a long way to go before that happens... (Kurzfassung: Menschliche Kategorien von "Wahrnehmung", "Bewußtsein" oder "Wissen" dürfen nicht auf Maschinen angewendet werden. Maschinen wissen nichts. Sie funktionieren nach den Anweisungen der Menschen. Im Guten wie im Schlechten. But this is just a matter of course...)

Erklärungsversuch in drei Schritten:

1. Eine "Primzahl" ist eine Zahl, die beliebigen deterministischen Primzahltests genügt. 2. Eine "bekannte" Primzahl ist eine Zahl, die beliebig viele Menschen verifiziert haben. 3. Eine "größte" bekannte Primzahl ist eine Zahl, deren Wert noch nicht übertroffen ist.

Von unten nach oben gelesen (also 3. --> 2. --> 1.) ist alles in dieser Erklärung von "größte bekannte Primzahl" enthalten (eher mehr als zuwenig).

Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: "Ohne mathematische Definition von bekannt ist aber die Aussage "daß es stets eine "größte bekannte" Primzahl gibt" sinnlos." Warum? Die größte bekannte Primzahl kann jeder mit dem Internet verbundene Leser nachlesen. Auch ohne eine "mathematische" Definition des Begriffs "bekannt" zu haben, weil es eine solche "mathematische Definition" auch nicht gibt. Es gibt bisher nur sprachliche "Erklärungen" des Begriffs "bekannt". Mehr ist auch gar nicht erforderlich in diesem Zusammenhang. Freilich, wer eine "mathematische" Definition geben kann, der soll sie geben. (Nötige Rechtschreibkorrekturen werden natürlich folgen.)

Und was war also im Jahr 1492 die größte bekannte Primzahl? --NeoUrfahraner 4. Jul 2005 06:53 (CEST)

Falls Christoph Kolumbus in seinen Geheimberichten an die Spanische Krone nicht geirrt noch geschwindelt hat, dann war die größte bekannte Primzahl im Jahr 1492 die 391-stellige Zahl 1492^123+1321. Kolumbus behauptete, diese Zahl bei seiner Ankunft im Strandsand auf Guanahani gelesen und aufgeschrieben zu haben. Aber das ist unter Historikern sehr umstritten. Unter Mathematikern auch. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ok, genug rumgealbert. Ich denke, es herrscht Einigkeit, dass von den drei Zahlen

• (A) 141421356237309504880168872420969807856967187538001
• (B) $1492^{123}+1321$
• (C) $3^{2^{10^{10}}}+2$
• (D) nextprime($10^{10^{10}}$)

die Zahlen A, B und C "bekannt" sind, während D "unbekannt" ist. Damit ist auch klar, dass es nur eine grösste bekannte Primzahl geben kann, solange man nicht Ausdrücke (z.B. des Typs B oder C) kennt, mit denen sich beliebig grosse Primzahlen erzeugen lassen. Wird einer dieser Punkte von einer der Seiten bestritten?--Gunther 6. Jul 2005 00:55 (CEST)

"Wird einer dieser Punkte von einer der Seiten bestritten?" -- Ja, ich bestreite, daß Kolumbus (nach Absprache mit Konrad) das Wort "grösste" verwendet hätte. Aber das ist unter den sogenannten "Kultusministern" (die von der Rechtschreibung soviel Ahnung haben wie der Teiler vom Multiplikator) sehr umstritten... Unter Sprachkennern auch. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Mein ß funktioniert gerade nicht. Es soll aber auch Länder geben, die so etwas gar nicht verwenden...--Gunther 6. Jul 2005 09:36 (CEST)

In diesen vier Faellen sind wir uns mehr oder wenig einig (Wie lauten eigentlich die letzten 10 Dezimalstellen von (C)?). Was ist damit aber über die verbleibenden unendliche vielen Faelle gesagt? Angenommen, jemand findet eine Funktion f(n1,...,nk), die immer eine beliebig große Primzahl liefert und zur Berechnung 1s/1 h/1d/1 Jahr/1 Jahrhundert erfordert? Ab welcher Komplexität sind wir uns einig, dass diese Formel eine "bekannte" Zahl liefert? Und nochmals zu meiner Frage: Was war also im Jahr 1492 die größte bekannte Primzahl? --NeoUrfahraner 6. Jul 2005 07:34 (CEST)

Bei Beispiel (C) ging es mir darum, dass niemand jemals die Dezimaldarstellung dieser Zahl vollständig aufschreiben können wird, sie aber trotzdem "bekannt" ist. Und es ist ebenfalls klar, dass es eine grosse Grauzone gibt. Mein Tip für die letzten zehn Stellen von C wäre übrigens 7850449923.--Gunther 6. Jul 2005 09:36 (CEST)

Bei der derzeitigen Formulierung ("stets") ist aber gerade diese Grauzone das Problem; die Formulierung, wie sie bis Anfang Mai 2005 war, ist unbestritten. --NeoUrfahraner

Mir ist jetzt noch ein anderes Argument eingefallen, um die Problematik klarzumachen: Analog zu "dass es stets eine größte bekannte Primzahl gab, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen" muss natürlich auch gelten "dass es stets eine kleinste natürliche Zahl gab, von der man nicht weiß, ob sie Primzahl ist oder nicht". Von $2^{\left(2^{33}\right)}+1$ weiß man beispielsweise nicht, ob diese Zahl prim ist, vgl. Fermat Factoring Status. Damit wir nicht über das Jahr 1492 diskutieren müssen: welches ist denn nun heute die kleinste natürliche Zahl, von der man nicht weiß, ob sie prim ist? --NeoUrfahraner 10:14, 12. Jul 2005 (CEST)

Nebenrechnung (2. Versuch)

In Wladyslaw Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory, Springer-Verlag Berlin 2000, Seite 114 findet sich die Aussage

$0{,}92\leq {\frac {\pi (x)}{x/{\log x}}}\leq 1{,}26$ für $x\geq 11.$

Als Quelle ist H. Harborth, H.J.Kanold, A.Kemnitz, Abschätzung der Primzahlfunktion mit elementaren Methoden, Elem. Math. 36 (1981) 167–170, angegeben.

Damit ist

$\pi (2^{N})-\pi (2^{M})$

${}>0{,}9\cdot {\frac {2^{N}}{N\log 2}}-1{,}3\cdot {\frac {2^{M}}{M\log 2}}.$

Mit $N=25.964.951$ und $M=24.036.583$ kann man den zweiten Term vernachlässigen und erhält

${}>{\frac {2^{N}}{10^{8}}}>10^{3N/10-8}>10^{7.500.000}.$

--Gunther 16:38, 21. Mai 2005 (CEST)

"Eigenschaften von Primzahlen" (privat für ROHA in Ermangelung einer Benutzerdiskussionsseite *zaunpfahl*)

Die Eigenschaften der Primzahlen sind durch die Definition nicht vollständig beschrieben. In der üblichen Verwendung des Wortes "Eigenschaft" zählt dazu auch jede Aussage, die auf Primzahlen zutrifft, auch wenn sie nicht Teil der Definition ist, z.B. entweder gleich 2 oder ungerade zu sein.--Gunther 19:49, 13. Jun 2005 (CEST)

Du hast recht, Gunther. Die "Eigenschaften der Primzahlen sind durch die Definition nicht vollständig beschrieben". Ich hätte schreiben sollen: "sind in der Definition vollständig enthalten". Das bedeutet etwas anderes. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: "*zaunpfahl*" ist mir immer noch ein Rätsel...

*zaunpfahl* hieß, dass es praktisch wäre, wenn Du Dich anmelden würdest und damit eine Benutzerdiskussionsseite hättest.--Gunther 13:51, 26. Jun 2005 (CEST)

Danke für die Erklärung. Ich habe meine Gründe, mich nicht anzumelden. Ich werde später darauf zurückkommen. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

neue Einleitung

@MKI: Deine Änderung finde ich weniger gut. Im ersten Satz erwarte ich Eine Primzahl ist .... Mein Vorschlag: Setze Deine durchaus sinnvollen Ergänzungen hinter die vorher bestehende Einleitung. -- tsor 15:42, 24. Jun 2005 (CEST)

Zum einen hielt ich es für überflüssig, dass in der alten Version ein und die selbe Definition (nur ein wenig anders formuliert) zweimal kurz hintereinander im Artikel auftauchte. Außerdem soll die Einleitung -- wie überall -- einem möglichst breiten Leserfeld zugänglich sein. Das bedeutet, dass wir lieber keine mathematisch exakte (und damit mathematisch formulierte) Definition in der Einleitung bringen, sondern wir dort eher eine Ahnung vermitteln sollten. Die von mir gewählte Fomrulierung multiplikative Grundbausteine der natürlichen Zahlen mag nicht perfekt sein, aber aus den gerade genannten Gründen halte ich diese in der Einleitung für wesentlich besser als die exakte Definition. Wenn jemand die exakte Defintion wissen möchte, dann schaut er doch sowieso sofort unter dem entsprechenden Abschitt nach, der direkt im Anschluss steht und damit niemandem entgehen sollte.--MKI 15:57, 24. Jun 2005 (CEST)

"Multiplikative Grundbausteine" ist nicht so unmittelbar verständlich. Allerdings finde ich es gut, in der Einleitung zu beschreiben, worin die Bedeutung des Begriffes liegt, das ist mMn genauso wichtig wie eine präzise Definition. Bei einer Definition wie "genau zwei Teiler" könnte man fragen: "Und wie heißen Zahlen mit genau drei Teilern?"--Gunther 16:05, 24. Jun 2005 (CEST)

Zahlen mit genau drei Teilern heißen Quadrate von Primzahlen :)

Bevor wir über die konkrete Form der Einleitung weiterdiskutieren, möchte ich einen grundlegenden Punkt abklären: Sind wir uns darüber einig, dass die exakte Definition nichts in der Einleitung zu suchen hat? (Nochmal kurz die Begründung: Einleitung soll einen verständlichen Überblick schaffen; die präzise Definition kommt ohnehin einen Abschnitt später.)--MKI 17:58, 24. Jun 2005 (CEST)

Mit dem ersten Satz soll der Leser wissen, worum es geht. Da kann man an Stelle einer exakten Definition auch mal eine "schwammige" wählen. Also mal mein Vorschlag für die ersten beiden Sätze: Primzahlen sind natürliche Zahlen mit bestimmten mathematischen Eigenschaften. Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Danach kann MKIs Ergänzung folgen. -- tsor 18:19, 24. Jun 2005 (CEST)

Vorschlag für eine Einleitung. Eine kurze und verständliche Einleitung zum Artikel

"Primzahlen" könnte auch so aussehen: "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern. Die zehn kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29." Der Abschnitt "Formale Definition" müßte natürlich angepaßt werden. Alles weitere der jetzigen Version der Einleitung könnte in einen neuen Abschnitt "Geschichte" verschoben werden. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Jo, kommt recht gut hin. Vielleicht etwas abgewandelt: "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und die Zahl selbst. Die zehn kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29." -- tsor 10:56, 26. Jun 2005 (CEST)

"die Zahl" -> "der Zahl", und "zehn" raus (zählen kann der Leser selbst, und die Zehn hat keine tiefere Bedeutung).--Gunther 11:06, 26. Jun 2005 (CEST)

"Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern: 1 und p. Die kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29."

