Diskussion:Isomorphiesatz

Isomorphie-Symbol

Ich finde die aktuelle Version nicht so toll, weil ein Leser meinen könnte, dass das $\cong$-Symbol ganz allgemein für Isomorphie via kanonischer Abbildung stehen könnte, was natürlich Unsinn ist. Besser wäre also in meinen Augen, das $\cong$-Symbol in seiner ursprünglichen Bedeutung zu erläutern (also so wie ich es vorher gemacht hatte) und dann vielleicht anzumerken, dass hier der Isomorphismus bereits durch die kanon. Abb. gegeben ist.--MKI 13:57, 22. Sep 2005 (CEST)

Dann könnte man auch gleich zum "=" zurückkehren, denn das wird häufig als Symbol für einen kanonischen oder natürlichen Isomorphismus verwendet, genauso wie $\simeq$. Dass der Isomorphismus durch die kanonische Abbildung vermittelt wird, sollte nicht nur nebenbei erwähnt werden; sehr oft interessiert man sich bei der Frage der Isomorphie nicht nur für das "ob", sondern das "wie".--Gunther 14:01, 22. Sep 2005 (CEST)

Ein eigenes Symbol für "kanonische Isomorphie" habe ich noch nicht gesehen, glaube ich. Dass gelegentlich ein Istgleichzeichen verwendet wird, wo nur Isomorphie richtig wäre, schon, aber das halte ich nicht für einen guten Stil. Ich hoffe, dass dir mein neuer Überarbeitungsversuch besser zusagt.--MKI 14:15, 22. Sep 2005 (CEST)

Nicht so richtig. Solange man weiß, was man tut, spricht nichts dagegen, kanonische Isomorphismen mit Gleichheitszeichen zu schreiben; eine Unterscheidung ist auf jeden Fall sinnvoll. Ein endlichdimensionaler Vektorraum ist nun einmal "isomorpher" zu seinem Bidualraum als zu seinem Dualraum.

Was hieltest Du davon, im Artikel einfach zu sagen, dass die Abbildungen

$M/(M\cap N)\to M+N/N$ bzw. $M/N\to (M/Q)/(N/Q)$

Isomorphismen sind?--Gunther 19:02, 22. Sep 2005 (CEST)

Ich denke dass die Formeln in jedem Fall in der jetzigen Form bestehen bleiben sollten, weil man sie häufig so sieht.

Weil wir jetzt ohnehin weiter ausholen, möchte ich noch folgendes anmerken: Bei dem Begriff kanonische Abbildung ist mir nicht ganz wohl. Wann ist ein Objekt in der Mathematik kanonisch? Wahrscheinlich dann, wenn allen Leuten vom Fach sofort klar ist, welches Objekt gemeint ist, und wenn diese unabhängig voneinander alle das selbe Objekt meinen.

Deshalb mein Vorschlag: Die Formel bleibt wie sie ist. Die Erklärung zum $\cong$-Symbol bleibt ebenfalls. Dann schreiben wir die Isomorphismen explizit hin und setzen dahinter die Bemerkung, dass sie aufgrund ihrer Einfachheit kanonische Isomorphismen heißen.

Alternativ könnte man auch über das $\cong$-Symbol noch den Schriftzug kan. setzen (normalerweise mit \stackrel, aber das scheint hier nicht zu funktionieren), das wäre meiner Meinung nach noch die beste Möglichkeit, ein spezielles Symbol für die kanonische Isomorphie einzuführen.--MKI 19:24, 22. Sep 2005 (CEST)

Denk mal an Vektorräume. Will man $M/N\cong (M/Q)/(N/Q)$ für endlichdimensionale Vektorräume zeigen, muss man nur $m-n=(m-q)-(n-q)$ nachrechnen. Die eigentliche Aussage ist aber viel stärker: nämlich dass man auf beiden Seiten mit demselben Vertreter in $M$ rechnen kann.

"Kanonisch" ist ein unscharfes Wort, daran liegt mir nicht viel, meinetwegen kann man es auch durch "natürlich" ersetzen, das hat wenigstens eine präzise Bedeutung. Die Notation ist uneinheitlich, ich habe auch schon $\approx$ für nichtkanonische Isomorphismen gesehen; von Eigenkreationen halte ich wenig. Wichtig ist mir, dass es eben mehr ist als nur irgendeine Isomorphie.--Gunther 20:55, 22. Sep 2005 (CEST)