Diskussion:Ellipse

Im Abschnitt über Ellpsenkonstruktion hab ich den link "konjugierte Durchmesser" nachgeliefert - leider fehlt im Zielartikel das entsprechende Bild --Aki52 08:39, 12. Nov 2004 (CET)

Erste Satz muss etwas bearbeitet werden. Original: "Eine Ellipse ist in der Geometrie definiert als die Menge aller Punkte, für die die Summe der [[genannt, a ist der Abstand..."

Ich glaube da ist beim Einfügen was schiefgegangen.

Steffen

Was soll denn bitte die erste Grafik? Zu den Kreisen/Kreisausschnitten innerhalb der Figur ist gar nichts gesagt, und der darunter befindliche Text referenziert Punkte A, B, C, D, die gar nicht beschriftet sind (und anscheinend zu einer Grafik weiter unten gehören.) Benutzer:Schweikhardt 25.3.05

Ich bin der gleichen Meinung und habe daher die Zeichnung durch eine neue ersetzt. Wfstb 14:39, 24. Apr 2005 (CEST)

Die Namensgebung für die Hauptscheitel "A" und "B" ist sowieso äußerst unglücklich, da sie zur Hauptachse "a" gehören und "b" die Nebenachse mit den Scheitelpunkten "C" und "D" bezeichnet. Da macht das Lesen des Textes und das Nachdenken darüber unnötig schwer. hauix 20:57, 3. Sep 2005 (CEST)

umfang

Letzter Kommentar: vor 20 Jahren2 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt

beim umfang steht:

U=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}t}}\ dt

Dieses Integral lässt sich nicht exakt berechnen.

das ist doch kaes, oder? denn: $4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(1-\varepsilon ^{2}t\right)^{\frac {1}{2}}dt={\frac {8a}{3\varepsilon ^{2}}}\left((1-\varepsilon ^{2}0)^{\frac {3}{2}}-(1-\varepsilon ^{2}{\frac {\pi }{2}})^{\frac {3}{2}}\right)={\frac {8a}{3\varepsilon ^{2}}}\left(1-(1-\varepsilon ^{2}{\frac {\pi }{2}})^{\frac {3}{2}}\right)$ vielmehr ist die formel zur umfangsformel nicht korrekt, sondern sollte eher $U=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(1-\varepsilon ^{2}(\cos t)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}dt$ heissen.--129.13.73.109 14:53, 2. Mai 2005 (CEST)Beantworten

Dein Einwand ist richtig! Wfstb 18:31, 2. Mai 2005 (CEST)Beantworten

Formel zur Tangentenberechnung

Ich habe noch eine interessante Formel gefunden die besonders für die Tangentenberechnung praktisch ist. Allerdings weiß ich nicht wie man auf diese Formel kommt, also wenn jemand weiß wie dann wär' ich sehr dankbar.

Datei:Tangente an Ellipse.jpg

$\varphi =\arctan \left(\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\tan \beta \right)=\arctan \left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot \tan \beta \right)$

$\beta =\alpha -90$

\beta

... Winkel der Tangentennormalen zur x-Achse (Hauptachse).

\varphi

... Winkel der Linie Mittelpunkt->Tangentenschnittpunkt zur x-Achse (Hauptachse).

\alpha

... Absoluter Winkel der Tangente (zur x-Achse (Hauptachse)).

(Quelle u.a. http://www.heliheyn.de/Maps/HowDo.html und natürlich die Ellipsen Seite hier)

Seht ihr irgendwelche Fehler o. Probleme mit dieser Ergänzung? --Hoehrer 14:43, 12. Sep 2005 (CEST)

Die Bezeichner im Bild stimmen irgendwie nicht mit denen in der Beschreibung überein -- hauix 18:47, 13. Sep 2005 (CEST).

Viele Formeln aus der Ellipsen-Seite verwenden $\phi$ statt $\psi$ als Bezeichnung für den Winkel zu einem Ellipsenpunkt. Daher sind die Bezeichnungen im Bild unglücklich gewählt. hauix 19:11, 13. Sep 2005 (CEST).

Eine Begründung, die mich diese Formel glauben macht (ich glaub's nicht), und ein ein Bild mit Anti-Aliasing wäre nett. hauix 19:11, 13. Sep 2005 (CEST)

Ok, das Bild habe ich nur zur Verdeutlichung der anderen Angaben reingestellt. Ich werde (vorr. morgen) die Winkelbezeichnungen ändern (Hab vorerst die Beschreibung synchronisiert. Um Verwechslungen mit gängigen Namen zu vermeiden denkt euch halt inzwischen statt $\alpha$ einfach winkel1, statt $\phi$ winkel2 und statt $\psi$ einfach winkel3). Das Bild ist ein jpeg, deshalb die eher bescheidenene Qualität. Ich hätte ja lieber das OOo Dokument (Vektorgrafik) hochgeladen, aber ich weiß gar nicht ob das hier geht.
Die Formel funktioniert, ich habe zumindest mittels AutoCAD und "ein paar" Beispielen die Winkel-Verhältnisse überprüfen können und die Ergebnisse stimmen. (Mir ging es ursprünglich darum Tangenten an Ellipsen zu berechnen, die einen bestimmten Winkel haben sollen. Alle anderen Ellipsen-Formel sind mehr oder weniger nutzlos dafür). Beispiele folgen dann hoffentlich auch morgen. Aber die 'Tatsache' das diese Formel (zumindest in den von mir gefundenen Qellen, siehe oben) in der Geographischen Mathematik verwendet wird ist ja ein guter Anhaltspunkt für Recherche.
PS: Also bin ich immerhin nicht der Einzige der nicht von Haus aus was mit dieser Formel anfangen kann. --Hoehrer 21:30, 13. Sep 2005 (CEST)

