Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik ist eine Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, der lokal einem "gewöhnlichen" Euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ gleicht. Anschaulich kann man den Begriff anhand der Erde (d.h. der Oberfläche einer Kugel) verstehen: Für ein kleines Gebiet der Erde kann man eine Karte (d.h. eine Ebene) betrachten. Jedem Punkt auf der Karte entspricht ein Punkt in dieser Zone der Erde, d.h. die Karte kann stellvertretend für diese Gegend betrachtet werden. Nähert man sich dem Rand der Karte sollte man zu einer anderen Karte wechseln, die das angrenzende Gebiet darstellt. In diesem Sinne kann man eine Mannigfaltigkeit vollständig durch einen "vollständigen" Satz von Karten und so genannten Kartenwechseln (d.h. Regeln, die angeben, wie sich Karten überlappen) beschreiben. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte (alle Karten haben die gleiche Dimension).

Falls die lokalen Karten einer Mannigfaltigkeit in einem gewissen Sinne verträglich sind, kann man dort Tangentialrichtungen an Kurven und differenzierbare Funktionen definieren. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine M. mit einer zusätzlichen Struktur, die es erlaubt Längen und Winkel zu bestimmen.

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten kann man auf natürliche Art die Begriffe definieren, die aus der Analysis bekannt sind (z.B. Ableitung). In der Physik finden differenzierbare Mannigfaltigkeiten Verwendung als Phasenräume in der klassischen Mechanik und als vier dimensionale Pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten zur Beschreibung der Raum-Zeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Kosmologie. Im folgenden wird eine mathematisch präzise Beschreibung der Mannigfaltigkeit gegeben.

Topologische Mannigfaltigkeiten

Eine topologische $n$-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff Raum, in dem jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Mannigfaltigkeiten behalten viele lokale Eigenschaften, die sie vom Euklidischen Raum erben: Sie sind lokal wegzusammenhängend, lokal kompakt und lokal metrisierbar. Als lokal kompakte Hausdorff Räume sind sie automatisch auchTychonoff Räume.

It can be shown that a manifold is metrizable if and only if it is paracompact. Non-paracompact manifolds (such as the long line) are generally regarded as pathological, so it's common to add paracompactness to the definition of an n-manifold. Sometimes n-manifolds are defined to be second countable, which is precisely the condition required to ensure that the manifold embeds in some finite-dimensional Euclidean space. Note that every compact manifold is second countable, and every second-countable manifold is paracompact.

The classification of all manifolds is an open problem. We know that every second-countable connected 1-manifold without boundary is homeomorphic either to R or the circle. (The unconnected ones are just disjoint unions of these.) For a classification of 2-manifolds, see Surface.

Differentiable manifolds

In order to discuss differentiability of functions, one needs more structure than a topological manifold provides. We start with a topological manifold M without boundary. An open set of M together with a homeomorphism from the open set to an open set of Eⁿ is called a chart. A collection of charts which cover M is called an atlas of M. The homeomorphisms from two overlapping charts provide a map from a subset of Eⁿ to some other subset of Eⁿ. If all these maps are k times continuously differentiable, then the atlas is an C^k atlas. Two C^k atlases are called equivalent if their union is a C^k atlas. This is an equivalence relation, and a C^k manifold is defined to be a manifold together with an equivalence class of C^k atlases. If all the connecting maps are infinitely often differentiable, then one speaks of a smooth or C^∞ manifold; if they are all analytic, then the manifold is an analytic or C^ω manifold.

Intuitively, a smooth atlas provides local coordinate systems such that the change-of-coordinate functions are smooth. These coordinate systems allow one to define differentiability and integrability of functions on M.

Associated with every point on a differentiable manifold is a tangent space and its dual, the cotangent space. The former consists of the possible directional derivatives, and the latter of the differentials, which can be thought of as infinitesimal elements of the manifold. These spaces always have the same dimension n as the manifold does. The collection of all tangent spaces can in turn be made into a manifold, the tangent bundle, whose dimension is 2n.

If a C^∞ manifold also carries a differentiable group structure, it is called a Lie group. These are the proper objects for describing symmetries of analytical structures.

Once a C¹ atlas on a paracompact manifold is given, we can refine it to a real analytic atlas (meaning that the new atlas, considered as a C¹ atlas, is equivalent to the given one), and all such refinements give the same analytic manifold. Therefore, one often considers only these latter manifolds.

Not every topological manifold admits such a smooth atlas. The lowest dimension is 4 where there are non-smoothable topological manifolds. Also, it is possible for two non-equivalent differentiable manifolds to be homeomorphic. The famous example was given by John Milnor of wild 7-spheres, i.e. non-diffeomorphic topological 7-spheres.

Riemannian manifolds

On differentiable manifolds, there are no notions of length, volume and angle. In order to introduce these, one needs a way to measure the lengths and angles between tangent vectors. A Riemannian manifold is a differentiable manifold on which the tangent spaces are equipped with inner products in a differentiable fashion.