Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium (üblicherweise in Luft) ausbreiten. Es ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit, die nicht mit der Schallschnelle v zu verwechseln ist.
Für die Schallgeschwindigkeit c (für lat. celeritas = Geschwindigkeit) gilt die Formel

c=\lambda \cdot f

,

wobei λ (lambda) die Wellenlänge und f die Frequenz der Schallwelle ist.

Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl in longitudinaler (hierbei ist die Schwingungsrichtung paralllel zur Ausbreitungsrichtung) als auch in transversaler Richtung (hierbei ist die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitrungsrichtung)ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $\rho$ , der Poissonzahl $\mu$ und dem Elastizitätsmodul E des Festkörpers ab. Es gilt dabei

c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper,longitudinal} }={\sqrt {E\,(1-\mu ) \over \rho \,(1-\mu -2\mu ^{2})}}

.

Im Speziallfall eines langen Stabes, wobei Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann die Querkonstration vernachlässigt werden und man erhält

c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper(langerStab),longitudinal} }={\sqrt {E \over \rho }}

.

Für Transversalwellen muss das Elastizitätmodul durch das Schubmodul $G$ ersetzt werden

c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper,transversal} }={\sqrt {G \over \rho }}

.

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten

Im Gegensatz zu Festkörpern können sich in Flüssigkeiten nur Longitudinalwellen ausbreiten, da das Schubmodul für Flüssigkeiten gleich Null ist. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte $\rho$ und des Kompressionsmoduls $K$ der Flüssigkeit und berechnet sich aus

c_{\mathrm {Fl{\ddot {u}}ssigkeit} }={\sqrt {K \over \rho }}

.

Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen

Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen ist abhängig vom Adiabatenexponent κ (kappa), der Dichte ρ (rho) sowie dem Druck p des Gases oder alternativ nach der thermischen Zustandsgleichung von der molaren Masse M und der absoluten Temperatur T (gemessen in Kelvin) und berechnet sich aus

c_{\mathrm {Gas} }={\sqrt {\kappa \cdot {p \over \rho }}}={\sqrt {\kappa \cdot {\frac {R\cdot T}{M}}}}

.

Adiabatenexponent κ = c_p/c_V.

Der Adiabatenexponent κ (kappa) hängt auch für die meisten realen Gase über weite Temperaturbereiche nicht von T ab, die molare Masse ist eine materialspezifische und die universelle Gaskonstante R=8,3145 J/molK eine physikalische Konstante.

Deshalb hängt die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen nur von der Wurzel der (absoluten) Temperatur ab. Trotz der Wurzelabhängkeit wird häufig die lineare Näherungsformel

c_{\mathrm {Luft} }\approx (331{,}5+0{,}6\cdot \vartheta )\ \mathrm {m/s}

verwendet, wobei $\vartheta =T-273{,}15\,\mathrm {K}$ die Temperatur in °C ist. Diese Näherungsformel gilt im Temperaturbereich von -20°C bis +40°C mit einer Genauigkeit von besser als 0,2%. Dass die Schallgeschwindigkeit vom Luftdruck abhängt, ist dagegen falsch. Die Luftfeuchtigkeit beeinflusst geringfügig die Schallgeschwindigkeit und auch der oft unrichtig angegebene statische Schalldruck tut es nicht (Ausnahmen sind Schallwellen von sehr großer Amplitude sowie Stoßwellen). Sehr bedeutsam ist dagegen die Temperatur. Der Schall wandert innerhalb der Troposphäre langsamer mit steigender Höhe, was aber fast ausschließlich eine Funktion der Temperatur und nur in geringem Maße auch eine der Luftfeuchte ist.

