Plancksches Strahlungsgesetz

Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt das Spektrum der Strahlung des Schwarzen Körpers.

Ende des 19. Jahrhunderts versuchten die Physiker das Abstrahlungsspektrum des Schwarzen Körpers auf der Grundlage der Gesetze der klassischen Physik, statistischen Physik und der Elektrodynamik zu verstehen. Einander widersprechende Hypothesen (Wiensches Strahlungsgesetz, Rayleigh-Jeans-Gesetz) und ihre nur teilweise Übereinstimmung mit den Meßwerten führten zu einer nicht zufriedenstellenden Situation. Erst Max Planck gelang es, ein Strahlungsgesetz zu finden, das mit den Messungen in völligem Einklang stand.

Bedeutung

Nach dem Kirchhoff'schen Strahlungsgesetz sind für jeden Körper bei jeder Wellenlänge das Absorptionsvermögen und das Emissionsvermögen für thermische Strahlung proportional. Ein Schwarzer Körper ist ein hypothetischer Körper, der bei jeder Wellenlänge die auf ihn treffende Strahlung vollständig absorbiert. Da sein Absorptionsvermögen bei jeder Wellenlänge den größtmöglichen Wert annimmt, nimmt auch sein Emissionsvermögen bei allen Wellenlängen den maximalen Wert an. Ein realer Körper kann bei keiner Wellenlänge mehr thermische Strahlung aussenden als ein Schwarzer Körper, der daher eine ideale thermische Strahlungsquelle darstellt. Da sein Spektrum außerdem von keinen anderen Parametern als der Temperatur abhängt, insbesondere von keinen Materialeigenschaften, stellt er eine für zahlreiche Zwecke nützliche Referenzquelle dar.

Neben der erheblichen praktischen Bedeutung des Schwarzen Körpers gilt die Entdeckung des Planck'schen Strahlungsgesetzes im Jahre 1900 gleichzeitig als Geburtsstunde der Quantenmechanik, da Planck zur Erklärung der zunächst empirisch gefundenen Formel annehmen musste, dass Licht nicht kontinuierlich, sondern nur diskret in Quanten (heute spricht man von Photonen) aufgenommen und abgegeben wird.

Das Planck'sche Strahlungsgesetz

Wie bei radiometrischen Größen üblich, können auch zur Beschreibung des Spektrums eines Schwarzen Körpers verschiedene Strahlungsgrößen verwendet werden. Die hier benutzten Bezeichnungen und Symbole folgen der DIN EN ISO 9288 (August 1996). Der obere Index $\,^{o}$ weist jeweils darauf hin, dass die betreffende Größe hier speziell die Eigenschaften eines Schwarzen Körpers beschreibt. Die folgenden Formeln gelten für die Strahlung im Vakuum. Bei Strahlung in ein Medium mit dem Brechungsindex $n$ sind die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ durch $c/n$ und die Wellenlänge $\lambda$ durch $\lambda /n$ zu ersetzen, während die Frequenz $\nu$ unverändert bleibt.

Man unterscheidet

• spektrale Größen, welche die Frequenz- bzw. Wellenlängenabhängigkeiten explizit beschreiben
• Gesamtgrößen, welche über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen integriert sind

sowie

• gerichtete Größen, welche die Richtungsabhängigkeiten explizit beschreiben
• hemisphärische Größen, welche über alle Richtungen des Halbraums integriert sind.

Spektrale Strahldichte

Für die spektrale Strahldichte $L_{\Omega \nu }^{o}$ eines Schwarzen Körpers der absoluten Temperatur T gilt

in der Frequenzdarstellung:

$L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$

SI-Einheit von $L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)$: W m-2 Hz-1 sr-1,

in der Wellenlängendarstellung:

$L_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)\,\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega$

SI-Einheit von $L_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)$: W m-2 μm-1 sr-1.

$L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν in das zwischen den Azimutwinkeln φ und φ+dφ sowie den Polarwinkeln β und β+dβ aufgespannte Raumwinkelelement dΩ abgestrahlt wird. Weiter sind h das Planck'sche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit und k die Boltzmannkonstante.