Besser so ? Das Wort "genau" sollte verlinkt (kenne keinen deutschen Wiki-Link) und dort erklärt werden, da es mathematisch bedeutsam ist. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Entweder ad hoc: "Dabei bedeutet "genau zwei", dass es auch nicht mehr als diese zwei geben darf."

Oder vielleicht wirklich genau (Mathematik) als BKS für "genau n" und "genau dann, wenn" (und jeweilige Varianten).

Oder eben doch: "eine natürliche Zahl größer als eins, die durch keine anderen natürlichen Zahlen als durch 1 und p teilbar ist."

--Gunther 11:45, 26. Jun 2005 (CEST)

Der erste Satz sollte doch eher allgemeinverständlich sein - evtl. auf Kosten der mathematischen Exaktheit. Daher kann man "genau" einfach als umgangssprchlich verständlich vorraussetzen und nicht verlinken. Die math. präzise Formulierung erfolgt weiter unten. -- tsor 11:50, 26. Jun 2005 (CEST)

Ich fürchte, gerade in diesem Artikel sind ausreichend Erbsenzähler zu erwarten, die das dann unbedingt korrigieren (lassen) müssen. Ansonsten: siehe dritter Vorschlag oben, da tritt das Problem gar nicht erst auf.--Gunther 11:54, 26. Jun 2005 (CEST)

Betrachtet alle meine Beiträge als Vorschläge. Bessere Vorschläge sind mir immer willkommen. (Im Augenblick scheint mich jemand ganz furchtbar sabotieren zu wollen.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Übertreib' mal nicht. Dass mir die Definition mit "genau zwei Teiler" nicht gefällt, kannst Du schon oben in meinem Beitrag von 16:05, 24. Jun nachlesen, da warst Du noch gar nicht beteiligt. Ich hatte mir schon überlegt, Deinen Vorschlag einfach in den Artikel zu setzen, aber dann hast Du auf den Erklärungsbedarf bei "genau" hingewiesen. Und den unbedarften Leser gleich im ersten Satz auf einen anderen Artikel zu verweisen, kommt mir wirklich nicht besonders einladend vor.--Gunther 12:17, 26. Jun 2005 (CEST)

Gunther, es kommt überhaupt nicht darauf an, ob Dir "die Definition mit "genau zwei Teiler" nicht gefällt". Bei Definitionen kommt es auf Nützlichkeit, Korrektheit und Widerspruchsfreiheit an. Und mehr nicht. (Na ja, vielleicht auch auf Eleganz...). Wann jemand sich an einer Diskussion beteiligt, ist ebenso irrelevant. Es kommt nur darauf an, ob er etwas Nützliches beizutragen hat. Und zuletzt kommt es am wenigsten darauf an, wann Du Dir "überlegt" hast, irgendetwas in einen Wiki-Artikel zu übernehmen oder nicht. Solange die Wikipedia eine "freie Enzyklopädie" ist, sollte in ihr die Vernunft walten, nicht das Ressentiment. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Zum nicht sachbezogenen Teil siehe Benutzer Diskussion:Gunther#Diskussion:Primzahl, das gehört nicht hierher.

Zur Sache: Gibt es mehrere äquivalente Definitionen, stellt sich durchaus die Frage, welche "in einem höheren Sinne die richtige" ist. Das ist natürlich nicht exakt zu fassen, aber mMn sind es die Bedeutung und die Zusammenhänge jenseits der Formeln, die die Mathematik ausmachen. In aller Regel sind es andere Eigenschaften der Primzahlen, die relevant sind, als ausgerechnet die Tatsache, dass die Zahl ihrer Teiler gleich 2 ist.--Gunther 13:05, 26. Jun 2005 (CEST)

Ich bin immer noch eher für eine Formulierung a la: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit zwei von einander unterscheidbaren Teilern. Das "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch Eins und sich selbst teilbar ist hat den Nachteil, das man semantisch argumentieren kann, daß die Eins und das sich Selbst identisch sein kann, so das die Eins aufgrund der Semantik auch eine Primzahl sein müßte.

Nun hat die Semantik in der Mathematik nichts verloren. Aber das wissen ja möglicherweise viele Leute nicht. Als ich in der Grundschule von den Primzahlen erfahren habe, haben viele meiner Mitschüler so argumentiert, und nicht umsonst gab (und gibt es vielleicht immer noch) im USENET Diskussionen und Anfragen darüber, ob es sich bei der Eins um eine Primzahl handelt. Das ist Folge einer schwammigen, wenn auch nicht falschen, Definition. --Arbol01 13:19, 26. Jun 2005 (CEST)

Eine mathematische Beschreibung, die die den Primzahlen zugrundelegende Idee sehr gut wiedergibt, ist Die Primzahlen sind die Atome im Teilerverband der natürlichen Zahlen. Dabei wird aber einige Vertrautheit mit Verbänden vorausgesetzt, weshalb die Beschreibung als Definition unbrauchbar ist. Ich würde mir aber wünschen, dass es uns gelänge, die Intuition hinter dieser Beschreibung in der Einleitung erahnbar zu machen. Meine Formulierung multiplikative Grundbausteine ist ein Versuch hierzu. Vollends zufrieden bin ich damit allerdings nicht.

Bezüglich der Varianten genau 2 natürliche Teiler und nur durch 1 und $n$ teilbar gab es weiter oben schon eine kurzen Gedankenaustausch. Die zweite Variante wurde favorisiert, ich denke daran sollten wir uns (in der Definition, nicht in der Einleitung) halten. Nach wie vor denke ich, dass die Einleitung keine Definition enthalten sollte, dafür aber die zugrundeliegende Idee.--MKI 13:25, 26. Jun 2005 (CEST)

Mit mindestens derselben Berechtigung wie den Begriff Verband könnte/sollte man erwähnen, dass die natürlichen Zahlen das freie kommutative Monoid auf den Primzahlen sind, oder dass $\mathbb {Q} _{>0}^{\times }$ die freie abelsche Gruppe auf den Primzahlen ist. Aber "multiplikative Grundbausteine" ist ja auch in dieser Beschreibung zutreffend.--Gunther 13:35, 26. Jun 2005 (CEST)

Ja, die wirkliche Idee hinter den Primzahlen ist, dass es die multiplikativen Grundbausteine sind, solange man diese Formulierung richtig interpretiert. Dieser Gedanke lässt sich auf mehrere Arten auf "mathematisch" übersetzten, wobei mir persönlich die verbandstheoretische am meisten zusagt, da die Charakterisierung der Primzahlen damit sehr prägnant ausfällt. Aber auch Die Primzahlen sind das eindeutig bestimmte minimale Erzeugendensystem des Monoids der natürlichen Zahlen bezüglich der Multiplikation. gefällt mir ganz gut. Sollen wir es in den Artikel mit aufnehmen, oder wird das zuviel?--MKI 13:53, 26. Jun 2005 (CEST)

Nicht als Definition, höchstens unter den Eigenschaften. Denn der Gruppenisomorphismus $\mathbb {Q} _{>0}^{\times }\cong \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} )}$ ist auch für die Vorstellung manchmal extrem hilfreich: Beispielsweise fragt man sich dann, was es an der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ noch zu beweisen gibt...--Gunther 16:55, 26. Jun 2005 (CEST)

(Bearbeitungskonflikt, Antwort auf Arbol 13:19, 26. Jun) Dieses Problem kann man ja formal durch $p>1$ vermeiden, die inhaltliche Rechtfertigung für diese Festlegung erfolgt durch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Etwas polemisch gesagt: Die Definition mit den zwei Teilern ist die Ausrede für diejenigen, die den eigentlichen Grund nicht nennen wollen, weshalb 1 keine Primzahl ist.--Gunther 13:27, 26. Jun 2005 (CEST)

Wenn man das größer Eins dazuschreibt, ist das semantische Problem beseitigt. Was meinst Du mit eigentlichem Grund? Weil die Primzahldefinition sonst nicht eindeutig ist? Weil Eins ein neutrales Element (bezüglich der Multiplikation) ist? --Arbol01 13:38, 26. Jun 2005 (CEST)

Jetzt bin ich aber ganz neugierig: Was ist denn der "eigentliche Grund", den manche dafür "nicht nennen wollen," daß "1 keine Primzahl ist" ? Und worin besteht denn "die Ausrede" derjenigen, welche heutzutage die Eins nicht mehr als Primzahl betrachten ? Sind denn die heutigen Zahlentheoretiker so feige Schlawiner, daß sie sich in "Ausreden" flüchten müssen, sobald jemand sie fragt: "Warum ist die Zahl Eins keine Primzahl?" ? Wo doch die Antwort für jeden greifbar (und auch in der Wikipedia lesbar) auf der Hand liegt. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Steht doch oben schon: Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. (Tut mir leid, wenn Ihr jetzt mehr erwartet habt.)--Gunther 14:08, 26. Jun 2005 (CEST)

Warum hast Du`s dann so spannend gemacht. Das ist keine "Ausrede" von Mathematikern, "die den eigentlichen Grund nicht nennen wollen", sondern Pragmatismus. Mathematiker sind zuallererst Pragmatiker, was ihnen nützlich und sinnvoll erscheint, das nehmen sie auf und verfeinern es, falls möglich. Das nennt man am Ende "Konvention". Und keiner von ihnen würde sich deshalb schämen oder grämen oder in Verlegenheit geraten. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Das Thema "Konventionen in der Mathematik" könnte Bände füllen. PPS: Braucht Dir aber gar nicht leidzutun...

