Primzahl

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern. Die Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, … Die fundamentale Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf den folgenden drei Konsequenzen aus dieser Definition:

• Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als eins sind, darstellen.
• Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch sie teilbar.
• Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden.

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Bereits die antiken Griechen interessierten sich für die Primzahlen und entdeckten einige ihrer Eigenschaften. Obwohl sie über die Jahrhunderte stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind bis heute viele die Primzahlen betreffende Fragen ungeklärt.

Über zweitausend Jahre lang wusste man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen zu ziehen. Dies änderte sich erst mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, wo die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.

Die kleinsten Primzahlen

Die kleinsten Primzahlen sind

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, ...

Folge A000040 in OEIS

Die Zahl 4 ist die kleinste zusammengesetzte Zahl: Sie hat genau drei positive Teiler (1, 2, 4). Die Zahl 6 ist die nächstgrößere zusammengesetzte Zahl; sie besitzt vier positive Teiler (1, 2, 3, 6). Die Liste der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ...

Folge A002808 in OEIS

Praktische Anwendung

Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der Kryptographie: Viele Verschlüsselungssysteme, beispielsweise RSA, basieren darauf, dass man zwar sehr schnell große Primzahlen multiplizieren kann, andererseits aber kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt ist und allem Anschein nach auch nicht existiert. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 1000-stelligen Produkt dagegen Millionen von Jahren benötigen.

Primfaktorzerlegung

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (siehe Primfaktorzerlegung). Die in dieser Darstellung auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl. Die Schwierigkeiten bei der Primfaktorzerlegung bezeichnet man als Faktorisierungsprobleme. Man versucht sie mit geeigneten Faktorisierungsverfahren zu minimieren.

Aufgrund dieses Satzes, also daß sich jede natürliche Zahl durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen läßt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein. Alexander K. Dewdney bezeichnete diese als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.

Eigenschaften von Primzahlen

Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen p ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form $2k+1$ mit einer natürlichen Zahl $k$.

Primzahlen der Form 4k + 1 bzw. 4k + 3

Jede Primzahl $p>2$ hat die Form $4k+1$ oder $4k+3$ mit einer nichtnegativen ganzen Zahl $k$. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es unendlich viele Primzahlen jeder der beiden Arten.

Jede natürliche Zahl der Form $4m+3$ mit einer nichtnegativen ganzen Zahl $m$ enthält mindestens einen Primfaktor der Form $4k+3.$

Eine Primzahl $p>2$ lässt sich genau dann in der Form $a^{2}+b^{2}$ mit ganzen Zahlen $a,b$ schreiben, wenn $p$ die Form $4k+1$ hat. In diesem Fall ist die Darstellung im wesentlichen eindeutig, d.h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von $a,b$. Diese Darstellung entspricht der Primfaktorzerlegung

$p=(a+b\mathrm {i} )(a-b\mathrm {i} )$

im Ring der ganzen gaußschen Zahlen.

Primzahlen der Form 6k ± 1

Jede Primzahl $p>3$ hat die Form $p=6k\pm 1$ mit einer natürlichen Zahl $k$. Anders ausgedrückt: Es gilt

$p\equiv 1{\pmod {6}}$ oder $p\equiv -1{\pmod {6}}$

(für die Notation siehe Kongruenz (Zahlentheorie)).

Der kleine Satz von Fermat

Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl $a$ mit $0<a<p$ gilt:

$a^{p-1}\equiv 1\mod p$

oder

$a^{p-1}-1\equiv 0\mod p$

Es gibt auch Zahlen, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch, zu einem Teil der Basen a, wie Primzahlen verhalten und somit den kleinen Satz von Fermat erfüllen. Solche Nichtprimzahlen nennt man fermatsche Pseudoprimzahlen. Pseudoprimzahlen, die pseudoprim zu allen Basen a sind, welche nicht Teiler dieser Pseudoprimzahlen sind, nennt man Carmichael-Zahlen.