Der Kosinusfaktor berücksichtigt den Umstand, dass bei Abstrahlung in eine beliebige durch φ und β gegebene Richtung nur die auf dieser Richtung senkrecht stehende Projektion $\cos(\beta )\mathrm {d} A$ der Fläche dA als effektive Strahlfläche auftritt. Die spektrale Strahldichte $L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)$ selbst muss aus thermodynamischen Gründen richtungsunabhängig sein (Begründung: ist der Schwarze Körper einer Hohlraumstrahlung derselben Temperatur ausgesetzt, so absorbiert er die auf ihn treffende Strahlung vollständig, muß die absorbierte Strahlung aber gleichzeitig durch selbst emittierte Strahlung ersetzen, um das thermische Gleichgewicht zu erhalten. Die spektrale Strahldichte der Hohlraumstrahlung muß im Gleichgewicht richtungsunabhängig sein, und da die vom Schwarzen Körper emittierte Strahlung dieselbe Strahldichte haben muss, ist sie ebenfalls richtungsunabhängig). Der Schwarze Körper strahlt also völlig diffus, er ist ein Lambert-Strahler.

Bei der Umrechnung zwischen Frequenz- und Wellenlängendarstellung ist zu beachten, dass

$\lambda ={\frac {c}{\nu }}$ und

$|\mathrm {d} \lambda |={\frac {c}{\nu ^{2}}}\mathrm {d} \nu$

Die spektrale Strahldichte ist eine spektrale gerichtete Größe.

Spektrale spezifische Ausstrahlung

Integriert man die spektrale Strahldichte über alle Richtungen des Halbraums, in welchen das betrachtete Flächenelement abstrahlt, so erhält man die spektrale spezifische Ausstrahlung $M_{\nu }^{o}(\nu ,T)$, für die gilt:

$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$	$=\int _{Halbraum}L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$
	$=\int _{\phi =0}^{2\pi }\,\int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\sin(\beta )\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \beta$
	$=2\pi \,L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}\cos(\beta )\sin(\beta )\mathrm {d} \beta$
	$=\pi \,L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$,

so dass also in der Frequenzdarstellung:

$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$

SI-Einheit von $M_{\nu }^{o}(\nu ,T)$: W m-2 Hz-1

und in der Wellenlängendarstellung:

$M_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda \,={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda$

SI-Einheit von $M_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)$: W m-2 μm-1.

$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν in den Halbraum abgestrahlt wird.

Die spektrale spezifische Ausstrahlung ist eine spektrale hemisphärische Größe.

Gesamtstrahldichte

Integriert man die spektrale Strahldichte nicht über die Richtungen, sondern über alle Frequenzen, so erhält man die Gesamtstrahldichte $L_{\Omega }^{o}(T)$, für die gilt:

$L_{\Omega }^{o}(T)\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\nu =0}^{\infty }L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$

Die Auswertung des Integrals liefert wegen $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{4}}{15}}$:

$L_{\Omega }^{o}(T)\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2\pi ^{4}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}T^{4}\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega$

SI-Einheit von $L_{\Omega }^{o}(T)$: W m-2 sr-1.

$L_{\Omega }^{o}(T)\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA auf allen Frequenzen in das in der Richtung β gelegene Raumwinkelelement dΩ abgestrahlt wird.

Die Gesamtstrahldichte ist eine gerichtete Gesamtgröße.

Spezifische Ausstrahlung, Stefan-Boltzmann-Gesetz

Integriert man die spektrale spezifische Ausstrahlung über alle Frequenzen oder die Gesamtstrahldichte über alle Richtungen des Halbraums, so erhält man die spezifische Ausstrahlung $M^{o}(T)$, für die gilt

$M^{o}(T)\,\mathrm {d} A$	$=\int _{\nu =0}^{\infty }M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$	$=L_{\Omega }^{o}(T)\int _{Halbraum}\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega$
		$=L_{\Omega }^{o}(T)\cdot \pi$

so dass

$M^{o}(T)\,\mathrm {d} A=\sigma \,T^{4}\,\mathrm {d} A$

SI-Einheit von $M^{o}(T)$: W m-2,

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten $\sigma \,={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}\,=(5{,}670400\pm 0{,}000040)\,\cdot \,10^{-8}\,\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}}$ (gemäß CODATA 2000). Bei Strahlung in ein Medium mit dem Brechungsindex $n$ ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ durch $c/n$ zu ersetzen, die spezifische Ausstrahlung erhöht sich daher um den Faktor $n^{2}$.

