Symmetrisches Lanczos-Verfahren

In der numerischen Mathematik ist das symmetrische Lanczos-Verfahren ein Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen für symmetrische Matrizen. Es stellt sowohl einen Spezialfall des unsymmetrischen Lanczos-Verfahrens, als auch des Arnoldi-Verfahrens dar. Diese Übereinstimmung vom Lanczos- und Arnoldi-Verfahren resultiert aus den speziellen Eigenschaften der Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$.

Der Algorithmus

Es sei eine quadratische hermitesche Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ und ein beliebiger Startvektor $r_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ ungleich Null gegeben.

1. Setze $q_{0}\leftarrow 0$
2. for $k\in \mathbb {N}$ do
3. $\beta _{k-1}\leftarrow \|r_{k-1}\|$
4. $q_{k}\leftarrow r_{k-1}/\beta _{k-1}$
5. $r_{k}\leftarrow Aq_{k}$
6. $\alpha _{k}\leftarrow \langle q_{k},r_{k}\rangle$
7. $r_{k}\leftarrow r_{k}-\alpha _{k}q_{k}-\beta _{k-1}q_{k-1}$
8. end for