Das klingt gerade nach einem kleinen Missverständnis: Nicht die eindeutige Primfaktorzerlegung ist die Ausrede, sondern die Definition mit den zwei Teilern, die nur erfunden wurde, damit man eine kurze Erklärung hat, wieso die 1 keine Primzahl ist. Meinetwegen könnte man auch definieren: Die Menge der Primzahlen ist die eindeutig bestimmte Teilmenge der natürlichen Zahlen, für die gilt, dass sich jede natürliche Zahl auf im wesentlichen eindeutige Weise als Produkt von Zahlen aus dieser Menge schreiben lässt. Das wäre für meinen Geschmack wesentlich besser als die Fixierung auf die Zahl 2, die ja für die ganzen Zahlen ohnehin durch 4 ersetzt werden muss (ganz zu schweigen von 8 bzw. 12 für die gaußschen Zahlen bzw. Eisenstein-Zahlen).--Gunther 14:47, 26. Jun 2005 (CEST)

Ich habe es anders gemeint: Für Euler war die Eins ganz natürlicherweise eine Primzahl. Zu seiner Zeit (im 18ten Jahrhundert) spielte die "Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung" keine wesentliche Rolle. Für die Mathematiker des 19ten Jahrhunderts jedoch wurde die "Eindeutigkeit" sehr relevant. Deshalb ließen sie die vormalige Primzahl Eins fallen. Der Verlust war denkbar klein, der Gewinn für die Zahlentheorie aber außerordentlich groß. Das war eine ganz pragmatische Entscheidung. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Daß man daraufhin eine passende Definition für die um die Eins verringerte Menge der Primzahlen gesucht und gefunden hat, das zeugt abermals vom Pragmatismus (d.h. vom Nützlichkeitsdenken) der Mathematiker. Aber diese neue Definition der Primzahlen ("mit den zwei Teilern") hat der "alten" Mathematik nichts genommen, nützt uns aber bis auf den heutigen Tag.

Sorry, aber "keine wesentliche Rolle" kaufe ich Dir nicht ab. Z.B. hat doch Euler gezeigt, dass jede gerade vollkommene Zahl die Form $2^{n-1}(2^{n}-1)$ hat, und das wird er wohl kaum ohne eindeutige Primfaktorzerlegung geschafft haben. Ebenso stammt das Eulerprodukt $\zeta (s)=\prod (1-p^{-s})^{-1}$ von ihm, und das ist i.w. die eindeutige Primfaktorzerlegung.--Gunther 16:28, 26. Jun 2005 (CEST)

Nebenbei könnte man auch definieren: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p=a+b, bei der für jedes a und b gilt, das der ggT(a,b)=1 ist.

Das könnte man sicher noch schöner formulieren. SCNR. --Arbol01 16:41, 26. Jun 2005 (CEST)

Diese Definition ist aber mit Sicherheit "in einem höheren Sinne falsch" :-) --Gunther 16:55, 26. Jun 2005 (CEST)

"The number 1 is a special case which is considered neither prime nor composite (Wells 1986, p. 31). Although the number 1 used to be considered a prime (Goldbach 1742; Lehmer 1909; Lehmer 1914; Hardy and Wright 1979, p. 11; Gardner 1984, pp. 86-87; Sloane and Plouffe 1995, p. 33; Hardy 1999, p. 46), it requires special treatment in so many definitions and applications involving primes greater than or equal to 2 that it is usually placed into a class of its own." Aus http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ihr schweift völlig vom Thema ab. Nochmals: Es geht um einen Einleitungssatz, der dem Leser sofort einen ungefähren Anhalt gibt, um was es im Artikel geht. Dieser Einleitungssatz darf ruhig etwas "unscharf" oder unpräzise sein. Weiter unten wird dann alles exakt definiert und erklärt (auch dass "1" keien Primzahl ist). Aber für die Einleitung reicht es aus zu schreiben: "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und der Zahl selbst. Die kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7". Damit ist ja auch schon angedeutet, dass "1" keine Primzahl ist. -- tsor 17:21, 26. Jun 2005 (CEST)

Nein, da bin ich anderer Meinung. Das ist doch bereits die exakte Definition, die wir in der Einleitung gerade nicht bringen wollten.--MKI 18:04, 26. Jun 2005 (CEST)

Umso besser. Wichtig ist: Der Einleitungssatz sollte den "Oma-Test" bestehen. Das tut dieser. Was die exakte Definition ist, darüber gehen die Meinungen ja wohl auseinander, wenn man sich die Versionen dieses Artikels mal ansieht. -- tsor 18:46, 26. Jun 2005 (CEST)

Nein, die Einleitung sollte einem möglichst breiten Leserfeld eine Intuition vermitteln, worum es geht. Und genau das ist bei den allgemein üblichen Definitionen einer Primzahl (genau 2 Teiler bzw. größer 1, nur Teiler 1 und $n$) nicht der Fall. Ein Leser ohne Vorkenntnisse kann nach einer solchen Einleitung vielleicht Zahlen mechanisch auf Primalität überprüfen, aber warum man ausgerechnet für solche Zahlen einen eigenen Begriff definiert, erschließt sich ihm nicht. Meine Meinung ist aber: Nach der Einleitung sollte ein Leser optimalerweise in der Lage sein, auf die Frage Warum interessiert man sich überhaupt für Primzahlen? eine vernünftige Antwort zu geben. Die Frage Ist 5 eine Primzahl? ist in diesem Stadium dagegen nebensächlich.

Darum zum wiederholten Male: Wir sollten versuchen, in der Einleitung allgemeinverständlich und prägnant die zugrundeliegende Motivation zu erklären; meinen aktuellen Versuch halte ich nicht für perfekt. Die exakte Definition trägt zu diesem Punkt jedoch überhaupt nichts bei und gehört deshalb dorthin, wo sie jetzt ist, und nicht in die Einleitung.--MKI 22:06, 26. Jun 2005 (CEST)

Schau Dir mal die englische Version des Artikels an. Da wird auch im ersten Satz genau gesagt, was eine Primzahl ist, analog der oben vorgeschlagenen Version. Und das ist auch richtig so. Im ersten Satz sollte immer erklärt werden: LEMMA ist ein... oder Unter LEMMA versteht man...' Schau Dir als analoges Beispiel mal einen Städteartikel an, z.B. München: München ist ... Nicht irgendwelches Geschwafel sondern eine präzise Erklärung. Und so muss es auch hier sein. Die aktuelle Version muss m.E. ersetzt werden durch den obigen Vorschlag. -- tsor 23:19, 26. Jun 2005 (CEST)

Mathematik ist nicht München, ich halte Geschwafel in der Mathematik für extrem wichtig: Ansonsten musst Du den ersten Satz von Funktion (Mathematik) ersetzen durch: "Eine Funktion ist ein geordnetes Tripel $(A,B,G)$ mit $G\subseteq A\times B$, so dass es zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ gibt, so dass $(a,b)\in G$ gilt."--Gunther 23:24, 26. Jun 2005 (CEST)

Ich sehe es so ähnlich. Der Formalismus ist ein wichtiges Werkzeug der Mathematik, aber mehr nicht. Die Essenz der Mathematik liegt nicht im Formalismus.

Meine Erfahrung ist: Um mit mathematischen Begriffen wirklich umgehen zu können, hilft purer Formalismus wenig. Vielmehr ist es notwendig, ein Gespür für die betrachteten Objekte zu entwickeln, das sich dem Formalismus entzieht. Wenn man dann weiß, worum es geht, ist der Formalismus eine geeignete Sprache, um die Gedanken geordnet und mathematisch exakt zu formulieren. Weiß man jedoch nicht, worum es geht, so hat ein übermäßiger Formalismus häufig eine erschlagende und demotivierende Wirkung.

Der Begriff der Primzahl ist natürlich ein schlechtes Beispiel für meine Thesen, weil er jedem von uns schon lange völlig vertraut sein dürfte. Da die Einleitung aber gerade für Leute gedacht ist, denen die Primzahlen nicht so recht geläufig sind, halte ich es für richtig, der formalen Definition eine Hilfestellung für die Entwicklung einer Intuition vorauszuschicken.--MKI 02:07, 27. Jun 2005 (CEST)

Ich stimme mit tsor vollständig überein. Trotzdem ein letzter, für Opas und Enkel verständlicher Vorschlag für eine Einleitung zum Wikipedia-Artikel über "Primzahl":

"Eine Primzahl hat keinen _echten_ natürlichen Teiler. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7."

Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Geht es noch (allgemein-) verständlicher und kürzer ? Ich bin ganz Ohr ! (Ich bin allerdings auch sehr ermüdet.) Natürliche Fortsetzung dieser Diskussion: Was ist denn ein "echter", und was ein "natürlicher", und was ein "Teiler" ? Aber das interessiert Opa und Enkel nicht in der Einleitung... Sie verstehen alles einfach beim Lesen !