Besonders in diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik von Pseudoprimzahlen: sie werden von Algorithmen, die den kleinen Satz von Fermat nutzen, um festzustellen ob eine bestimmte Zahl prim ist, fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren Primzahltests verwendet werden, die mit einer sehr hohen Wahrscheinlichkeit Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen unterscheiden können. Diese Wahrscheinlichkeit ist bei Verwendung des kleinen Satzes von Fermat als Basis allein nicht hoch genug, es gibt aber sicherere Primzahltests.

Euler

Eine einfache Folge aus dem kleinen Satz von Fermat ist die folgende Aussage: Für jede ungerade Primzahl p und jede natürliche Zahl a mit $2\leq a<p$ zutrifft, gilt entweder

$a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1\mod p$

oder

$a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\mod p.$

Binomialkoeffizient

Aus dem Satz von Wilson (p ist genau dann eine Primzahl, wenn $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$ ist) folgt, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n die Kongruenz

${{np-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}$

erfüllt ist.

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p > 2 diese Kongruenz gilt:

${{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p > 3 die folgende Kongruenz gilt:

${{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}$

Giuga

Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl p gilt:

$1^{p-1}+2^{p-1}+...+(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$

Beispiel p = 5:

$1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}=1+16+81+256=354=71\cdot 5-1\equiv -1{\pmod {5}}$

Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben müsste. Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht.

Perrin-Folge

Für jede Primzahl p gilt, dass sie das Glied P(p) der Perrin-Folge teilt.

Lucas-Folge

Eine ähnliche Eigenschaft, wie die zur Perrin-Folge, existiert auch zur Lucas-Folge. Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt:

$L_{p}\equiv 1\mod p$

oder einfacher ausgedrückt:

(L_p - 1) läßt sich durch p teilen, wenn p eine Primzahl ist.

p:	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
Lp:	3	4	11	29	199	521	3.571	9.349	64.079	1.149.851	3.010.349	54.018.521

Weiteres

Zwei natürliche Zahlen, deren Summe eine Primzahl ergeben, sind immer teilerfremd. Insbesondere ist jede Kombination zweier positiver natürlicher Zahlen, in die sich eine Primzahl additiv zerlegen lässt, teilerfremd.

Verfahren zur Prüfung der Primalität einer Zahl

Wenn man wissen möchte, ob eine Zahl eine Primzahl ist, dann hat man dafür verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung, die als Grundlage meist eine der oben genannten Eigenschaften haben. Das bekannteste und älteste ist wohl das Sieb des Eratosthenes. In der Praxis am häufigsten wird der Miller-Rabin-Test verwendet, der eine extrem schnelle Laufzeit hat, allerdings mit kleiner Wahrscheinlichkeit daneben liegen kann. Für Aufsehen hat in den letzten Jahren der AKS-Primzahltest gesorgt, der beweist, dass es möglich ist, Zahlen in polynomialer Laufzeit zu testen (Primes is in P), allerdings in der Praxis deutlich langsamer ist als der Miller-Rabin-Test. Diese Verfahren und weitere Varianten sind unter Primzahltest genauer beschrieben.

Größte bekannte Primzahl

Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus festgestellt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes: Geht man von der Annahme aus, dass nur endlich viele Primzahlen existieren, so folgt daraus die Existenz einer weiteren Primzahl, was einen logischen Widerspruch zur Annahme darstellt. Folglich ist die Annahme falsch, und es gibt unendlich viele Primzahlen. Heute kennt man eine ganze Reihe von Beweisen für den Satz von Euklid.

Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert, so dass es stets eine größte bekannte Primzahl gab, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit ist es $2^{25.964.951}-1$, eine Zahl mit 7.816.230 (dezimalen) Stellen, gefunden am 18. Februar 2005, nach 50 Tagen Rechenzeit auf einem 2,4 GHz Rechner, von Dr. Martin Nowak im Rahmen des George Woltmans GIMPS-Projekts zur Suche von Mersenne-Primzahlen. Für den ersten Primzahlbeweis einer Zahl mit mehr als 10 Millionen Dezimalstellen hat die Electronic Frontier Foundation einen Preis von 100.000 US-Dollar ausgeschrieben.

Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form $2^{n}-1$, da in diesem Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen diesen oder eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht. Man weiß, dass zwischen der größten und der zweitgrößten bekannten Primzahl (nämlich $2^{24.036.583}-1$) mehr als $10^{7.500.000}$ weitere, unbekannte Primzahlen liegen. Die genaue Identifikation solcher Primzahlen erfreut sich aber eines vergleichsweise geringen Interesses, da sie ungleich aufwändiger ist als beispielsweise das Auffinden einer noch größeren Mersenne-Primzahl.

Verteilung der Primzahlen

Man hat sich natürlich auch Gedanken darüber gemacht, wie viele Primzahlen es in einem begrenzten Bereich von 1 bis beispielsweise 1.000.000 gibt. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert.

Die Funktion für die Verteilung ist $\pi (x)$, wobei die Anzahl der Primzahlen bis zur Grenze x zurückgeliefert wird. Beispiel:

$\pi (10)=4\ ;\ \pi (100)=25\ ;\ \pi (1000)=168$

Verschiedene Mathematiker haben sich nun daran gemacht, Funktionen zu finden, die sich $\pi (x)$ annähern.

Der Primzahlsatz besagt, dass

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$

gilt, d.h. dass der Quotient von linker und rechter Seite für $x\to \infty$ gegen 1 strebt.

Der dirichletsche Primzahlsatz dagegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Es sei $m$ eine natürliche Zahl. Ist $a$ eine ganze Zahl, die zu $m$ nicht teilerfremd ist, so kann die arithmetische Folge

$a,a+m,a+2m,a+3m,\ldots$

höchstens eine Primzahl enthalten, weil alle Folgenglieder durch den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $m$ teilbar sind. Ist $a$ aber teilerfremd zu $m$, so besagt der dirichletsche Primzahlsatz, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Beispielsweise gibt es unendlich viele Primzahlen der Form $4k+1$ und unendlich viele der Form $4k+3$ ($k$ durchläuft jeweils die nichtnegativen natürlichen Zahlen).

Diese Aussage kann noch in der folgenden Form präzisiert werden: Es gilt

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\#\{p\ \mathrm {prim} ,\ p\leq x\ \mathrm {und} \ p\equiv a{\pmod {m}}\}}{\#\{p\ \mathrm {prim} ,\ p\leq x\}}}={\frac {1}{\phi (m)}};$

dabei ist $\phi (m)$ die eulersche φ-Funktion. In diesem Sinne liegen also für ein festes $m$ in den Restklassen $a+m\mathbb {Z}$ mit $\mathrm {ggT} (a,m)=1$ jeweils "gleich viele" Primzahlen.

Siehe auch: Ulam-Spirale

Formeln zur Generierung von Primzahlen

Man kennt keine Formel p(n), die beim Einsetzen von n die n-te Primzahl zurückliefert. Es gibt allerdings Formeln, bei denen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass die erzeugten Zahlen eine Primzahl sein könnten. Nichtsdestotrotz müssen die erzeugten Zahlen auf ihre Eigenschaft als Primzahl getestet werden.

Schon Euler gab die Formeln n²+n+17 und n²-n+41 an, die für 0 < n < 16 bzw. 0 < n < 41 Primzahlen liefern und auch im Folgenden überdurchschnittlich viele. Allgemein gibt es viele solche Formeln an²+bn+c wodurch sich die auffällige Ulam-Spirale erklärt.

Die beliebteste ist die der Mersenne-Zahl $M_{n}=2^{n}-1$ bei der $M_{n}$ eine Primzahl ist.

Auch bekannt ist eine Anwendung des Satzes von Euklid, bei der auf das Primorial eine 1 aufaddiert wird:

$p\#+1=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}+1$

Hierbei werden alle aufeinanderfolgenden Primzahlen von 2 bis $p_{n}=p$ miteinander multipliziert.

Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen

• $n!-1$ ist prim für n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, ... (Folge A002982 in OEIS)
• $n!+1$ ist prim für n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154 ... (Folge A002981 in OEIS)
• $p\#+1$ ist prim für p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, ... (Folge A005234 in OEIS)
• Primzahlen der Form kgV(1,...,n)+1 sind: 2, 3, 7, 13, 61, 421, 2521, 232792561, ... (Folge A049536 in OEIS)
• Primzahlzwillinge
• Primzahlquadruplet
• Primzahlsextuplet
• Mersenne-Primzahlen
• Fermatsche Primzahlen
• Wall-Sun-Sun-Primzahlen
• Wilson-Primzahlen
• Wolstenholme-Primzahlen
• Wieferich-Primzahlen
• Cullen- und Woodall-Zahlen
• Sophie-Germain-Primzahlen
• Cunningham-Ketten
• Illegale Primzahlen
• Mirpzahlen
• Primzahlpalindrome
• Smarandache-Wellin-Primzahlen
• Prothsche Primzahlen
• glückliche Primzahlen
• fröhliche Primzahlen

Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?

Die einfachste Antwort auf die Frage, warum die 1 keine Primzahl ist, zitiert die Definition:

• Eine natürliche Zahl wird dann Primzahl genannt, wenn sie genau zwei natürliche Teiler hat.
  Die Zahl 1 hat nur einen natürlichen Teiler (die 1). Deshalb ist sie per Definition keine Primzahl.

Die folgenden Antworten gehen auf den Zweck dieser Definition ein:

• Damit man eine eindeutige Primfaktorzerlegung bekommt (man hätte sonst beliebig viele 1-Faktoren mit drin).
• Weil 1 eine Einheit ist (siehe den Artikel Primelement).
• Weil man ansonsten bei nahezu allen Aussagen über Primzahlen schreiben müsste: „Für alle Primzahlen mit Ausnahme der 1 gilt...“. Beispielsweise in der Theorie der endlichen Körper.

Ein mathematisches System ist letztendlich willkürlich aus einer unendlichen Anzahl von möglichen Systemen ausgewählt. Seine Relevanz erhält es dadurch, ob es nicht-triviale Eigenschaften hat. Man erzeugt zwei verschiedene Systeme, wobei im ersten 1 eine Primzahl ist, und im zweiten nicht, und stellt dabei fest, dass das erste System sehr langweilig ist, und das zweite (in dem die 1 keine Primzahl ist) so interessant ist, dass es heute einen der wichtigsten Grundbausteine der globalen Wirtschaft bildet (siehe RSA). Man könnte nun natürlich auch ein System definieren, in dem die 2 keine Primzahl ist (oder die 3 oder die 5 ...), doch solange man das herkömmliche System noch nicht völlig verstanden hat, sind diese Systeme nur für Mathematiker interessant.

Siehe hierzu auch: Wikibooks: Warum 1 keine Primzahl ist

Primzahllücken

Die Differenz p₂ - p₁ zwischen benachbarten Primzahlen p₁ < p₂ wird Primzahllücke genannt. Paare von Primzahlen mit dem minimalen Abstand 2 heißen Primzahlzwillinge, zum Beispiel 5 und 7 oder 11 und 13.

Allgemein schwankt die Anzahl der zusammengesetzten Zahlen zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Primzahlen. Siehe Primzahllücke

Verallgemeinerung

In der Ringtheorie wird das Konzept der Primzahl auf die Elemente eines beliebigen kommutativen unitären Rings verallgemeinert. Die entsprechenden Begriffe sind Primelement und irreduzibles Element.

Die Primzahlen und deren Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen. In faktoriellen Ringen, das sind Ringe mit eindeutiger Primfaktorisierung, fallen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element zusammen; im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente.

Insbesondere im zahlentheoretisch bedeutsamen Fall der Dedekindringe übernehmen Primideale die Rolle der Primzahlen.

Tabellen von Primzahlen

• Primzahlen zwischen 2 und 10.000.000

Literatur

• Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 3. Aufl., Springer Verlag, New York, 1996, ISBN 0-387-94457-5
• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. Verlag C.H.Beck, München, 2004, ISBN 3-406-52320-X
• Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. Springer-Verlag, Berlin 2000. ISBN 3-540-66289-8

Weblinks

• http://www.primzahlen.de
• http://www.primzahlen.org
• The Prime Pages
• Ergänzungen und Irrtümer zu dem Buch "The new Book of Prime Number Records" von Paolo Ribenboim
• Liste von Primzahl-Lücken
• http://wikisource.org/wiki/Maximum_Number_of_Dividers: Zahlen mit extrem vielen Teilern