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In der angewandten Mathematik und in der Variationsrechnung , ist die erste Variation des Funktionals J (y ) definiert als
δ
J
(
y
)
(
h
)
=
d
d
ε
J
(
y
+
ε
h
)
|
ε
=
0
,
{\displaystyle \delta J(y)(h)=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0},}
wobei
J
(
y
)
:
X
→
R
{\displaystyle J(y):X\rightarrow \mathbb {R} }
y
,
h
∈
X
{\displaystyle y,h\in X}
Funktionenraum
X
{\displaystyle X}
ε ein Skalar ist (gesprochen: die erste Variation von J nach y ).
Alternative Definition
Eine alternative Definition, welche auch häufiger in der theoretischen Physik , vor allem aber in der Feldtheorie anzutreffen ist, lautet wie folgt:
Sei
D
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}
Testfunktionen über
Ω
{\displaystyle \Omega }
F
:
M
→
K
wobei
K
=
R
oder
K
=
C
{\displaystyle F\colon M\rightarrow \mathbb {K} \quad {\mbox{wobei}}\quad \mathbb {K} =\mathbb {R} \ {\mbox{oder}}\ \mathbb {K} =\mathbb {C} }
ein lineares Funktional.
Die erste Variation (manchmal auch als Funktionalableitung bezeichnet)
δ
F
/
δ
φ
{\displaystyle {\delta F}/{\delta \varphi }}
Distribution aus
D
′
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}
⟨
δ
F
[
φ
(
x
)
]
δ
φ
(
x
)
,
f
(
x
)
⟩
=
∫
δ
F
[
φ
(
x
)
]
δ
φ
(
x
′
)
f
(
x
′
)
d
x
′
=
lim
ε
→
0
F
[
φ
(
x
)
+
ε
f
(
x
)
]
−
F
[
φ
(
x
)
]
ε
=
d
d
ϵ
F
[
φ
+
ϵ
f
]
|
ϵ
=
0
∀
f
∈
D
(
Ω
)
{\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x)}},f(x)\right\rangle =\int {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x')}}f(x')dx'=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}=\left.{\frac {d}{d\epsilon }}F[\varphi +\epsilon f]\right|_{\epsilon =0}\quad \forall f\in {\mathcal {D}}(\Omega )}
erfüllt.
Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten , wobei durch die Notation
δ
δ
φ
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \varphi (x)}}}
in Richtung einer Testunktion
φ
(
x
)
∈
D
(
Ω
)
{\displaystyle \varphi (x)\in {\mathcal {D}}(\Omega )}
Eigenschaften
Die erste Variation ist eine lineare Abbildung :
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\deltaF“): {\displaystyle \delta(F(y)+\alpha G(y))(h) = \deltaF(y)(h) + \alpha\deltaG(y)(h)\quad\forall\alpha\in\mathcal{K}, \forall F,G\in{\mathcal D}^\prime(\Omega)}
Für ein Produkt aus Funktionalen
F
(
y
)
=
G
(
y
)
H
(
y
)
{\displaystyle F(y)=G(y)H(y)}
δ
F
(
y
)
(
h
)
=
δ
G
(
y
)
(
h
)
H
(
y
)
+
G
(
y
)
δ
H
(
y
)
(
h
)
{\displaystyle \delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y)+G(y)\ \delta H(y)(h)}
Beispiel
Die erste Variation von
J
(
y
)
=
∫
a
b
y
y
′
d
x
.
{\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'dx.}
Nach der Definition oben ist,
δ
J
(
y
)
(
h
)
=
d
d
ε
J
(
y
+
ε
h
)
|
ε
=
0
=
d
d
ε
∫
a
b
(
y
+
ε
h
)
(
y
′
+
ε
h
′
)
d
x
|
ε
=
0
=
d
d
ε
∫
a
b
(
y
y
′
+
y
ε
h
′
+
y
′
ε
h
+
ε
2
h
h
′
)
d
x
|
ε
=
0
=
∫
a
b
d
d
ε
(
y
y
′
+
y
ε
h
′
+
y
′
ε
h
+
ε
2
h
h
′
)
d
x
|
ε
=
0
=
∫
a
b
(
y
h
′
+
y
′
h
+
2
ε
h
h
′
)
d
x
|
ε
=
0
=
∫
a
b
(
y
h
′
+
y
′
h
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta J(y)(h)&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx\end{aligned}}}
Siehe auch
Weblinks
![{\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x)}},f(x)\right\rangle =\int {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x')}}f(x')dx'=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}=\left.{\frac {d}{d\epsilon }}F[\varphi +\epsilon f]\right|_{\epsilon =0}\quad \forall f\in {\mathcal {D}}(\Omega )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b71f523b1dc267f108ad8d80b7829656462749)