Ohne mich ernsthaft in die Diskussion einmischen zu wollen, gehört vor den Satz mit dem multiplikativen Grundbausteinen eine Definition von Primzahlen. Was spricht denn dagegen, das, was da jetzt unter "Formale Definition" (wieso eigentlich formal?) steht, einfach ganz nach oben zu packen? --DaTroll 17:43, 10. Jul 2005 (CEST)

Wie schon mehrfach gesagt ist meine Meinung: Die Einleitung sollte möglichst kompakt die den Primzahlen zurgundeliegende Bedeutung benennen. Eine formale Definition gehört nicht in die Einleitung.--MKI 21:08, 10. Jul 2005 (CEST)

Und wie ich schon mehrfach gesagt habe: Ein Artikel beginnt mit "LEMMA ist ...", danach - frühestens im zweiten Satz - kommt die Bedeutung. -- 21:35, 10. Jul 2005 (CEST)

Nachtrag: Schau Dir als Beispiel mal Gerhard Gottschalk an. -- tsor 21:37, 10. Jul 2005 (CEST)

Kompromissvorschlag

Kompromissvorschlag:

Primzahlen sind natürliche Zahlen mit speziellen multiplikativen Eigenschaften. Sie sind in zweierlei Hinsicht die Grundbausteine der natürlichen Zahlen: Einerseits lässt sich jede natürliche Zahl auf im wesentlichen eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben, andererseits sind sie gerade diejenigen Zahlen, die nicht Produkt kleinerer natürlicher Zahlen sind.

Ist das für alle Seiten akzeptabel?--Gunther 12:19, 17. Jul 2005 (CEST)

Mmmmhhh! Geht das nicht einfacher, und weniger geschwollen? Leben kann ich natürlich damit, weil ich weiß was Primzahlen sind, und deshalb auf die Einleitung nicht angewisen bin. --Arbol01 12:42, 17. Jul 2005 (CEST)

Hm, dass ich mit dieser Einleitung niemanden umbringe, ist natürlich ein Lob, das nur schwer zu unterbieten ist...--Gunther 12:48, 17. Jul 2005 (CEST)

Besser gefiele mir:

Die Primzahlen sind die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen: Jede natürliche Zahl lässt sich im Wesentlichen eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

oder

Die Primzahlen sind die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen: Sie sind genau die Zahlen, die nicht Produkt kleinerer natürlicher Zahlen sind.

Denn die einigermaßen nichtssagende Floskel ...mit speziellen Eingenschaften kommt für meinen Geschmack schon in zu vielen ersten Sätzen von Mathematikartikeln vor. Wir sollten sie, wo immer es möglich ist, vermeiden. Außerdem impliziert das vorgeschlagene auf zweierlei Hinsicht zum einen, dass die beiden Eigenschaften etwas grundverschiedenes sind und bei den Primzahlen "quasi zufällig" zusammenfallen, und zum anderen, dass alle denkbaren Interpretationen für den Begriff multiplikative Grundbausteine erschöpfend benannt wurden. Deshalb meine ich, dass wir uns auf eine einzige Eigenschaft beschänken sollten.

Und auch dabei habe ich schon ein ungutes Gefühl (womit ich aber scheinbar ziemlich alleine dastehe): Eigentlich stellen beide Eigenschaften bereits eine Definition der natürlichen Zahlen dar, die jeweils nur noch etwas formaler ausgeführt werden müsste. Dass die anschließende formale Definition das Pferd dann von einer anderen Seite aufzäumt, erscheint mir unnatürlich. Ich habe aber nicht vor, meinen Kopf durchzusetzen, wenn hier alle einer anderen Meinung sind.--MKI 12:51, 17. Jul 2005 (CEST)

Auch mit diesen Varianten wäre ich zufrieden. (Ich muss übrigens zugeben, dass man sich bei der zweiten etwas Mühe geben muss: 1 ist das Produkt von 0 Faktoren, von denen jeder kleiner als 1 ist.) Solange es nicht diese unsinnig Teileranzahl-gleich-2-Definition ist...--Gunther 13:10, 17. Jul 2005 (CEST)

Diese Einleitung gefällt mit überhaupt nicht. Ich halte das für Geschwafel, mit dem meine Oma nur wenig anfangen kann. Ich meine immer noch wir müssen mit einer Definition anfangen, wie ich sie weiter oben schon erwähnt habe, also sinngemäss: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, zum Beispeil 3, 5, 11. Das ist genauso wie wir es in der Schule gelernt haben. Danach kann man meinetwegen von "multiplikativen Eigenschaften" philosophieren. Mein Senf. -- tsor 18:30, 17. Jul 2005 (CEST)

Stimme dem zu. Gehöre halt zur "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl (größer 1) die genau zwei unterschiedliche natürliche Teiler besitzt"-Fraktion. --Arbol01 18:49, 17. Jul 2005 (CEST)

Kompromissvorschlag, 2. Versuch

Der Einleitungstext und der Abschnitt "Formale Definition" werden ersetzt durch:

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern. Die kleinsten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, … Die fundamentale Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf den folgenden drei Konsequenzen aus dieser Definition:

• Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als eins sind, darstellen.
• Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch sie teilbar.
• Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich auf im wesentlichen eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben.

Bereits die antiken Griechen... die historischen Anmerkungen wie bisher

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt zusammengesetzte Zahl, wenn sie keine Primzahl ist. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

--Gunther 19:17, 17. Jul 2005 (CEST)

Das halte ich für eine gute Einleitung. Bin dafür. -- tsor 19:37, 17. Jul 2005 (CEST)

Da fällt mir gerade auf: Die Äquivalenz ist verlorengegangen, das ist schlecht. Wie wäre ein Satz: "Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden", eingeschoben nach den drei Punkten?--Gunther 19:49, 17. Jul 2005 (CEST)

Warum nicht! --Arbol01 22:57, 17. Jul 2005 (CEST)

Gunthers Vorschlag halte ich inhaltlich für sehr gelungen. Ideal fände ich eine Einleitung in ein oder zwei Zeilen: "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern. Die kleinsten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, &hellip" Die weiteren Erläuterungen ließen sich vielleicht in ein oder zwei neue Abschnitte verschieben, etwa mit den Titeln: "Folgerungen und Implikationen" und "Zur Geschichte". (Ich bin einfach ein Freund sehr kurzer Einleitungen.) Aber das sind Formalien, die nichts mit den Formulierungen zu tun haben. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Das war in diesem Forum mein letzter Vorschlag Gunther betreffend, da er sich als ein Löscher auf den Diskussionsseiten erwiesen hat. Meine künftigen Beiträge werden künftig also völlig ohne Bezug auf Gunther sein. Ich werde ihn ignorieren. (Mag ihn zum Löschen anregen, noch ehe er einen guten Gedanken erfassen konnte...)

@ROHA: Die Beiträge auf dieser Seite drehen sich doch um Primzahlen und nicht um Gunther. Insowfern kann ich mit Deinem Statement wenig anfangen. Aber ich muss ja auch nicht alles verstehen ;-) -- tsor 16:36, 20. Jul 2005 (CEST)

Ist aus meiner Sicht ok. Bau es doch mal ein. -- tsor 11:21, 20. Jul 2005 (CEST)

Ich wollte noch warten, was MKI dazu sagt.--Gunther 11:30, 20. Jul 2005 (CEST)

Das ist nett. Meine Meinung hab ich ja oben schon ausführlich dargelegt. Ich kann mit der vorgeschlagenen Variante aber auch gut leben, zumal ich meinen Schädel nicht gegen die Meinung aller anderen durchsetzen will. Eine Kleinigkeit gibt es dennoch anzumerken: entweder: Die Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, ... (ohne das Wort kleinsten) oder: Die kleinsten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11. (ohne Pünktchenpünktchenpünktchen).--MKI 19:20, 20. Jul 2005 (CEST)

Ich würde:Die Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, ... OEIS|Nummer favorisieren. --Arbol01 19:26, 20. Jul 2005 (CEST)

Da die Angabe der OEIS-Nummer fast schon der komplette Inhalt des Abschnitts "Die kleinsten Primzahlen" ist, habe ich das erst einmal weggelassen. Aus meiner Sicht spricht allerdings nichts dagegen, diesen Abschnitt in die Einleitung zu integrieren; groß wäre der Unterschied nun wirklich nicht.--Gunther 19:38, 20. Jul 2005 (CEST)

Entschuldigung, ich war mir nicht bewusst, das die OEIS weiter unten aufgeführt ist, obwohl ich es gewußt haben mußte.