$M^{o}(T)\,\mathrm {d} A$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA auf allen Frequenzen in den Halbraum abgestrahlt wird.

Die spezifische Ausstrahlung ist eine hemisphärische Gesamtgröße.

Strahlungsfluss oder Strahlungsleistung

Integriert man die spezifische Ausstrahlung über die gesamte strahlende Fläche A, so erhält man die Strahlungsleistung $\Phi ^{o}(T)$ dieser Fläche, für die gilt:

$\Phi ^{o}(T)=\int _{\rm {Fl{\ddot {a}}che}}M^{o}(T)\,\mathrm {d} A$,

so dass

$\Phi ^{o}(T)=\sigma \,T^{4}\,A$

SI-Einheit von $\Phi ^{o}(T)$: W.

$\Phi ^{o}(T)$ ist die Strahlungsleistung, die von der Fläche A auf allen Frequenzen in den Halbraum abgestrahlt wird.

Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung

Ein geschlossener Hohlraum mit Wänden aus beliebigem Material, welche auf der Temperatur T gehalten werden, ist nach Erreichen des thermischen Gleichgewichts mit einer homogenen isotropen thermischen Strahlung erfüllt, deren Eigenschaften nur von der Temperatur T abhängen und die daher universalen Charakter hat.

Bringt man einen kleinen Schwarzen Körper in den Hohlraum, so muss die Hohlraumstrahlung nach Wiederherstellung des thermischen Gleichgewichts die gleiche sein wie vorher, da sie nur von T abhängt. Da der Schwarze Körper sämtliche auf ihn treffende Hohlraumstrahlung absorbiert, zur Erhaltung des Gleichgewichts aber gleichzeitig die gleiche Strahlung als Ersatz wieder emittieren muß, müssen die spektralen Strahldichten der Hohlraumstrahlung und der Strahlung des Schwarzen Körpers identisch sein. Die oben hergeleiteten Ausdrücke für die einzelnen Strahlgrößen gelten daher auch für die Hohlraumstrahlung. Darüber hinaus weist die Hohlraumstrahlung eine konstante räumliche Energiedichte auf.

Man betrachte einen halbkugelförmigen mit Hohlraumstrahlung der Temperatur T gefüllten Hohlraum. Da die Strahlgrößen dieselben sind wie bei der Emission durch einen Schwarzen Körper, ist die aus dem gesamten Halbraum stammende auf ein Flächenelement dA im Mittelpunkt der kreisförmigen Grundfläche treffende Strahlungsleistung im Frequenzintervall zwischen ν und ν+dν gegeben durch die Formel zur spektralen spezifischen Ausstrahlung:

$W_{\nu }(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu =M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$ (*)

Seien nun $U_{\nu }^{o}\,\mathrm {d} \nu$ die Energiedichte im Frequenzintervall zwischen ν und ν+dν und $n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu$ die Dichte der Photonen aus dem selben Frequenzintervall:

$U_{\nu }^{o}\,\mathrm {d} \nu =h\nu \cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu$

An jeder Stelle im Hohlraum bewegen sich Photonen in alle Richtungen durcheinander. Da die Strahlung isotrop ist, kommen alle Richtungen gleich häufig vor. Der Bruchteil an Photonen, welche aus einem Raumwinkelelement dΩ, d.h. aus Richtungen zwischen φ und φ + dφ sowie zwischen β und β + dβ stammen, ist gegeben durch das Verhältnis von dΩ zum vollen Raumwinkel 4π. Die Dichte an Photonen mit Frequenzen zwischen ν und ν+dν, welche aus dem Raumwinkel dΩ stammen, ist daher

$n_{\nu \Omega }\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega =n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {\mathrm {d} \Omega }{4\pi }}=n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {\sin(\beta )\mathrm {d} \beta \mathrm {d} \phi }{4\pi }}$

Von allen Photonen aus dem Frequenzintervall dν, welche aus der Richtung von dΩ kommen, treten jene durch die Fläche dA, welche sich in einem Zylinder befinden, der um den Winkel β in die Richtung von dΩ geneigt ist und dA zur Grundfläche hat. Pro Zeiteinheit dt treten jene Photonen durch dA, die sich in einem Zylinderstück der Länge cdt befinden. Sie treten also mit der Rate