Ok, hab die Bezeichnungen in der Abbildung korrigiert und mit Antialaising versehen. Beispiel folgt. --Hoehrer 11:22, 14. Sep 2005 (CEST)

Hier das versprochene Beispiel (a=50, b=20, alpha=167.35076813°) Die Werte in der Abbildung sind gerundet: Datei:Tangente an Ellipse Beispiel.jpg
Samit weiß ich daß die Formel funktioniert, aber ich weiß nicht warum (Herleitung). --Hoehrer 11:30, 14. Sep 2005 (CEST)

Das Argument läuft (wie immer bei Ellipsen) über eine affine Transformation in einen Kreis und wieder zurück:

Der Punkt $P_{e}$ der Ellipse ist das affine Bild des entsprechenden Punktes $P_{k}$ auf dem Hauptkreis, der das Urbild der Ellipse unter einer affinen Transformation ist. Die Koordinaten von $P_{k}$ sind $(a\cos(t),a\sin(t))$ für einen noch zu bestimmenden Winkel $t$ , wobei $a$ der Kreisradius ist. Die Koordinaten der Ellipsenpunkte gehen durch eine Stauchung ihrer y-Koordinaten mit dem Faktor $b/a$ aus den korrespondierenden Kreis-Punkten hervor. Daher hat $P_{e}$ die Koordinaten $(a\cos(t),a{b \over a}\sin(t))=(a\cos(t),b\sin(t))$ . Dies ist auch die Koordinatenform der Ellipse.

Durch Ableitung erhält man den Richtungsvektor ihrer Tangente $t_{e}$ im Punkt $P_{e}$ : $(-a\sin(t),b\cos(t))$ . Der Richtungsvektor der Normalen $n_{e}$ ergibt sich durch Vertauschen der Koordinaten und Invertieren einer Koordinate zu: $(b\cos(t),a\sin(t))$ .

Daraus ergibt sich die Steigung der Normalen zu $a\sin(t) \over b\cos(t)$ und damit ihr gesuchter Steigungswinkel $\beta$ zu $\arctan({a\sin(t) \over b\cos(t)})$ . Dieser Winkel ist bisher ausgedrückt in Abhängigkeit des Winkels $t$ und muss noch in Abhängigkeit von $\phi$ umgeschrieben werden.

In obiger Abbildung sieht man, dass $a\cos(t)=x=r'\cos(\phi )$ und dass $a\sin(t)=y_{k}={a \over b}y_{e}={a \over b}r'\sin(\phi )$ . Dies eingesetzt in die Gleichung für $\beta$ ergibt: $\beta =\arctan({a\sin(t) \over b\cos(t)})=\arctan({{a \over b}r'\sin(\phi ) \over b{r' \over a}\cos(\phi )})$ . Und damit, dass $\beta =\arctan({a^{2} \over b^{2}}tan(\phi ))$ . Durch Auflösen nach $\phi$ ergibt sich die gesuchte Aussage.

Nur Beweis oder stichhaltige Begründung macht eine Aussage zu Wissen. :-) -- hauix 17:04, 14. Sep 2005 (CEST).

Ahhh, jetzt hat's klick gemacht bei mir. :) Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. War eh nur eine Kleinigkeit die ich verwechselt habe (Die Sache mit der Projektion auf den Kreis war mir eh irgendwie klar).
Ist es sinnvoll diese Formel (ev. mit Herleitung oder zumindest Link auf die Diskussionsseite) in den Artikel einzubringen? --Hoehrer 12:22, 15. Sep 2005 (CEST)

Links aus Artikel in Diskussionsseiten finde ich (i.d.R.) doof. Wenn Du die Formel mit Herleitung in den Artikel aufnehmen könntest, wäre das prima. Ich les' die Begründung dann nochmal durch um zu sehen, ob ich's immer noch verstehe :-) -- hauix 18:22, 15. Sep 2005 (CEST).

Ok, ich setz mich (vorraussichlich) morgen mal hin und probier das Ganze übersichtlich zu strukturieren. Ich schätze mal meine Grafik lassen wir aber weg, die ist sowieso nicht aussagekräftig. Ich stell mir das ungefähr so vor:

== Formelsammlung ==
.....
=== Relation der Tangentenwinkel ===
[Graphic]->
<engültige formel>
====herleitung====
<deine Herleitung etwas umstrukuriert>

--Hoehrer 19:15, 15. Sep 2005 (CEST)

Prima, go ahead! -- hauix 11:21, 16. Sep 2005 (CEST).