Nein, die OEIS ist schon da gut, wo sie jetzt steht. --Arbol01 19:42, 20. Jul 2005 (CEST)

Sollte es statt Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht direkt Fundamentalsatz der Arithmetik heißen? --DaTroll 19:41, 20. Jul 2005 (CEST)

Zu spät ;-) Nein, ernsthaft: Ich habe den Vorschlag so geschrieben, wie es mir natürlich erschien. "Fundamentalsatz der Arithmetik" klingt für mich viel zu pompös. Das da hat auch mehr Google-Hits als das.--Gunther 20:00, 20. Jul 2005 (CEST)

Kann man nicht irgendwo das Betreffende mit diesem einfachen Satz sagen?:

"Jede natürliche Zahl läßt sich durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen." Dieser Satz ist außerordentlich einfach und allgemeinverständlich auf Grundschulniveau (nicht Oma-Niveau, denn meine Oma hatte Hochschulbildung.;-)

Und als zweiten Satz dann irgendwie das mit den Atomen und den chemischen Elementen: "Also läßt sich die Menge der Natürlichen Zahlen auf die kleinere Menge (Untermenge) der Primzahlen zurückführen. Damit sind die P so etwas wie die Elemente der Zahlen.--Löschfix 19:34:33, 23. Aug 2005 (CEST)

Verständnisfragen zur neuen Einleitung (ROHA)

Wie läßt sich aus der dritten in der Einleitung erwähnten Eigenschaft

• Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich auf im wesentlichen eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben.

die Definition der Primzahlen gewinnen ? Definitionen dürfen das zu Definierende nicht als bekannt (= bereits definiert) voraussetzen. Setzt der Begriff der "Primfaktorzerlegung" nicht wenigstens den Begriff (die Definition) der "Primzahl" voraus ? (Dies bezieht sich auf die folgende Behauptung "Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden." -- Bitte ein Beispiel für diese Behauptung angeben.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Steht schon oben. Die Menge der Primzahlen ist dadurch charakterisiert, dass "sich jede natürliche Zahl auf im wesentlichen eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben lässt", d.h. ist $P\subseteq \mathbb {N}$ eine Menge mit dieser Eigenschaft, dann ist $P$ genau die Menge der Primzahlen.--Gunther 00:47, 23. Jul 2005 (CEST)

Ich muß meine Frage leider wiederholen: Wie läßt sich aus dem dritten Punkt die DEFINITION der Primzahlen gewinnen ? Die Ausgangsbehauptung lautet weiterhin: "Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden." Ich wiederhole: könnte auch zur DEFINITION der Primzahlen verwendet werden. Meine Frage hat "wesentlich" nichts mit den Eigenschaften der Primzahlen zu tun, sondern mit ihren Voraussetzungen, also ihrer DEFINITION. Ich könnte alles auch präziser, aber vielleich weniger verständlich formulieren. Will ich aber nicht. Deshalb in anderer Frageform: Wer kann aus der Behauptung "Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden." und aus der dritten Aussage in der Einleitung eine Definition" des Begriffs "Primzahl" ableiten ? (Was eine Primzahl charakterisiert und welche Eigenschaften sie hat -- das sind zahlentheoretische Fragen. Meine Frage zielt allein auf die Definition, und das ist eine sprachliche (und logische) Frage.) Also: Wie kann jemand behaupten, "Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden.", ohne in der Aussage

• Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich auf im wesentlichen eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben.

das _zu Definierende_ bereits zu verwenden ? Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Bitte beachtet: Es geht in diesem Punkt weder um die "Primfaktorzerlegung" noch um deren "Eindeutigkeit" -- Es geht um eine Behauptung, die aus einer abgeleiteten Eigenschaft der Primzahlen deren DEFINITION zu gewinnen glaubt.

Man könnte Primzahlen auch so definieren: Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie zu der eindeutig bestimmten Teilmenge $P\subseteq \mathbb {N}$ gehört, für die gilt, dass sich jede natürliche Zahl auf i.w. eindeutige Weise als Produkt von Elementen von $P$ schreiben lässt. Ist das wirklich so unverständlich?--Gunther 01:35, 23. Jul 2005 (CEST)

Ich möchte nur etwas anfügen, das einem "Konflikt" zum Opfer gefallen war: Und so etwas ist schlichtweg nicht möglich. ROHA

Sorry, ich geb mir wirklich Mühe, aber ich verstehe Dein Problem nicht.--Gunther 02:00, 23. Jul 2005 (CEST)

Letzter Erklärungsversuch: Wenn jemand behauptet, die "Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung" könne "auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden", dann liegt dieser jemand völlig falsch. (Kann jemand aus dem Begriff der "Primfaktorzerlegung" die Definition der Primzahl ableiten ? -- Ich glaube nicht.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

"Kann zur Definition verwendet werden" ist bewusst etwas vage. Gemeint ist damit, was ich in meinem Beitrag von 01:35, 23. Jul geschrieben habe. Das ist eine Definition des Begriffes "Primzahl", die äquivalent ist zur Zwei-Teiler-Definition.--Gunther 02:25, 23. Jul 2005 (CEST)

Manch einer, der Probleme hat, zwischen "Definitionen" und "mathematischen Sätzen" zu unterscheiden, mag vielleicht nochmals folgendes in Erwägung ziehen:

Die Bausteine der Mathematik

Die grundlegenden Bausteine der Mathematik sind

1. Definitionen: Vereinbarungen zum Gebrauch der natürlichen Sprache

2. Axiome: Auffindung und konsistente Formulierungen der Grundtatsachen

3. Sätze: Logisch korrekte Ableitungen von Aussagen aus den Axiomen

4. Offenheit: Überprüfung und Erweiterung der Punkte 1 bis 3

Auf diesem Fundament beruht die gesamte Mathematik.

Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) Motto: Löschen geht schnell. Nachdenken dauert etwas länger.

Ok, ich geb's auf.--Gunther 03:13, 23. Jul 2005 (CEST)

Die falsche Aussage: "Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden." sollte aus der Einleitung dieses Artikels gelöscht werden. Begründung: Die Eigenschaften der Primzahlen setzen die DEFINITION der Primzahlen voraus. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Glas läßt Licht durch, Luft auch. Von den Eigenschaften des Glases zu denen der Luft zu schließen, ist ein weiter und beschwerlicher Weg. Flachdenker sagen: Läßt Licht durch, also ein klarer Beweis für die Definition: Wenn etwas Licht durchläßt, dann ist es X. Tiefdenker hingegen sagen: Wenn etwas Licht durchläßt, dann müssen wir fragen: Welche Materialien können überhaupt Licht durchlassen ? Das bezeichnet den Unterschied zwischen den Flachdenkern und den Tiefdenkern. PPS: Was andere dazu (in Englisch) sagen: http://www.bham.ac.uk/ctimath/talum/austin/geometry/exploring/exploring.html PPS2: Von einem logischen Gesichtspunkt aus betrachtet: http://hem.fyristorg.com/ojarnef/fund/modal-logic-memo.txt

So ganz unberechtigt ist meiner Meinung nach der Einwand von ROHA nicht. Wenn man die Primzahlen wie von Gunther vorgeschlagen definiert, nämlich als "Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie zu der eindeutig bestimmten Teilmenge $P\subseteq \mathbb {N}$ gehört, für die gilt, dass sich jede natürliche Zahl auf i.w. eindeutige Weise als Produkt von Elementen von $P$ schreiben lässt", so muss man zuerst zeigen, dass die Menge $P$ wohldefiniert ist, also existiert und eindeutig ist. Während die Eindeutigkeit einer solchen Menge $P$ einfach zu zeigen ist, ist das mit der Existenz ein wenig komplizierter. Die mir bekannte Existenzbeweise setzen das Lemma von Euklid voraus; man müsste dann also wirklich die Primzahlen schon irgendwie definiert haben, bevor man sie definieren kann. Kennt wer einen Beweis für die Existenz einer solchen Menge $P$, der ohne Lemma von Euklid auskommt? --NeoUrfahraner 10:07, 28. Jul 2005 (CEST)

Dass die Wohldefiniertheit nicht einfach zu zeigen ist, ändert nichts daran, dass es sich um eine gültige Definition handelt.--Gunther 10:20, 28. Jul 2005 (CEST)

Kann man die Wohldefiniertheit überhaupt zeigen, ohne das zu Definerende breits zirkulär voher definiert zu haben? --NeoUrfahraner 10:55, 28. Jul 2005 (CEST)

Definition: PrimzahlA = zwei Teiler, PrimzahlB = Element der Menge P. Verwende PrimzahlA, um zu zeigen, dass PrimzahlB wohldefiniert ist. Ob man jetzt PrimzahlA oder PrimzahlB als Definition von Primzahl verwendet, ist egal.--Gunther 10:58, 28. Jul 2005 (CEST)

PrimzahlA und PrimzahlB sind aber nicht wirklich gleichwertig. PrimzahlA kann man problemlos alleine defnieren, während man für die Definition von PrimzahlB als Voraussetzung PrimzahlA braucht. Man kann natürlich PrimzahlA "PrimzahlA" nennen, damit man es nicht "Primzahl" nennen muss; das ist aber bestenfalls eine Krücke, wirklich befriedigend ist es nicht. Anders wäre es, wenn man Existenz mit einem allgemeineren Satz sichern könnte - aber auch der mir bekannte Beweis, dass ein Euklidscher Ring ein ZPE Ring ist, verwendet eine Art Lemma von Euklid. --NeoUrfahraner 11:17, 28. Jul 2005 (CEST)

Die Definition von PrimzahlB braucht PrimzahlA nicht. Wenn es Dir sympathischer ist, kannst Du PrimzahlB auch als ein Element des Schnittes aller multiplikativen Erzeugendensysteme von $\mathbb {N}$ definieren, dann gibt es keine Probleme mit der Wohldefiniertheit. Um die Äquivalenz der Definitionen zu zeigen, braucht man natürlich beide Definitionen, das ist logisch unvermeidlich.--Gunther 11:26, 28. Jul 2005 (CEST)

Der "Schnitt aller multiplikativen Erzeugendensysteme" ist zwar wohldefiniert, aber wie kommt man damit jetzt zum Fundamentalsatz der Arithmetik? --NeoUrfahraner 12:29, 28. Jul 2005 (CEST)

Der Fundamentalsatz besagt gerade, dass diese Definition äquivalent ist zur 2-Teiler-Definition. Es ist absolut üblich, Begriffe zu definieren per "wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist", und die verschiedenen Implikationen sind nicht immer leicht zu zeigen. Logisch ist das vollkommen einwandfrei.--Gunther 12:38, 28. Jul 2005 (CEST)

Nochmal systematisch:

• PrimzahlA: 2 Teiler
• PrimzahlB: eindeutig bestimmte Menge P
• PrimzahlC: Schnitt aller Erzeugendensysteme

Es ist klar, dass aus dem Fundamentalsatz die Äquivalenz dieser Definitionen (und die Wohldefiniertheit von PrimzahlB) folgt. Wo ist also das Problem?--Gunther 12:42, 28. Jul 2005 (CEST)