$n_{\nu \Omega }\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega \cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot c$

durch dA. Da jedes Photon die Energie hν trägt, tritt die Energie mit der Rate

$W_{\nu \Omega }(\nu ,\beta ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega =h\nu \cdot n_{\nu \Omega }\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega \cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot c=h\nu \cdot c\cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {1}{4\pi }}\sin(\beta )\cos(\beta )\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} A$

durch dA. Es treten Photonen aus dem gesamten oberen Halbraum durch dA; Integration über den Halbraum liefert

$W_{\nu }(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu =h\nu \cdot c\cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {1}{4\pi }}\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(\beta )\cos(\beta )\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} A=h\nu \cdot c\cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {1}{4}}\,\mathrm {d} A=U_{\nu }^{o}\,{\frac {c}{4}}\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$

Vergleich mit (*) zeigt:

$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)={\frac {4}{c}}\cdot M_{\nu }^{o}(\nu ,T)$

Es gilt also

in der Frequenzdarstellung:

$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V$

SI-Einheit von $U_{\nu }^{o}(\nu ,T)$: J m-3 Hz-1,

in der Wellenlängendarstellung:

$U_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} V={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} V$

SI-Einheit von $U_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)$: J m-3 μm-1.

$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V$ ist die Energie der thermischen Strahlung im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν, welche sich im Volumenelement dV eines Hohlraumstrahlers befindet.

Gesamtenergiedichte der Hohlraumstrahlung

Integriert man die spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung über alle Frequenzen, so erhält man die Gesamtenergiedichte $U^{o}$, für die gilt:

$U^{o}(T)\,\mathrm {d} V=\int _{\nu =0}^{\infty }U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V$

Auswertung des Integrals liefert:

$U^{o}(T)\,\mathrm {d} V\,=\sigma ^{*}\,T^{4}\,\mathrm {d} V$

mit $\sigma ^{*}\,={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}}}\,=7,56\,\cdot \,10^{-16}\,\mathrm {\frac {Ws}{m^{3}K^{4}}}$, SI-Einheit von $U^{o}(T)$: J m-3.

$U^{o}(T)\,\mathrm {d} V$ ist die Energie der thermischen Strahlung aller Frequenzen, welche sich im Volumenelement dV eines Hohlraumstrahlers befindet.

Formelsammlung

	spektrale Strahldichte:
	$L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$L_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: W m-2 Hz-1 sr-1		Einheit: W m-2 μm-1 sr-1
	spektrale spezifische Ausstrahlung:
	$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$M_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: W m-2 Hz-1		Einheit: W m-2 μm-1
	Gesamtstrahldichte:
	$L_{\Omega }^{o}(T)={\frac {2\pi ^{4}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}T^{4}$
	Einheit: W m-2 sr-1
	spezifische Ausstrahlung ("Stefan-Boltzmann-Gesetz"):
	$M^{o}(T)\,=\sigma \,T^{4}$ mit Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma \,={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}\,=5{,}67\,\cdot \,10^{-8}\,\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}}$
	Einheit: W m-2
	spektrale Energiedichte im Hohlraum:
	$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$U_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: J m-3 Hz-1		Einheit: J m-3 μm-1
	Gesamtenergiedichte im Hohlraum:
	$U^{o}(T)\,=\sigma ^{*}\,T^{4}$ mit $\sigma ^{*}\,={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}}}\,=7{,}56\,\cdot \,10^{-16}\,\mathrm {\frac {J}{m^{3}K^{4}}}$
	Einheit: J m-3

Statt der pro Zeiteinheit abgestrahlten Energie kann auch die pro Zeiteinheit abgestrahlte Anzahl von Photonen betrachtet werden. Da ein Photon der Frequenz $\nu$ bzw. der Wellenlänge $\lambda ={\frac {c}{\nu }}$ die Energie $h\nu$ bzw. ${\frac {hc}{\lambda }}$ trägt, gilt:

	spektrale Strahldichte:
	${\tilde {L}}_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		${\tilde {L}}_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2c}{\lambda ^{4}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: Photonen s-1 m-2 Hz-1 sr-1		Einheit: Photonen s-1 m-2 μm-1 sr-1
	spektrale spezifische Ausstrahlung:
	${\tilde {M}}_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		${\tilde {M}}_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2\pi c}{\lambda ^{4}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: Photonen s-1 m-2 Hz-1		Einheit: Photonen s-1 m-2 μm-1
	Gesamtstrahldichte:
	${\tilde {L}}_{\Omega }^{o}(T)={\frac {4\zeta (3)k^{3}}{h^{3}c^{2}}}\,T^{3}=4{,}840\cdot 10^{14}\mathrm {\frac {1}{s\,m^{2}\,sr\,K^{3}}} \,\cdot \,T^{3}$
	mit $\zeta (3)=1{,}202056903...$ (Riemannsche Zeta-Funktion)
	Einheit: Photonen s-1 m-2 sr-1
	spezifische Ausstrahlung (Stefan-Boltzmann-Gesetz für die Photonenrate):
	${\tilde {M}}^{o}(T)\,={\frac {4\pi \zeta (3)k^{3}}{h^{3}c^{2}}}\,T^{3}=1{,}5204\cdot 10^{15}\mathrm {\frac {1}{s\,m^{2}\,K^{3}}} \,\cdot \,T^{3}$
	Einheit: Photonen s-1 m-2
	spektrale Photonendichte im Hohlraum:
	${\tilde {U}}_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		${\tilde {U}}_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {8\pi }{\lambda ^{4}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: Photonen m-3 Hz-1		Einheit: Photonen m-3 μm-1
	Gesamtphotonendichte im Hohlraum:
	${\tilde {U}}^{o}(T)\,={\frac {16\pi \zeta (3)k^{3}}{h^{3}c^{3}}}\,T^{3}=2{,}029\cdot 10^{7}\,\mathrm {\frac {1}{m^{3}K^{3}}} \,\cdot \,T^{3}$
	Einheit: Photonen m-3

Folgerungen

Das Plancksche Strahlungsgesetz vereinigte und bestätigte Gesetzmäßigkeiten, die schon vor seiner Entdeckung teils empirisch, teils aufgrund thermodynamischer Überlegungen gefunden worden waren:

• das Stefan-Boltzmann-Gesetz, welches die gesamte abgestrahlte Energie eines Schwarzen Körpers proportional zu T⁴ angibt.
• das Rayleigh-Jeans-Gesetz, das die spektrale Energieverteilung für lange Wellenlängen beschreibt.
• das Wiensche Strahlungsgesetz, das die spektrale Energieverteilung für kurze Wellenlängen wiedergibt.
• das Wiensche Verschiebungsgesetz, das Wilhelm Wien (1864–1928) 1893 formulierte, welches den Zusammenhang zwischen Emissionsmaxium eines Schwarzen Körpers und seiner Temperatur herstellt.

Strahlungsgesetze und Quantenhypothese

Man betrachte als vereinfachtes Beispiel einen kubusförmigen Hohlraum der Seitenlänge L und des Volumens V, welcher elektromagnetische Hohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält. Im Gleichgewicht können sich nur stehende Wellen ausbilden; die erlaubten Wellen können in eine beliebige Richtung laufen, müssen dabei jedoch die Bedingung erfüllen, dass zwischen zwei gegenüberliegende Hohlraumflächen jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen passt. Es sind also nur bestimmte diskrete Schwingungszustände erlaubt; die gesamte Hohlraumstrahlung setzt sich aus diesen stehenden Wellen zusammen. Wie sich zeigen läßt, gibt es im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν insgesamt ${\frac {8\pi V}{c^{3}}}\nu ^{2}\mathrm {d} \nu$ erlaubte Schwingungszustände. Die Anzahl erlaubter Schwingungszustände nimmt bei höheren Frequenzen zu, weil es für Wellen mit kürzerer Wellenlänge mehr Möglichkeiten gibt, sich so in den Hohlraum einzupassen, dass die Ganzzahligkeitsbedingungen für ihre Komponenten in x-, y- und z-Richtung erfüllt sind. Die Zustandsdichte, das heisst die Anzahl erlaubter Schwingungszustände im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν und pro Volumeneinheit, ist

$g(\nu )\,\mathrm {d} \nu \,=\,{\frac {8\pi }{c^{3}}}\,\nu ^{2}\,\mathrm {d} \nu$.

