Cauchyscher Integralsatz

Der Cauchysche Integralsatz ist eine der Voraussetzungen, um die Cauchysche Integralformel beweisen zu können.

Die Cauchysche Integralformel ist eines der zentralen Ergebnisse der Funktionentheorie. Sie besagt, dass die Werte einer holomorphen Funktion f bereits durch ihre Werte auf einer geschlossenen Kurve $\gamma$ bestimmt sind. (In der älteren Literatur - z.B. Lehrbücher um 1970 herum - findet man den Begriff analytisch anstatt holomorph.)

Für ihren Beweis (und das Verständnis) wird die Definition der Windungszahl $n(\gamma ,a)$ benötigt :

$n(\gamma ,a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }^{}{\frac {dz}{z-a}}$

Man beschränkt sich dabei auf eine Kreisscheibe, in der eine geschlossene stetig differenzierbare Kurve $\gamma$ gegeben ist, a sei ein Punkt nicht auf $\gamma$. Die Voraussetzungen an die Kurve implizieren die Existenz des Integrals.

Sei f(z) holomorph in einer offenen Kreisscheibe, dann gilt für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in dieser Kreisscheibe (die stückweise differenzierbar ist) und für jeden Punkt a der nicht auf dieser Kurve liegt die Cauchysche Integralformel:

$n(\gamma ,a)*f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }^{}{\frac {f(z)dz}{z-a}}$

Zum Beweis wird der Cauchysche Integralsatz verwendet:

Sei f(z) holomorph in einer offenen Kreisscheibe, dann gilt für jede geschlossene Kurve in dieser Kreisscheibe (die stückweise differenzierbar ist):

$\int _{\gamma }^{}f(z)\,dz=0$

Die Cauchysche Integralformel beweist man durch Anwendung des Integralsatzes auf die Funktion

$F(z):={\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}$

und man verwendet folgenden Hilfssatz (Lemma):

Die punktweise differenzierbare geschlossene Kurve enthalte nicht den Punkt a, dann ist der Wert des Integrals

$\int _{\gamma }^{}{\frac {dz}{z-a}}$

ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$

Dieser Hilfssatz wird zur Definition der Windungszahl verwendet welche die in die Cauchysche Integralformel eingeht.

$n(\gamma ,a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }^{}{\frac {dz}{z-a}}$