Wenn der Fundamentalsatz völlig unabhängig von der gewählten Definition ist, ist es auch kein Problem. Wenn aber der Beweis des Fundamentalsatzes die Definition von PrimzahlA (auch wenn man es irgendwie anders nennt) voraussetzt (und das tut der mir bekannte Beweis) dann ist die Äquivalenz dieser Definitionen lediglich ein "fauler Trick". --NeoUrfahraner 13:32, 28. Jul 2005 (CEST)

Beweise setzen keine Definitionen voraus, Definitionen sind nur Namen. Der Fundamentalsatz, den ich meine, sagt: Man kann jede natürliche Zahl auf eindeutige Weise als Produkt von Zahlen schreiben, die genau zwei Teiler haben. Wenn Du das einen faulen Trick nennen willst, kann ich Dich nicht davon abhalten.--Gunther 13:45, 28. Jul 2005 (CEST)

Der "faule Trick" ist, dass bei diesem Zugang krampfhaft versucht werden muss, das Wort "Primzahl" zu vermeiden und es daher irgendwie umschrieben werden muss, weil es ja erst später definiert werden darf. Der Beweis für diese Formulierung des Fundamentalsatzes liest sich sicherlich sehr lustig (Er hat Jehova/Primzahl gesagt ...) --NeoUrfahraner 14:33, 28. Jul 2005 (CEST)

Man kann auch "irreduzibles Element" sagen :-) An der Sache ändert das aber nichts.--Gunther 14:46, 28. Jul 2005 (CEST)

"Beweise setzen keine Definitionen voraus, Definitionen sind nur Namen." Das scheint eine ganz neue Erkenntnis zu sein, zu der ich keinen vernünftigen Zugang finde. Ganz im Stillen sage ich zu mir selbst: Bedarf nicht sogar der Begriff des "Beweises" selbst einer Definition, d.h. einer Vereinbarung "zum Gebrauch der natürlichen Sprache", um von allen im gleichen Sinne verstanden und gebraucht zu werden? Wenn ich jemanden frage: Was ist ein Beweis?, dann muß dieser jemand ERKLÄREN können, was er unter dem Begriff "Beweis" versteht. Sobald er mit seiner Erklärung beginnt, benutzt er die natürliche Sprache und bewegt sich zwangsläufig zurück auf das, was gemeinhin unter einer DEFINITION verstanden wird: Eine sprachlich sinnvolle Aussage, die jeder Leser versteht und aus pragmatischen Gründen akzeptiert, um daraus weitere sinnvolle und nützliche Aussagen in einer natürlichen Sprache zu gewinnen. Wie hätte denn jemand den Primzahlsatz beweisen können, ohne den Begriff der "Primzahl" zu verwenden, also dessen Definition vorauszusetzen? Wie könnte denn überhaupt jemand in irgendeiner Wissenschaft Schlußfolgerungen ziehen, ohne auf etwas Vorhandenes zurückzugreifen? Alle Wissenschaft und jede Wissenschaft bedarf der Definitionen als Grundlage und Ausgangspunkt -- am meisten die Mathematik. Eine korrekte Aussage in diesem Zusammenhang lautet: Definitionen sind nur Namen, aber ohne diese Namen sind Beweise nicht möglich. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: "Der "faule Trick" ist,..." schrieb NeoUrfahraner -- Das ist kein "fauler Trick", sondern einfach Denkfaulheit als Nachdenken verkleidet. Der Trick ist, etwas Unhaltbares zu behaupten und es gleichzeitig als Selbstverständlichkeit darzustellen. Wobei die "Selbstverständlichkeit" nur im Kopf des Schreibers besteht, der hofft, daß die Leser seinem Kopfinhalt folgen mögen, aber die Mehrzahl der Leser wird dies sicherlich nicht tun. Denn die Mehrzahl der Leser hat ihren eigenen Kopfinhalt, welchen ich als "gesunden Menschenverstand" bezeichne. Dieser besagt: Wenn ich nicht weiß, was 0 und 1 (nichts und etwas) bedeuten, dann kann ich keinen Begriff der natürlichen Zahlen gewinnen. Vergleichbar verhält es sich mit jeder Wissenschaft. PPS: "Man kann jede natürliche Zahl auf eindeutige Weise als Produkt von Zahlen schreiben, die genau zwei [natürliche -- von ROHA eingefügt] Teiler haben." -- Wer so etwas behauptet, der wir wohl in der Lage sein, die natürlichen Zahlen 0 und 1 in dieser Weise aufzuschreiben. Hierzu sind nicht einmal die Primzahlen erforderlich oder gar definiert.

Struktur und Gestzmäßigkeit

Der Beitrag von "Struktur und Gestzmäßigkeit" von 84.152.212.236 beruht auf jahrelanger Arbeit und ist durch mehrer Computerprogramme verifiziert. Der Autor Dishayloo K soll doch bitte die Sache nachrechnen, ehe er den Beitrag unbesehen rauswirft. Er kann sich auch gern mit mir in Verbindung setzen. (d-oertel@web.de)

Was hat er denn hinausgeworfen? --NeoUrfahraner 11:09, 19. Aug 2005 (CEST)

Rausgeworfen wurde innerhalb von Minuten heute zum zweiten Mal ein ca. 9 seitiger Beitrag, der sicher nicht gelesen, geschweige denn überarbeitet worden ist. In diesem Beitrag wird aufgezeigt, daß bei der schrittweisen Betrachtung der existierenden Primzahlen durchaus Strukturen und Gesetze zu beobachten sind, die auch mit einfachen Formeln oder mit entsprechendem Aufwand beschrieben werden können. Der Aufwand, der hier getrieben wurde, hängt damit zusammen, daß mir aus der Mathematik die beschreibenden Notationen und 'Rechenregeln' nicht bekannt sind. Ich selber bin Ingenieur und habe mir auf der Basis der angewandten Mathematik und der Programmierung die Kenntnisse bezüglich der Inhaltes erarbeitet und bereits seit Jahren in Benutzung und ausprobiert. Wenn mir also jemand mit der exakten und sauberen Schreibweise unter die Arme greift, so bin ich da nur dankbar. Und da ich gerne aus der Anonymität heraustreten möchte und entsprechende An- und Nachfragen auch beantworten werde: Mein Name ist Dietmar Oertel, d-oertel@web.de

Hallo Dietmar, der Artikel "Primzahl" ist inzwischen recht gross. Einen 9-seitiger Beitrag würde ich daher (zunächst einmal) in einen eigenen Artikel auslagern und dorthin verweisen. Dort kann man immer noch diskutieren. Wie wärs mit Primzahl (Struktur) ? -- tsor 15:29, 19. Aug 2005 (CEST)

PS: aus der Anonymität heraustreten kannst Du ganz einfach, wenn Du Dich anmeldest. Dann ist man zwar immer noch anonym (wenn man nichts über sich verrät), aber man ist auf seiner Diskussionsseite ansprechbar. -- tsor 15:32, 19. Aug 2005 (CEST)

Ich habe das eben gemacht. Nach Primzahl (Struktur) ausgelagert! --Arbol01 15:41, 19. Aug 2005 (CEST)

Ich habe den Kram doch dringelassen, nur die Namensangabe enternt. Da die meisten Artikel viele Autoren haben würden die Artikel vor Namensangaben überquellen. Die Autorenschaft ist aus der Versionsgeschichte ersichtlich. Deshalb habe ich den Namen entfernt. Der Text selber wurde nicht entfernt, das hat Arbol jetzt erst in den Artikel Primzahl (Struktur) ausgelagert. -- Dishayloo [ +] 16:30, 19. Aug 2005 (CEST)

Stimmt! Mich stört, wie auch Tsor, das der ganze neu dazu gekommene Text den Artikel kaputt macht. Abgesehen davon ist er unverständlich, und wahrscheinlich Theoriefindung (gehört demnach gar nicht in einen Artikel). Von Oma-Tauglich will ich gar nicht reden. --Arbol01 16:35, 19. Aug 2005 (CEST)

Siehe Wikipedia:Was_Wikipedia nicht ist und en:Wikipedia:No original research. Dieser Artikel gehört definitiv nicht in die Wikipedia. --Zumbo 18:16, 19. Aug 2005 (CEST)

Vielleicht ist ein bisschen was aus Dietmars Ausführungen zum Auffüttern des Artikels Primzahllücke geeignet? Auf jeden Fall ist die Originalversion viel zu episch für die Wikipedia.--JFKCom 19:34, 19. Aug 2005 (CEST)

Primzahlformeln: "überdurchschnittlich viele"

Die Formulierung "überdurchschnittlich viele Primzahlen" in bezug auf $n^{2}-n+41$ ist unklar und damit wenig sinnvoll.--Gunther 23:39, 20. Aug 2005 (CEST)

Ich kann mich aber dunkel an die Studienzeit erinnern, dass dass irgendwie stimmt. Ich denke, es war was damit, dass die Primzahldichte in der Folge (n^2-n+41)_n-in-N höher als in N selbst war, und zwar auch für große n.--JFKCom 01:04, 21. Aug 2005 (CEST)

Wenn ich das in eine Formel umsetzen wollte, wäre das:

$\limsup _{N\to \infty }{\frac {\#\{n\leq N\mid n^{2}-n+41\ \mathrm {prim} \}}{N}}>0$

Ist das korrekt? Wenn ja, kann man das $>0$ genauer fassen? Oder ist etwas anderes gemeint?--Gunther 01:25, 21. Aug 2005 (CEST)

Verteilung der Primzahlen

Warum heißt es eigentlich Verteilung der Primzahlen, wenn die Funktion PI(X)=

Doch nichts anderes als die Anzahl der Primzahlen innerhalb eines Abschnittes der Natürlichen Zahlen angibt.

