Liste numerischer Verfahren

Die Liste numerischer Verfahren führt Verfahren der numerischen Mathematik nach Anwendungsgebieten auf.

Lineare Gleichungssysteme

Gaußsches Eliminationsverfahren (vgl. auch LR-Zerlegung): Ein klassisches direktes Verfahren, allerdings mit hohem Speicheraufwand, hoher Laufzeit sowie schlechten Stabilitätseigenschaften.
Cholesky-Zerlegung: Für symmetrische positiv definite Matrizen kann ähnlich wie die LR-Zerlegung eine symmetrische Zerlegung erstellt werden bei halbem Aufwand.
QR-Zerlegung: Ebenfalls ein direktes Verfahren mit demselben Speicheraufwand, doppelter Laufzeit, aber besseren Stabilitätseigenschaften im Vergleich zum Gauß-Verfahren.
Splitting-Verfahren: Klassische iterative Verfahren.
- Gauß-Seidel-Verfahren: Wird auch als Einzelschrittverfahren bezeichnet.
- Jacobi-Verfahren: Wird auch als Gesamtschrittverfahren bezeichnet.
- Richardson-Verfahren
- SOR-Verfahren
- SSOR-Verfahren
Krylow-Unterraum-Verfahren: Moderne iterative Verfahren, die für große, dünnbesetzte Gleichungssysteme gedacht sind.
Mehrgitterverfahren: Ein modernes Verfahren mit linearer Komplexität speziell für Gleichungssysteme, die von partiellen Differentialgleichungen herrühren.
Vorkonditionierung: Eine Technik, die Kondition einer Matrix zu verbessern.
ILU-Zerlegung: Ein wichtiges Vorkonditionierungsverfahren.

Newton-Verfahren: Ein quadratisch konvergentes Verfahren zum Auffinden von Nullstellen differenzierbarer Funktionen, auch im mehrdimensionalen. In jedem Schritt ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems notwendig.
Fixpunktverfahren: Ein linear konvergentes Verfahren zum Auffinden von Fixpunkten von Funktionen, auch im mehrdimensionalen.
Homotopieverfahren: Ein topologisch inspiriertes Verfahren.
Verfahren des steilsten Abstiegs: Ein langsames Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme mit positiv definiter Hesse-Matrix.
Regula Falsi: Ein einfaches iteratives Verfahren zur Nullstellenbestimmung eindimensionaler Funktionen.

Bairstow-Verfahren: Spezielles Iterationsverfahren für Polynome, um komplexe Nullstellen mit reellen Operationen zu bestimmen
Lösungsverfahren für quadratiache, kubische und biquadratische Gleichungen

Newton-Cotes-Formeln: Einfache Quadraturformeln, die auf Polynominterpolation basieren.
Gauß-Quadratur: Quadraturformeln mit optimaler Konvergenzordnung.
Romberg-Extrapolation: Eine Technik zur Verbesserung von Newton-Cotes-Formeln.
Mittelpunktsregel
Trapezregel
Simpsonregel

Polynominterpolation: Interpolation durch Polynome.
Spline-Interpolation: Interpolation durch stückweise stetige Polynome.
Remez-Algorithmus: Findet die optimale Approximation bezüglich der Supremumsnorm.
De Casteljau-Algorithmus: Der Algorithmus zur Berechnung von Bézier-Kurven.

QR-Zerlegung: Geeignet für lineare Ausgleichsprobleme (auch Householder-Verfahren).
Gauß-Newton-Verfahren: Ein iteratives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsprobleme.

Simplex-Verfahren: Ein direktes Verfahren der linearen Programmierung.
Innere-Punkte-Verfahren: Ein iteratives Verfahren auch für nichtlineare Optimierungsprobleme.
Logarithmisches Barriereverfahren: Ebenfalls ein iteratives Verfahren.

Eulersches Polygonzugverfahren: Das einfachste Lösungsverfahren, ein 1-stufiges Einschrittverfahren.
Einschrittverfahren: Verfahren, die nur Informationen des aktuellen Zeitschrittes benutzen, um daraus die nächste Näherung zu berechnen.
Mehrschrittverfahren: Verfahren, die Informationen der letzten Zeitschritte nutzen.
Runge-Kutta-Verfahren: Familie von Einschrittverfahren inkl. dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren.

Finite-Elemente-Methode: Ein modernes, flexibles Verfahren zur Lösung vor allem elliptischer partieller Differentialgleichungen.
Finite-Volumen-Verfahren: Ein modernes Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen.
Finite-Differenzen-Verfahren: Ein klassisches Verfahren für beliebige partielle Differentialgleichungen.
Randelementmethode: Ein Verfahren zur Lösung elliptischer PDGLen, wobei lediglich der Gebietsrand und nicht das Gebiet selbst (wie z.B. bei der FEM) zu diskretisieren ist.
Spektralmethode: Ein neuartiges Verfahren, das zur Diskretisierung Polynome sehr hoher Ordnung benutzt.
Level-Set-Methode: Eine moderne Methode zur Verfolgung von bewegten Rändern.
Leapfrog-Verfahren: Abgewandeltes Eulerverfahren mit Termen nur zweiter Ordnung (z.B. für Planetenbewegung), bei dem die Zeitschritte für Ort und Geschwindigkeit um die halbe Integrationschrittweite versetzt sind. Dadurch wird höhere Genauigkeit und Zeitsymmetrie erreicht.

QR-Algorithmus: Berechnung aller Eigenwerte, allerdings mit hohen Kosten verbunden.
LR-Algorithmus: Auch Treppeniteration genannt, ein dem QR-Verfahren vergleichbarer aber weniger stabiler Algorithmus.
Potenzmethode: Diese erlaubt die Berechnung des betragsgrößten Eigenwertes.
Unterraumiteration: Diese ist eine mehrdimensionale Erweiterung der Potenzmethode und erlaubt die gleichzeitige Berechnung mehrerer der betragsgrößten Eigenwerte.
Inverse Iteration: Diese erlaubt die schnelle Berechnung von Eigenwerten nahe eines Shifts.
Rayleigh-Quotienten-Iteration: Eine spezielle sehr schnell konvergierende Variante der Inversen Iteration mit Shift.
Lanczos-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.
Arnoldi-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.
Jacobi-Davidson-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.