Fasst man diese Schwingungszustände jeweils als harmonische Oszillatoren der Frequenz ν auf, so wäre nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik zu erwarten, dass im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T im Mittel jeder dieser Oszillatoren die kinetische Energie kT/2 und die potentielle Energie kT/2, also insgesamt die Energie kT trägt. Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν wäre demnach

$U_{\nu }^{RJ}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,=\,{\frac {8\pi }{c^{3}}}\,kT\,\nu ^{2}\,\mathrm {d} \nu$.

Dies ist das Strahlungsgesetz nach Rayleigh-Jeans. Es gibt die tatsächlich gemessene Energiedichte bei niedrigen Frequenzen gut wieder, sagt aber fälschlich eine mit höheren Frequenzen stets quadratisch wachsende Energiedichte voraus (Ultraviolett-Katastrophe), so dass der Hohlraum über alle Frequenzen integriert eine unendliche Energiedichte enthalten müsste: jeder vorhandene Schwingungszustand trägt zwar im Mittel nur die Energie kT, aber es sind unendlich viele solcher Schwingungszustände angeregt.

Nach der von Planck eingeführten Quantenhypothese kann ein Oszillator der Frequenz ν jedoch anstelle beliebiger Energiemengen nur ganzzahlige Vielfache der Energie hν aufnehmen; insbesondere bedarf er einer Mindestenergie hν, um überhaupt angeregt zu werden. Schwingungszustände, deren Mindestenergie hν deutlich über der thermisch zur Verfügung gestellten Energie kT liegen, können nicht angeregt werden, sie bleiben eingefroren. Schwingungszustände, deren Mindestenergie wenig über kT liegt, können mit gewisser Wahrscheinlichkeit angeregt werden, so dass von ihnen ein bestimmter Bruchteil zur gesamten Hohlraumstrahlung beiträgt. Lediglich Schwingungszustände mit niedriger Mindestenergie hν, also kleineren Frequenzen, können die angebotene thermische Energie vollständig aufnehmen und werden (im Mittel) mit Sicherheit angeregt. Die statistische Thermodynamik zeigt, dass unter diesen Bedingungen ein Schwingungszustand der Frequenz ν im Mittel die Energie ${\frac {h\nu }{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$ trägt. Multiplikation mit der Dichte der erlaubten Schwingungszustände $g(\nu )\,\mathrm {d} \nu$ führt auf die plancksche Energiedichte

$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,=\,{\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\,\mathrm {d} \nu$.

Die Ultraviolett-Katastrophe wird nach Planck also dadurch vermieden, dass die höherfrequenten elektromagnetischen Schwingungszustände, die nach geometrischen Kriterien durchaus im Hohlraum existieren könnten, wegen ihrer hohen Anregungsschwelle durch die zur Verfügung stehende thermische Energie nicht angeregt werden können und daher nicht zur Energiedichte im Hohlraum beitragen. Die spektrale Energiedichte nimmt deshalb zu höheren Frequenzen hin wieder ab, nachdem sie ein Maximum durchlaufen hat und die Gesamtenergiedichte bleibt endlich.

Intensitätsverteilung der Schwarzkörperstrahlung

Plancksche Strahlungsformel für verschiedene Temperaturen

Bei 500 nm ist das sichtbare Spektrum eingezeichnet. Ab 700 °C zeigen Körper ein rotes Glimmen (Kurvenverlauf in der Abbildung nicht zu erkennen), mit steigender Temperatur verschiebt sich das Maximum in den blauen Bereich.

Dank des scharfen Abfalls bei kurzen Wellenlängen strahlen Glühlampen keine UV-Strahlung aus, dank der Filterwirkung von Glas gilt dies in hohem Maß auch für Halogen-Glühlampen. Die harte UV-Strahlung, die wir bei der Sonne mit einer Strahlungstemperatur von ca. 5500 °C erwarten müssten, filtert unsere Atmosphäre.

Siehe auch

Grauer Körper, Strahlungsaustausch

Weblinks

• Plancks Strahlungsformel
• Zur Geschichte der Entdeckung der Strahlungsgesetze

Literatur

• Baehr, H.D., Stephan, K.: Wärme- und Stoffübertragung, 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-40130-X; Kap. 5: Wärmestrahlung