Unter Verteilung verstehe ich nun wirklich die Anordnung bzw. Struktur der Primzahlenverteilung auf der Zahlengeraden der Natürlichen Zahlen. Und da wären wir wieder bei der Struktur.;-)--Löschfix 19:50:12, 23. Aug 2005 (CEST)

Naja, es ist eine statistische Verteilung. Dabei ist weniger interessant, wo die Primzahlen im einzelnen liegen, sondern vielmehr, wie groß die Dichte der Primzahlen ist. Mit der Anordnung bzw. Struktur beschäftigen sich mehr die Primzahlzwillinge, tripel, quadrupel und so weiter. Ausserdem ist die Struktur interessant für die Primzahllücken. --Arbol01 20:01, 23. Aug 2005 (CEST)

In der Funktion $\pi (x)$ steckt die gesamte Information über die Verteilung der Primzahlen: Die Sprungstellen sind die Primzahlen, die Bereiche, in denen $\pi$ konstant ist, sind Lücken.--Gunther 11:36, 24. Aug 2005 (CEST)

Frei kommutatives Monoid

Die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung bedeutet auch, dass das Monoid $(\mathbb {N} ,{\cdot },1)$ frei kommutativ über der Menge der Primzahlen ist. Soll man das in den Text einbauen oder ist das zu verwirrend? Passt es evtl. in den Abschnitt Verallgemeinerungen? --NeoUrfahraner

Ich denke, das lohnt nicht. Man könnte das vielleicht in der Form erwähnen, dass multiplikative Fragen zu natürlichen Zahlen äquivalent sind zu additiven Fragen zu Folgen nichtnegativer ganzer Zahlen, die nur endlich viele von null verschiedene Glieder haben.--Gunther 11:39, 24. Aug 2005 (CEST)

Hallo Gunther, zu diesem Thema habt ihr euch schonmal Gedanken gemacht: Man suche auf dieser Seite nach "13:53, 26. Jun 2005 (CEST)" ;) --SirJective 13:55, 24. Aug 2005 (CEST)

Ah ja, danke. Ich konnte mich gerade nur noch an die "Verständnisfragen"-Diskussion zu fast diesem Thema erinnern... --Gunther 14:50, 24. Aug 2005 (CEST)

Struktur und Analyse Primzahl

Nachdem hier vor kurzem schon mal eine "Analyse" der Primzahlen stattgefunden hat, möchte ich das jetzt auch tun. Mit dem Unterschied, das ich das erstens nicht in den Artikel schreibe, und zweitens mein Ansatzpunkt völlig anders ist!

Eine Primzahl $p\$ ist ein Zahl, für die zu jeder Zahl $a\$ mit $1\leq a\leq (n-1)\$ der kleine Fermatsche Satz $a^{n-1}\equiv 1\mod n$ gilt.

Statt nun in Ehrfurcht vor dem ganzen Konstrukt zu erstarren, nehmen wir jedes individuelle $a\$ auseinander. Dabei gehen wir von aussen nach innen vor.

Für jede natürliche Zahl n >= 1 gilt $n^{n-1}\equiv 0\mod n$.

Für jede natürliche Zahl n >= 2 gilt $1^{n-1}\equiv 1\mod n$.

Für jede ungerade Zahl n >= 3 gilt $(n-1)^{n-1}\equiv 1\mod n$.

Dieses äussere Gerüst gilt also für alle ungeraden Zahlen, und damit auch für alle Primzahlen >= 3, alle Carmichael-Zahlen und alle ungeraden fermatschen Pseudoprimzahlen > 3.

Nun muß noch die Lücke gefüllt werden.

Für jede Carmichel-Zahl c gilt das sie pseudoprim zu jeder, zu c teilerfremden Primzahl ist.Eine Carmichael-Zahl, zu der jede Primzahl teilerfremd ist, ist eine Primzahl (Wir tun mal so, als handele es sich bei den Primzahlen um Carmichael-Zahlen).

Wenn die Carmichaelzahl c pseudoprim zur einer Basis a (mit a < c) ist, dann ist c auch pseudoprim zur Basis (c-a).

Testen wir an der Zahl 11, ob es Lücken gibt: 1, 10 und 11 sind definiert. Für 2, 3, 5 und 7 ist die Zahl 11 pseudoprim. Daraus folgt, das 11 auch zu 4, 6, 8 und 9 pseudoprim ist. Es gibt keine Lücke, also ist 11 eine Primzahl.

Reicht das? Probieren wir die Zahl 13: 1, 12 und 13 sind definiert. Für 2, 3, 5, 7 und 11 ist die Zahl 13 pseudoprim. Daraus folgt, das 13 auch zu 6, 8 und 10 pseudoprim ist (2 und 11 korrespondieren miteinander). Fehlen noch 4 und 9.

Unter bestimmten Bedingungen (ich weiß noch nicht welche) ist c pseudoprim zu einer Basis der Form $a=p^{n}\$, also einer Primzahlpotenz.

Das erklärt natürlich noch nicht, warum, bei fermatschen Pseudoprimzahlen q, für einige zu q teilerfremde Primzahlen p gilt $p^{q-1}\equiv 1\mod q$, und für andere zu q teilerfremde Primzahlen nicht. --Arbol01 19:09, 26. Aug 2005 (CEST)

Ähm, vor irgendwelchen Detailfragen: Inwiefern ist das für den Artikel relevant?--Gunther 19:52, 26. Aug 2005 (CEST)

Es ist eine etwas andere Sicht der Primzahl, und es ist eine neue Sicht des kleinen fermatschen Satzes. --Arbol01 20:13, 26. Aug 2005 (CEST)

Das überzeugt mich nicht. Die meisten derartigen Fragen zu Verallgemeinerungen des kleinen Fermat betreffen Probleme, die damit zusammenhängen, dass $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ im allgemeinen nicht zyklisch ist, vgl. prime Restklassengruppe. Mit dem Begriff der Primzahl hat das nur noch wenig zu tun.--Gunther 13:48, 29. Aug 2005 (CEST)

Weder will ich das irgendwo einbauen, noch jemanden überzeugen. Primzahlen sind, auf ihre Weise auch nur Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen. Ich führe hier nochmal das Beispiel an, das ich in Wikibooks angeführt habe: Die Pseudoprimzahl 65:

65 ist pseudoprim zu den Primzahlen 31, 47 und 53 (soviel wird vorgegeben)

Wenn 65 zu 31, 47 und 53 pseudoprim ist, dann ist 65 auch zu $31^{n}\mod 65$, $47^{n}\mod 65$ und $53^{n}\mod 65$ pseudoprim.

Ausserdem ist 65 zu $(65-53)\mod 65$, $(65-47)\mod 65$ und $(65-31)\mod 65$ pseudoprim, und zu $(65-53)^{n}\mod 65$, $(65-47)^{n}\mod 65$ und $(65-31)^{n}\mod 65$ pseudoprim.

Man kann 65 ist pseudoprim zu den Primzahlen 31, 47 und 53 so etwas wie einen Fingerabdruck nennen. Ebenso, wie jede Primzahl einzigartig ist, ist auch jede fermatsche Pseudoprimzahl einzigartig. Man könnte sagen das 29 den Fingerabdruck (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23) besitzt. --Arbol01 14:14, 29. Aug 2005 (CEST)

Wenn Du es nicht einbauen willst, verstehe ich nicht ganz, warum Du es hier hinschreibst. Inhaltlich verstehe ich nicht, was an Primzahlen $<65$ anders sein soll als an Primzahlen $>65$. Lässt man diese Einschränkung fallen, ist aber jeder teilerfremde Rest der Rest einer Primzahl (dirichletscher Primzahlsatz). In $\mathbb {Z} /q\mathbb {Z}$ haben die Bilder von Primzahlen $<q$ auch keine mir bekannten speziellen Eigenschaften. Im zitierten Absatz kannst Du übrigens Zahlen der Form $\pm 31^{a}\cdot 47^{b}\cdot 53^{c}$ betrachten, die zulässigen Basen bilden eine Untergruppe von $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ (nämlich den Kern der Abbildung $x\mapsto x^{q-1}$).--Gunther 14:30, 29. Aug 2005 (CEST)

Grummel! Erstens: Ich will ein bisschen diskutieren. Zweitens, Primzahlen <65 unterscheiden sich in keinster Weise von Primzahlen > 65. So etwas habe ich auch nie behauptet. --Arbol01 14:39, 29. Aug 2005 (CEST)

Wenn ich das, was ich auf 65, mit den Primzahlen 31, 47 ud 53 mache, auf die Primzahl 11 mit den Primzahlen 2, 3 ,5 und 7 anwende:

Wenn 11 zu 2, 3, 5 und 7 pseudoprim ist, dann ist 11 auch zu $2^{n}\mod 11$, $3^{n}\mod 11$, $5^{n}\mod 11$ und $7^{n}\mod 11$ pseudoprim.

Ausserdem ist 11 zu $(11-7)\mod 11$, $(11-5)\mod 11$, $(11-3)\mod 11$ und $(11-2)\mod 11$ pseudoprim, und zu $(11-7)^{n}\mod 11$, $(11-5)^{n}\mod 11$, $(11-3)^{n}\mod 11$ und $(11-2)^{n}\mod 11$ pseudoprim.

