Diskussion:Polynom

Reziproke Polynome

Ich habe das Gefühl, hier wird zu viel in zu kurzer Form abgehandelt. Ein eigener Artikel Reziprokes Polynom scheint mir sinnvoll.--Gunther 11:20, 26. Mai 2005 (CEST)

Darüber habe ich auch schon nachgedacht. Aber ich bin mir nicht sicher, ob es für einen eigenen Artikel reicht. Ralf Pfeifer 11:41, 26. Mai 2005 (CEST)

Habe einen Artikel angelegt und die verschiedenen Varianten mit Minuszeichen klarer getrennt. Ich würde schon denken, dass das ausreichend Stoff ist, selbst wenn man die Varianten nicht in dieser Ausführlichkeit abhandelt. Weitere Kommentare vielleicht am besten dort.--Gunther 13:36, 26. Mai 2005 (CEST)

In dem Artikel Reziprokes Polynom ist ja doch eine ganze Menge zusammengekommen - das hätte ich jetzt nicht gedacht. Hat es eigentlich einen Grund, dass Du die Variable x imer in Großbuchstaben setzt? Ach ja, wer räumt jetzt hier auf? Ralf Pfeifer 15:03, 26. Mai 2005 (CEST)

Das mit der Großschreibung ist ein technischer Punkt: $X$ ist die Unbestimmte des Polynomrings, während $x$ eine Variable ist und für eine konkrete Zahl steht. Ist das Aufräumen so ok? Ist jetzt etwas knapp, aber der wesentliche Punkt und der Link stehen da.--Gunther 20:10, 26. Mai 2005 (CEST)

Ach ja, wichtiger Punkt: Von meiner Seite aus sind die Varianten Theoriefindung. Hattest Du da irgendwelche Quellen?--Gunther 20:20, 26. Mai 2005 (CEST)

Fundamentalsatz

Unter 1.3.1 steht zum Fundamentalsatz: "... dass ein Polynom vom Grad n höchstens n reelle und genau n komplexe Nullstellen hat ..."

Aus dieser Aussage läßt sich der Schluß ableiten, das ein Polynom n-ten Grades bis zu 2n Nullsten haben kann, nämlich mindestens n komplexe plus die reellen, von denen es 0 bis n geben kann. Das scheint mir nicht richtig zu sein. Kann dass mal jemand nachprüfen? Ralf Pfeifer 11:41, 26. Mai 2005 (CEST)

Jede reelle Nullstelle ist auch eine komplexe Nullstelle.--Gunther 11:45, 26. Mai 2005 (CEST)

Schon klar - aber ist die Formulierung so sauber? Ralf Pfeifer 15:04, 26. Mai 2005 (CEST)

Ich fand sie ok. Allerdings hat der erste Teil nichts mit dem Fundamentalsatz zu tun, deshalb habe ich ihn nach oben verschoben. Damit sollte die Formulierung jetzt unmissverständlich sein.--Gunther 20:10, 26. Mai 2005 (CEST)

Reell oder nicht?

Man sollte eine Entscheidung treffen, ob man nur über reelle Polynome oder über den allgemeinen Fall spricht. Derzeit ist die Definition allgemein, aber beispielsweise die Aussagen über Nullstellen oder Wertebereich nehmen stillschweigend an, dass es sich um reelle Polynome handelt.--Gunther 12:12, 26. Mai 2005 (CEST)

Nullstellenschranken

Ich habe bei den Nullstellenschranken ein ungutes Gefühl. Eine ergibt keinen Sinn:

• $\min\{x\in \mathbb {R} _{+}:f^{(i)}\geq 0$ für $i=1,\ldots ,n\}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel);

denn die Rolle von $x$ ist fragwürdig. Ich sehe auch keine Definition der in manchen Formeln auftretenden Menge $N$, wahrscheinlich ist $\{0,1,\ldots ,n\}$ oder $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ gemeint. Aufrund dieser Ungereimtheiten ist mein Vertrauen in die restlichen Schranken nicht allzu groß. Kann das mal jemand nachkontrollieren?--MKI 12:14, 27. Sep 2005 (CEST)

Keine Angst, die Nullstellenschranken sind alle koscher. Aber du hast recht, die Definition von N (Menge aller Indizes von negativen Koeffizienten) wird erst bei der letzten aller Schranken definiert. Das ändere ich gleich ab.--JFKCom 22:46, 27. Sep 2005 (CEST)

Ich verstehe es trotzdem nicht. Für $x^{2}-4$ bekomme ich da 0 heraus.--Gunther 23:13, 27. Sep 2005 (CEST)

O ja, die hat eine Macke. Die hatte ich vor einem Jahrzehnt entweder aus "Mignotte, M.: Mathematics for Computer Algebra, Springer, Berlin 1992" oder aus "Mignotte, M.: Some Useful Bounds, Computing, Suppl. 4, 259-263 (1982)" . Dummerweise komme ich jetzt nicht schnell an die beiden Quellen ran und weiss nicht mehr, wie die Definition richtig lautet. Vielleicht kann da jemand helfen. Ich such mal nach Alternativquellen. Die Newton-Regel ist jedenfalls eine der besten überhaupt bekannten Nullstellenschranken, nur wegen der komplizierten Berechnung in der Praxis fast wertlos.--JFKCom 23:30, 27. Sep 2005 (CEST)

Hm, die Regel sieht extrem merkwürdig aus. Mit $i\geq 1$ ist sie invariant unter Addition von Konstanten und damit automatisch falsch. Mit $i\geq 0$ wird sie irgendwie ziemlich trivial, weil man dann auch einfach $n=0,1$ nehmen könnte: kurz unterhalb der größten positiven Nullstelle ist entweder das Polynom oder seine Ableitung negativ.--Gunther 23:41, 27. Sep 2005 (CEST)

Jetzt hab ich die Quelle [1] gefunden. Demnach muss ich einfach i=0 mit einschließen. Die Wahl $0\leq i\leq 1$ wie von dir vorgeschlagen wäre aber nicht genügend, es könnte rechts davon durch Wendepunkte höherer Ordnung noch die x-Achse geschnitten werden.--JFKCom 00:27, 28. Sep 2005 (CEST)

Ja, das war kompletter Unsinn.--Gunther 00:39, 28. Sep 2005 (CEST)

Genauer gesagt: Ich dachte an $\min\{x\mid \forall x'\geq x\colon f^{(i)}(x')\geq 0,\ i=0,1\}$, aber "kompletter Unsinn" ist trotzdem eine zutreffende Beschreibung.--Gunther 00:44, 28. Sep 2005 (CEST)

Auch in der veränderten Version bleibt die Newton-Schranke unklar. Heißt es für ein $i$ oder für alle $i$?--MKI 01:21, 28. Sep 2005 (CEST)

Für alle. Heißt das eigentlich immer bei "für $i=0,\ldots ,n$".--Gunther 01:42, 28. Sep 2005 (CEST)