Ein genauerer empirischer Ausdruck für die Schallgeschwindigkeit ergibt sich durch Zusammenfassen der Konstanten in eine einzige rechnerische Konstante:

c_{\mathrm {Luft} }\approx {\sqrt {1{,}402\cdot {\frac {R\cdot T}{0{,}02896\,\mathrm {kg/mol} }}}}=20{,}055{\sqrt {T \over \mathrm {K} }}\ \mathrm {m/s}

wobei M = 0,02896 kg/mol die molare Masse und κ = 1,402 der Adiabatenexponent der Luft ist. Der genaue Betrag der Vorfaktoren wurde aus Messungen nach D.A. Bohn (1988) bestimmt. Mit dieser Gleichung beträgt die Schallgeschwindigkeit bei 25 °C (=298,15 K) etwa 346 m/s. Allgemeiner bekannt ist der Wert c = 343 m/s für 20 °C (Zimmertemperatur).
Vergleiche hierzu die Normalbedingungen und die Standardbedingungen. Normalerweise wird die Schallgeschwindigkeit bei der "Standardatmosphäre" gemessen.

Bei einem idealen Gas ist die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur abhängig und unabhängig vom Luftdruck. Diese Abhängigkeit gilt daher auch für Luft, die in guter Näherung als ideales Gas betrachtet werden kann.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Links: Druckwelle (Longitudinal). Rechts: Schallgeschwindigkeit nach Wellenumwandlung (Transversal), diese Welle entsteht in einem festen Folgemedium bei Schrägeinschallung und breitet sich senkrecht zur eigentlichen Druckwelle aus.

Medium	Schallgeschwindigkeit in (m/s)	Transversal in (m/s)
Luft (bei 20 °C)	343 (*)
Helium	981
Wasserstoff	1280
Sauerstoff	316
Wasser	1484
Wasser (bei 0 °C)	1407
Eis (bei -4 °C)	3250
Öl(SAE 20/30)	1740
Glas	5300
PVC (weich)	80
PVC (hart)	2250	1060
Beton	3100
Buchenholz	3300
Aluminium	6300	3080
Beryllium	12900	8880
Blei/5%Antimon	2160	700
Gold	3240	1280
Kupfer	4660	2260
Magnesium/Zk60	4400	810
Quecksilber	1450
Stahl	5920	3255
Titan	6100	3050
Wolfram	5460	5460

(*) entspricht 1234,8 km/h. In Beryllium erreicht der Schall die höchste errechnete Schallgeschwindigkeit.

Temperaturabhängigkeit

Die Wirkung der Temperatur der Luft auf die Schallgeschwindigkeit, die Luftdichte und die Schallkennimpedanz ist in folgender Tabelle dargestellt. Hierbei hat der Luftdruck keine Wirkung auf die Schallgeschwindigkeit, auch wenn diese Fehlangabe in vielen Büchern zu finden ist. Die Luftdichte und damit auch die Schallkennimpedanz sind aber luftdruck-abhängig.

°C = Temperatur
ρ (rho) Luftdichte in kg/m³
c = Schallgeschwindigkeit in m/s
Z = Schallkennimpedanz in N·s/m³.

Tabelle - Schallgeschwindigkeit, Luftdichte und Schallkennimpedanz in Abhängigkeit von der Lufttemperatur

Die Wirkung der Temperatur
°C	c in m/s	ρ in kg/m³	Z in N·s/m³
- 10	325,4	1,341	436,5
- 5	328,5	1,316	432,4
0	331,5	1,293	428,3
+ 5	334,5	1,269	424,5
+ 10	337,5	1,247	420,7
+ 15	340,5	1,225	417,0
+ 20	343,4	1,204	413,5
+ 25	346,3	1,184	410,0
+ 30	349,2	1,164	406,6

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Wasser ist ein Beispiel eines dispersiven Mediums.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Luft ist ein nicht dispersives Medium.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach verwendet, wobei 1 Mach gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Siehe auch: Überschallgeschwindigkeit, Überschallflug.

Die Entfernung eines Gewitters lässt sich abschätzen, indem man nach dem Sehen des Blitzes die Sekunden zählt bis zum Hören des Donners. Die Anzahl der Sekunden durch drei geteilt ergibt die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch

Lichtgeschwindigkeit

Literatur

Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound, Journal of the Audio Engineering Society, 36(4), April 1988. PDF-Version

Weblinks