Deinem Absatz bildet $\pm 2^{a}\cdot 3^{b}\cdot 5^{c}\cdot 7^{d}$ eine Untergruppe von $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ (nämlich den Kern der Abbildung $x\mapsto x^{q-1}$)

Der einzige Unterschied zu einer Pseudoprimzahl ist, das zulässigen Basen lückenlos zwischen 1 und n (bzw. 1 und n-1 liegen), während bei den Pseudoprimzahlen lücken vorhanden sind. --Arbol01 14:58, 29. Aug 2005 (CEST)

Ich verstehe nicht, wieso Du nur 31, 47, 53 und nicht z.B. auch 73, 79, 83, 103, 109, 151, 157, 181, 229 mit den Resten 8, 14, 18, 38, 44, 21, 27, 51, 34 betrachtest. Allerdings ist auch 47 eigentlich überflüssig, denn jede zulässige Basis ist bereits kongruent zu $31^{a}\cdot 53^{b}$ mit geeigneten $a,b$ (z.B. $47\equiv 31^{3}\cdot 53^{3}\mod 65$). Ich verstehe nicht, warum Du Dich überhaupt auf Primzahlen als Basen einschränkst.--Gunther 15:06, 29. Aug 2005 (CEST)

Das Programm, welches ich geschrieben habe, und welches Primzahlen, fermatsche Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen voneinnader unterscheidet, macht dies alleine auf der Basis von Primzahlen, die Kleiner sind, als die zu testende Zahl. Die Liste bzw. Listen, die sich auf www.wikisource.org befinden, beruhen einzig auf diesem Programm, und Variationen davon. Die Primzahlen größer 65 kann ich genauso aus 31, 47 und 53 herleiten. Für 83 zum Beispiel gilt 83 mod 65 = 18, und 18 ist eine Zahl, zu der 65 Pseudoprim ist.

Hier die Quintessenz (die ich vielleicht auch in einem der wiki... veröffentlichen würde):

Zu jeder Pseudoprimzahl q gibt es mindestens eine Primzahl p<q, zu der die Zahl q pseudoprim ist. Die Menge aller Primzahlen mit p<q, zu denen eine Pseudoprimzahl q pseudoprim ist, ist für jede Pseudoprimzahl individuell, und kann mit einem Fingerabdruck verglichen werden. Aus diesen Primzahlen können alle anderen gültigen Zahlen, zu denen eine Pseudoprimzahl q pseudoprim ist, abgeleitet werden.

Eine Pseudoprimzahl q, für die gilt, das sie zu jeder Primzahl p<q pseudoprim ist, nennt man eine Primzahl. Aus der Menge der Primzahlen die pseudoprim zu q sind, lässt sich zeigen, das alle natürlichen Zahlen != q Zahlen sind, zu denen q pseudoprim ist.

Puh, das hört sich scheußlich an. --Arbol01 16:07, 29. Aug 2005 (CEST)

Gegenbeispiel: Zu $q=39$ gibt es keine Primzahl $p<q$, so dass q pseudoprim zur Basis p wäre; q ist jedoch pseudoprim zu den Basen 14 und 25 (und nur zu diesen). 39 fehlt auch in den zitierten Listen.--Gunther 16:29, 29. Aug 2005 (CEST)

Mist! Dann kann ich erstens alles über den Haufen werfen, und zweitens meine Listen nachkorrigieren. --Arbol01 16:35, 29. Aug 2005 (CEST)

BTW: Der Todesstoß wäre jetzt noch, wenn 39 zu 14 und 25 (zumindest das stimmt (14+25=39)), nicht nur fermat pseudoprim wäre, sondern sogar euler pseudoprim. --Arbol01 16:39, 29. Aug 2005 (CEST)

Immer wenn man meint, man hätte eine Regelmäßigkeit bei den fermatschen Pseudoprimzahlen entdeckt, dann kommt eine Pseudoprimzahl an, und sagt "Ätsch, für mich gilt das nicht!" --Arbol01 16:48, 29. Aug 2005 (CEST)

Bevor Du Dir die Mühe machst, selbst das entsprechende Programm zu schreiben: Das kleinste Gegenbeispiel für eulersche Pseudoprimzahlen scheint 125 mit den Basen 57 und 68 zu sein. Nimm's nicht zu hart :-) Aber nach Deiner letzten Aussage dürftest Du ja auch nicht mehr überrascht sein ;-) --Gunther 16:55, 29. Aug 2005 (CEST)

Auf 14 und 25 weist auch hin, das $14^{2}\mod 39=1$ ist, und $25^{2}\mod 39=1$ ist, und für keine andere zahl n < 39 gilt $n^{2}\mod 39=1$. Auf diesem weg habe ich aber noch ein paar Hindernisse auszuräumen. --Arbol01 17:56, 29. Aug 2005 (CEST)

Zur Definition von "Primzahl"

Unter Mathematikern greift [= gilt] folgende Konvention: "Genau zwei" = "nicht weniger und nicht mehr als zwei", also eindeutig definiert. "Mit genau zwei verschiedenen natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich selbst" sagt nicht mehr aus als "mit genau zwei natürlichen Teilern". Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Was ist damit gewonnen? --NeoUrfahraner 07:07, 14. Sep 2005 (CEST)

Das ist doch schon lange ausdiskutiert und wurde auch von Dir gut geheißen. Lass doch die Einleitung mal in Ruhe. --DaTroll 09:00, 14. Sep 2005 (CEST)

"und wurde auch von Dir gut geheißen" -- an welcher Stelle habe ich dies "gut geheißen"? Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Im Abschnitt Komprimissvorschlag, 2. Versuch. --DaTroll 10:15, 14. Sep 2005 (CEST)

"verschieden" sowie "nämlich 1 und sich selbst" sind nicht Teil der Kompromissformulierung, sondern nachträgliche Einfügungen einer IP, die ich nicht revertet habe, weil ich keine Lust hatte, das alle Woche wieder zu machen, weil es ja doch wieder jemand reinschreibt. Falsch ist es nicht, und da offenbar einige Leser die ursprüngliche Formulierung als zu knapp empfinden, warum nicht. Wer sich daran stört, darf die regelmäßige Entfernung gerne übernehmen :-) --Gunther 12:40, 14. Sep 2005 (CEST)

Ups, dabei hatte ich sogar extra nochmal die Kompromissformulierung im entsprechenden Abschnitt nachgelesen, da sass mir wohl Freud ueber der Schulter, Entschuldigung. --DaTroll 12:43, 14. Sep 2005 (CEST)

Habe abermals die Einleitung auf das Wesentliche reduziert. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ist ja ein lustiges Spielchen, die Einleitung im Wochentakt umzuformulieren ... -- tsor 05:12, 21. Sep 2005 (CEST)

Ich betrachte und halte die Wikipedia als eine ernsthafte Sache. Bin aber für jedes "lustige Spielchen" bereit. Bisher habe ich ein solches "Spielchen" in meiner betreffenden Beiträge noch nicht finden können, betrachte tsors Beitrag also als nicht mehr und nicht weniger als: Einen Anreiz zu einem ganz neuen Spiel. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Primzahlen in anderen Zahlensystemen

Wie kann man Primzahlen in anderen Zahlensystemen insbesondere im binären Zahlensystem finden ? Benutzer:rho

Genau wie in jedem anderen Zahlensystem auch, die Zahldarstellung spielt für das Sieb des Eratosthenes keine Rolle.--Gunther 21:48, 18. Sep 2005 (CEST)

Seitensperrung

Ich habe die Seite jetzt erstmal gesperrt, um einer Fortführung des Edit-Wars entgegenzuwirken. Außerdem habe ich sie vorher auf die Version von Tsor/die Ausgangsversion zurückgesetzt, da in dieser die richtige Definition einer Primzahl dargestellt wird. Ansonsten wäre 1 auch eine Primzahl (2 Teiler, die nicht verschieden sein müssen: 1 und 1). --rdb? 13:02, 2. Okt 2005 (CEST)

Auch die andere Fassung ist mathematisch korrekt (1 und 1 sind nicht zwei Teiler, sondern einer). Die "Langfassung" ist aus mathematischer Sicht unnötig lang und enthält Redundanzen; die Hoffnung ist jedoch, dass sie für Laien klarer ist.--Gunther 13:12, 2. Okt 2005 (CEST)

Ack. Langfassung im Sinne des Oma-Tests. -- tsor 13:24, 2. Okt 2005 (CEST)

Weil die kürzere Fassung missverstanden werden kann, bevorzuge ich mittlerweile auch die längere Variante.--MKI 13:29, 2. Okt 2005 (CEST)

"Weil die kürzere Fassung missverstanden werden kann, bevorzuge ich mittlerweile auch die längere Variante." -- sagte MKI. -- Was für eine erbärmliche Lüge. MKI gibt nur vor diese Variante zu bevorzugen, weil: 1. Er nicht viel Ahnung von der Mathematik hat; oder 2. Er mir eins auswischen will. Ersteres wäre verzeilich, letzteres verwerflich. (Ich schätze Ihn ein als den ersteren Typ.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Wenn MKI keine Ahnung hat von Mathematik wie du meinst und er sagt er würde die Langfassung besser verstehen, dann ist das doch ein eindeutiges Argument für die Langfassung, oder? Der Artikel soll ja auch von nicht-Mathematikern verstanden werden können... --rdb? 14:20, 2. Okt 2005 (CEST)

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Seid Ihr nur so dämlich, wie ihr mir erscheint, oder seid Ihr noch dümmer ? Wie kann denn einer von Euch einem anderen von Euch erlauben, einen Wikipedia-Artikel zu dem Artikel "Primzahl" zu sperren ? Ist der Sperrer noch ganz bei Trost ? (Habt Ihr auch Euer Gehalt verdient, indem Ihr der "neuen Rechtschreibung" Euern Kotau absolviert habt ? Na ja, ich werde Euch trotzdem die Eier aus dem Schädel kicken.) (Von den Primzahlen gar nicht zu reden...) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Gunther: Sorry, mein Fehler...

Ansonsten: Ebenfalls für die Langfassung, siehe WP:OMA --rdb? 13:57, 2. Okt 2005 (CEST)

Für obige Grobheiten gehört ROHA eigentlich gesperrt. --Philipendula 14:06, 2. Okt 2005 (CEST)

Bestätigst Du mit dieser Aussage nicht genau meine Vermutung ? (Erst sperren, dann -- vielleicht -- nachdenken.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Menschen, die die Welt nicht braucht. --Philipendula 14:35, 2. Okt 2005 (CEST)

keine statische IP;) Macht nichts, nicht soo schlimm... --rdb? 14:09, 2. Okt 2005 (CEST)