Substantielle Ableitung

Die Substantielle Ableitung ist ein primär mathematisches Konstrukt, welches die gesamte Änderung einer Grösse beschreibt. Das Wort substantiell deutet darauf hin, dass man an eine "Substanz"/Masse/Fluid "gebunden" ist.

Allgemein

Die substantielle Ableitung wird in der Literatur oft mit

${\frac {D\rho }{Dt}}$ bezeichnet.

Es genügt jedoch prinzipiell aus sie mit

${\frac {d\rho }{dt}}$ zu bezeichnen, da sie direkt aus dem totalen Differential herrührt.

"Herleitung" anhand eines Beispiels aus der Fluiddynamik.

Das totale Differential einer zeit- und 3 dimensional ortsabhängigen, skalaren Grösse $\phi ({\vec {x}},t)$ lautet für ein Kartesisches_Koordinatensystem:

$d\Phi ({\vec {x}},t)={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}dz$

Dies kann man umschreiben zu:

$d\Phi ({\vec {x}},t)={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}udt+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}vdt+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}wdt$

wobei:

u : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in X-Richtung

v : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in Y-Richtung

w : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in Z-Richtung

(ein Fluidteilchen legt in der Zeit dt den Weg $u*dx$ in X-Richtung zurück etc., Model des mitbewegten Beobachters nach Joseph-Louis_Lagrange)

damit:

${\frac {d\Phi ({\vec {x}},t)}{dt}}={\frac {D\Phi ({\vec {x}},t)}{Dt}}={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}$

mit Einführung des Geschwindigkeitsvektors ${\vec {w}}$, welcher die Komponenten u, v, w enthält folgt:

${\frac {D\Phi ({\vec {x}},t)}{Dt}}={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\vec {w}}\cdot grad(\Phi )$

$grad(\Phi )$ ist hierbei der Gradient_(Mathematik) der mit Hilfe des Nabla-Operators dargestellt werden kann.

Es folgt also:

${\frac {D\Phi ({\vec {x}},t)}{Dt}}=\underbrace {\frac {\partial \Phi }{\partial t}} _{\mbox{lokal}}+\underbrace {{\vec {w}}\cdot \nabla \Phi } _{\mbox{konvektiv}}$

Zum Verständnis

Der Gradient der Grösse $\Phi$ zeigt in Richtung des grössten Anstieges von $\Phi$. Das Skalarprodukt aus zwei vektoriellen Grössen kann als eine Projektion des einen Vektors auf den anderen - mit zugehöriger Streckung/Stauchung sofern nicht einer der Vektoren ein Einheitsvektor ist - verstanden werden. Also beschreibt der konvektive Anteil der substantiellen Ableitung gerade die durch die Bewegung des Fluids/Kontinuums "erfahrene" Änderung der Grösse $\Phi$. Bewegt sich das Fluid mit einer Geschwindigkeitskomponent in Richtung des Gradienten ist eine Änderung von $\Phi$ festzustellen. Bei einer Bewegung im 3-dimensionalen Raum senkrecht zum Gradienten auf einer sog. Isofläche ist der konvektive Anteil hingegen gleich Null.

Allgemein könnte man als Geschwindigkeit ${\vec {w}}$ auch die Geschwindigkeit eines sich beliebig durch das Kontrollvolumen bewegenden "Beobachters" nehmen (also nicht unbedingt mit Fluidgeschwindigkeit). Die substantielle Ableitung beschreibt dann die Änderung der Grösse $\Phi$, die dieser "Beobachter" quasi registriert. In der Fluiddynamik greift man jedoch häufig auf die "Lagrangesche" Betrachtungsweise zurück, betrachtet werden hier ja die Zustandsgrössen des Fluids und deren zeitliche Änderung und nicht die zeitliche Änderung aufgrund der Relativbewegung des Beobachters.

Um nocheinmal den wesentlichen Punkt herauszustellen hier die Frage: Was sind dx, dy, dz im totalen Differential? Antwort: dx, dy und dz beschreiben ein infinitesimal kleines Volumen, welches NICHT an ein Medium gebunden sein muss. Demzufolge sind die Geschwindigkeiten dx/dt, ${\frac {dx}{dt}}$ ${\frac {dy}{dt}}$ und ${\frac {dz}{dt}}$ der totalen Ableitung eben jene Geschwidigkeitskomponenten, welche den Geschwidigkeitsvektor ${\vec {w}}$ dieses Volumens aufspannen. Da wie erwähnt dx, dy und dz nicht substanzgebunden sind folgt direkt, dass ${\vec {w}}$ nicht notwendiger Weise der Vektor der Fluidgeschwindigkeit sein muss.